PARTIE B. MECANIQUE CELESTE

M3 : Physique en Option Spécifique
PARTIE B. MECANIQUE CELESTE
Figure1:"Lesplanètesdécriventdesorbitesenformed'ellipsesdontleSoleiloccupeundesfoyers."
-1-
Historique
MouvementsKéplériens:Compétencesexigibles
1. LestroisdeKepler
démonstrationdela2eet3e(orbitecirculaire).
2. Energiepotentiellegravitationnelle
énoncéetdémonstration.
3. Formedelatrajectoireselonlesignedel'énergiemécanique(sans
démonstration!)
4. Conservationdel'énergiemécaniqueetdumomentcinétique
#$
lienaveclethéorèmedumomentcinétique 𝑀 = = 0.
#%
5. Constructiondel'hyperboleaveclegrandaxe(a)etpetitaxe(b).
6. Momentcinétiqueàl'infinisurunehyperbole
𝐿 = 𝑏 · 𝑚 · 𝑣,-. 7. 1ereet2emevitessescosmiques.
-2-
M3 : Physique en Option Spécifique
TabledesMatières
MOUVEMENTSKEPLERIENS:COMPETENCESEXIGIBLES
- 2 - CHAPITRE1: MOUVEMENTSDESCORPSCELESTES
-4-
1.1 LESLOISDEKEPLER
1.1.1 HISTORIQUE
1.1.2 LESTROISLOISDEKEPLER
1.1.3 DEMONSTRATIONDESLOISDEKEPLER
1.2 TRAJECTOIRESDESCORPSCELESTESENFONCTIONDELEURENERGIE
1.2.1 ENERGIEPOTENTIELLEDEGRAVITATION
1.2.2 GRANDEURSCONSERVEESDANSUNMOUVEMENTKEPLERIEN
1.2.3 RAPPELSSURLESCONIQUES(CRMP.57)
1.2.4 VITESSESCOSMIQUES
1.3 EXERCICES
-3-
- 4 - - 4 - - 4 - - 9 - -11-
-11-
-13-
-14-
-16-
-18-
Historique
Chapitre 1 :
Mouvements des corps célestes
1.1 LesloisdeKepler
1.1.1 Historique
En1600,JohannesKeplerselançadansuneétudetrèsapprofondiedel’orbitedeMarsen
utilisantlesdonnéesd’observationsdeTychoBrahé,lesmeilleuresfaitesavant1600.
Après8ansd’études,Keplerarrivaàuneconclusionrévolutionnaireen1608.
Alorsqu’onpensaitdepuisprèsde20sièclesquelesorbitesdesplanètesdevaientêtredes
cerclesparfaits,sousprétextequelescieuxdevaientêtreparfaitspourrefléterlaperfection
desdieux(ouduDieu),Keplermontraquelesorbitesavaientuneformeelliptique1.
? http://agregation.capes.free.fr/_Ressources_CAPES2015/physique/4_Mecanique/Kepler_CEA/kepler.swf
? http://serge.bertorello.free.fr/astrophy/kepnew/kepnew.html
1.1.2 LestroisloisdeKepler
Enastronomie,lesloisdeKeplerdécriventlespropriétésprincipalesdumouvementdes
planètesautourduSoleil,sanslesexpliquer.Copernicavaitsoutenuen1543queles
planètestournaientautourduSoleil,maisilleslaissaitsurlestrajectoirescirculairesdu
vieuxsystèmedePtoléméehéritédel’antiquitégrecque.
LesdeuxpremièresloisdeKeplerfurentpubliéesen1609etlatroisièmeen1618.Les
orbiteselliptiques,tellesqu’énoncéesdanssesdeuxpremièreslois,permettentd’expliquer
lacomplexitédumouvementapparentdesplanètesdanslecielsansrecouriraux
épicycliquesdumodèleptoléméen.
Peuaprès,IsaacNewtondécouvriten1687laloidel’attractiongravitationnelle(ou
gravitation),celle-ciinduisant,parlecalcul,lestroisloisdeKepler.
? http://astro.unl.edu/naap/pos/animations/kepler.swf
PremièreloideKeplerouloidesorbites
Latrajectoiredesplanètesautourdusoleilestplaneetdécrituneellipse.
Lesoleilsetrouvesurunfoyer.
1
LaGravitation,L.Tremblay,CollegeMerci,Quebec
-4-
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2
Figure2:Orbiteselliptiquesdesplanètesdusystèmesolaire .
1.1.2.1 Excentricitédesorbites
2
http://astro.unl.edu/naap/pos/animations/kepler.swf
-5-
Les trois lois de Kepler
1.1.2.2 Vocabulaireetunitésastronomiques
-
Périapseoupériapsideestlepointdel’orbited’unobjetcélesteoùladistanceest
minimaleparrapportaufoyerdecetteorbite.
-
Apoapseouapoapsideestlepointdel'orbited'unobjetcélesteoùladistanceest
maximaleparrapportaufoyerdel'orbite.
-
Apogée:positiond’unsatellitelorsqu’ilsetrouveauplusloindelaTerresurune
orbiteelliptiqueautourdelaTerre.
-
Périgée:positiond’unsatellitelorsqu’ilsetrouveauplusprochedelaTerresurune
orbiteelliptiqueautourdelaTerre.
-
Aphélie:positiond’unsatellitelorsqu’ilsetrouveauplusloinduSoleilsuruneorbite
elliptiqueautourduSoleil.
-
Périhélie:positiond’unsatellitelorsqu’ilsetrouveauplusprocheduSoleilsurune
orbiteelliptiqueautourduSoleil.
-
Année-lumière(AL):distanceparcourueparlalumièrependantuneannée(1𝐴𝐿 =
9,46 · 1067 𝑚)
-
Unitéastronomique(UA):distanceTerre-Soleil(1𝑈𝐴 = 1,496 ⋅ 1066 𝑚)
-
Parsec(pc):distanceàlaquelle1UAsous-tendunangle
d’uneseconde.Autrementdit,ladistanceàpartirdelaquelle
onverraitladistanceterre-soleil,sousunangled'une
seconded'arc(1𝑝𝑐 = 3,085 · 106? 𝑚 ≈ 3.2616𝐴𝐿)
1.1.2.3 Propriétésdesorbiteselliptiques
𝑎:demi-grandaxe
𝑏:demipetit-axe
𝑐:distanceaucentre
E
𝑒 = :excentricité
F
𝑟H + 𝑟F = 2𝑎
𝑎=
𝑒=
JK LJM
N
JM PJK
JM LJK
𝑒𝑡𝑐 =
𝑟F :distanceàl’apoapside(pointleplus
éloignédel’astrecentral)
𝑟H :distanceaupériapside(pointleplus
prochedel’astrecentral)
JM PJK
N
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M3 : Physique en Option Spécifique
DeuxièmeloideKeplerouloidesaires
L’airebalayéeparlerayonvecteurd’uneplanèteendestempségauxestconstante.
Autreformulation:
Lavitessearéolaireestconstante.
TroisièmeloideKeplerouloidespériodes
Pourtouteslesplanètes,lerapportentrelecubedudemigrandaxedelatrajectoireetle
carrédelapériodeestidentiqueetproportionnelàlamassedel’astrecentral.
𝑎Q 𝐺 ⋅ 𝑀
=
𝑇N
4𝜋 N
𝑎 ∶demi-grandaxedel’orbite[m]
𝑇:périodeorbitale[s]
𝐺:constanteuniverselledegravitation(𝐺 = 6.67 ⋅ 10P66 𝑁. 𝑚N ⋅ 𝑘𝑔PN )
𝑀:massedel’astrecentral[kg]
-7-
Les trois lois de Kepler
1.1.2.4 Détectiondesexoplanètes
Enréalitélemouvementestdécritautour
ducentredemasseSoleil-Planètequise
situeàl’intérieurduSoleil.Defait,leSoleil
décritaussiunmouvementautourdu
CDM.
De manière plus générale, c’est ce
mouvementdel’étoilecentraleautourdu
centredemassedusystèmeplanétairequi
permet la détection indirecte des
exoplanètes par effet Doppler-Fizeau sur
lesraiesspectralesdel’étoilecentrale. ? https://exoplanets.nasa.gov/interactable/11/
Figure3:Leprincipedeladétectiond'uneexoplanèteparla
mesured'undécalagespectralpareffetDoppler-Fizeau.©Eso
-8-
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1.1.3 DémonstrationdesloisdeKepler
1.1.3.1 Théorèmedumomentcinétique
1.1.3.2 Mouvementdescorpssoumisàuneforcecentrale
-9-
Démonstration des lois de Kepler
1.1.3.3 Loidesaires
Ladémonstrationestbaséesurlaconservationdumomentcinétique.
L’aire infinitésimale dS balayée par le vecteur
𝑟 pendant le déplacement dS est égale à la
moitié de la norme du produit vectoriel
En divisant dS par le temps infinitésimal dt
(durée du déplacement dr), on obtient la
dérivée de l’aire par rapport au temps (taux de
variation de l’aire par seconde)
Cette dérivée s’appelle la vitesse aréolaire.
(1)
D’autre part :
(2)
En combinant (1) et (2), on obtient :
Remarque:
Laloidesaires,observéeparJ.Kepleren1609,estenréalitéunepropriétégénéraledetout
mouvementàforcecentrale,carilnefaitintervenirquelapropriétédeconservationdu
momentcinétique.
Exemples:Forceélectriqueetmodèlesdel’atomedeRutherfordetdeBohr.
-10-
M3 : Physique en Option Spécifique
1.1.3.4 Loidespériodes
Démonstrationdanslecasd’unetrajectoirecirculaire:
1.2 Trajectoiresdescorpscélestesenfonctiondeleurénergie
1.2.1 Energiepotentielledegravitation
1.2.1.1 Travaild’uneforcevariable
-11-
Energie potentielle de gravitation
1.2.1.2 Energiepotentielleettravail
i.
Définitiondel’énergiepotentielle
ii.
Energiepotentielledegravitation
calcul de l'énergie gravitationnelle (Merici, Astro, Chap-1-Rappels, p15)
-12-
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1.2.2 Grandeursconservéesdansunmouvementképlérien
L’énergiemécaniqued’unsatelliteestconstante
1
𝐺𝑀𝑚
𝐸^_E = 𝑚𝑣 N −
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
2
𝑟
Lemomentcinétiqued’unsatelliteestconstant
𝐿 = 𝑟×𝑝 = 𝑚
1. La conservation de l’énergie mécanique provient du fait qu’il
s’agit de système conservatif soumis à des forces conservatives
(force de Gravitation).
2. La conservation du moment cinétique vient du fait que la force
de gravitation est une force
v2
centrale. Son moment de
force est nul, ce qui entraîne
que la dérivée du moment
cinétique est nulle, donc que
a
v1
b (90°)
le moment cinétique est
r1
constant. (Théorème du
r2
moment cinétique)
L’énergiesuruneorbiteelliptiquepeuts’exprimerenfonctiondugrandaxe(2a)del’ellipse.
𝐸^éE = −
𝐺𝑀𝑚
2𝑎
Preuvepourunetrajectoirecirculairederayonr
-13-
Rappels sur les coniques (CRM p. 57)
1.2.2.1 Trajectoiresenfonctiondel’énergie
? https://phet.colorado.edu/sims/my-solar-system/my-solar-system_en.html
𝐸^_E < 0 ⟹Latrajectoireestuneellipse
𝐸^_E = 0 ⟹Latrajectoireestuneparabole
𝐸^_E > 0 ⟹Latrajectoireestunehyperbole
1.2.3 Rappelssurlesconiques(CRMp.57)
On appelle conique de foyer F,
d’excentricité e, et de directrice D,
l’ensemble des points M du plan P tels que
: MF=e × d(M,D) où d(M,D) est la distance
de M à la droite D.
0 ≤ 𝑒 < 1: 𝑒𝑙𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒
𝑒 = 1 ∶ 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑒
𝑒 > 1 ∶ ℎ𝑦𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒
1.2.3.1 L’ellipse
ÉtantdonnésdeuxpointsfixesFetF’,onappelleellipsel’ensembledespointsduplandont
lasommedesdistancesàFetF’estconstante.
Uneellipseestl’ensembledespointsMtelsque
𝑀𝐹 + 𝑀𝐹′ = 2𝑎
FetF’:foyers
a:demi-grandaxe
b:demi-petitaxe
SetS’:sommets
O:centre.
qr
e:excentricitée = qs
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M3 : Physique en Option Spécifique
1.2.3.2 L’Hyperbole
ÉtantdonnésdeuxpointsfixesFetF’,onappellehyperbolel’ensembledespointsduplan
dontladifférencedesdistancesàFetF’estconstante.
Unehyperboleestl’ensembledespointsMtelsque
𝑀𝐹 − 𝑀𝐹′ = 2𝑎
FetF’:foyers
a:demi-grandaxe
b:demi-petitaxe
SetS’:sommets
O:centre.
Remarque:
Unehyperbolepossède2asymptotes.
b est aussi la distance entre le foyer et
l’asymptote
1.2.3.3 LaParabole
Uneparaboleestl’ensembledespointsMtelsque
𝑀𝑀′ = 𝑀𝐹
Remarque:
Uneparabolen’apasd’asymptote.
M’
-15-
Vitesses cosmiques
1.2.3.4 Expressionanalytiquedesconiques
1.2.3.5 Momentcinétiqueàl’infini(hyperbole)
A l’infini, la vitesse du satellite est pratiquement tangente à
l’asymptote.
𝐿 = 𝑟t 𝑚𝑣t sin 𝛼
et 𝑟t sin 𝛼 = 𝑏
vinf
𝐿 = 𝑏𝑚𝑣t
r inf
a
b
1.2.4 Vitessescosmiques
1.2.4.1 Premièrevitessecosmiqueouvitessecirculaire
Lapremièrevitessecosmiquereprésentelavitessedesatellisationminimaleautourdela
Terre.
𝑣E,J =
𝐺𝑀
𝑅z
-16-
M3 : Physique en Option Spécifique
C’estdonclavitessed’unsatelliteàlasurfacedeTerre.
1.2.4.2 Deuxièmevitessecosmiqueouvitessedelibération.
Vitessedelibération
Lavitessedelibérationestlavitesseminimaleàlaquelleilfautlanceruncorpsdepuisla
surfaced’unastrepourqu’iléchappeàl’attractiongravitationnelledel’astre.
VitessedeLibération
𝑣{,| =
CasdelaTerre
2𝐺𝑀E
𝑅𝑐
-17-
Vitesses cosmiques
1.3 Exercices
Ex.1. LacomètedeHalleysedéplacesurorbitedontles
distancesàl’aphélieetaupérihéliesontdera=
35,295UAetrp=0,587UA.
a. Quelleestl’excentricitédecetteorbite?
b. Quelestledemi-grandaxe(a)decetteorbite?
c. Quelleestlapériodedelacomète?
Rép:a)0.9673b)17.941UAc)76.08ans
Ex.2. Onveutlancerunsatelliteartificieldefaçonqu’ilrestetoujours,enMCU,àlaverticaledu
mêmepointdelasurfacedelaTerre(satellitedetélécommunicationgéostationnaire).
a) Dansquelplandoittournercesatellite?
b) Aquellealtitudeetàquellevitessedoit-ilêtreplacéenorbite?
Ex.3. Lesoleilsetrouveàenviron30'000annéeslumièresducentredenotreGalaxie.Lesystème
solairemetenviron2,5・108annéespoureffectuerunerotationcomplète.
a) UtiliserlaloidelaGravitationUniverselleetlesloisdeNewtonpourdéterminerlamasse
approximativedenotreGalaxieenconsidérantnotresystèmesolairecommeunsatellite
delaGalaxie.
b) Déterminerstatistiquementlenombred’étoilesdeGalaxieenposantleshypothèses
nécessaires.
-18-
M3 : Physique en Option Spécifique
Ex.4. (Maturitésuisse,automne2001)
Deux satellites de même masse m tournent autour de la terre (masse M) en suivant des
orbitescirculairesderayon2Rpourlesatellite(1)et3Rpourlesatellite(2).
DéterminerlesrapportsdespériodesT1/T2.
Ex.5. Un satellite décrit une trajectoire elliptique autour de la terre. Lorsqu’il se trouve à son
périgée,savitessevaut9km/setsonaltitudeaudessusdelaterre,600km.
a)Calculersavitesseetsonaltitudelorsqu’ilestàsonapogée.
b)Calculerlesdemi-axesdel’ellipseetsavitesseauxextrémitésdupetitaxe.
Rép:a)3576m/s;10610km.b)a=11605km;b=10470km;v=5673m/s.
Ex.6. Unecomètepassedanslechampdegravitationdusoleilendécrivantunebranche
d’hyperboledontlesdemi-axesvalenta=4x1010metb=3x1010m.
a)Calculersavitesselorsqu’elleesttrèsloindusoleil.
b)Calculersadistanceminimaleausoleilainsiquesavitesseàcetendroit.
4
10
5
Rép:5,76x10 m/s;10 m;1,73x10 m/s.
Ex.7. LaplanèteMercuredécritautourdusoleiluneellipsededemi-axesa=5,79x1010met
b=5,66x1010m.Calculersesvitessesmaximaleetminimale,etsadistanceausoleillorsque
cessituationsseréalisent.
10
10
Rép:59480m/s;38780m/s;4,57x10 m;7,01x10 m.
Ex.8. Un astéroïde de masse m = 100 kg se déplace sur une
orbite elliptique autour de la terre. En A, la vitesse de
l’astéroïde est parallèle au grand axe de l’ellipse.
L’altitude de B vaut 5000 km. La période de révolution
del’astéroïdevaut8h.
a) Vérifier que le grand axe 2a de l’ellipse vaut
40400km.
b) Calculer l’altitude et la vitesse de l’astéroïde
lorsqu’ilsetrouveenA.
c) QuevautlavitessedusatelliteenB?
Ex.9. Unemétéoritepasseàunevitessede6km/senunpointsituéàunealtitudede30'000km
au-dessusdelasurfacedelaterre.Elles’approchedelaterreendécrivantunetrajectoire
nonrectiligne.
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Vitesses cosmiques
a) Calculersavitesselorsqu’elleaunealtitudede1000km.
b) Indiquerlenomdesatrajectoireenjustifiantvotreréponse.
c) Calculerlavitessedelamétéoritelorsqu’ilsetrouveinfinimentloindelaterre.
4
Rép.:1.110 m/s;hyperbole;3.58 ⋅ 10Q m/s
Ex.10. (Maturitésuisse,2003)
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M3 : Physique en Option Spécifique
Ex.11. (Maturitésuisse,2004)
Ex.12. Une comète de masse m = 1015 kg a une trajectoire
paraboliqueets'approchejusqu'àunedistanced=108km
du Soleil. Supposer qu'elle ne soit influencée que par le
Soleiletquel'onpuissenégligerlesinfluencesdesplanètes.
Déterminerlavitessemaximalevdecettecomète.
8
Rép.:5,137.10 m/s
Ex.13. Unecomètedemassem=1010kgaunevitessedevo=5km/strèsloinduSoleil.Ladistance
deladroitequiportecettevitesseauSoleilestdeD=1012m.Lacomètenepassequ'une
foisautourduSoleilaucoursdesonexistence.
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Vitesses cosmiques
a. Calculersavitessemaximale.
b. Quelleestlavaleurdelavitessetrès
loinaprèssonpassageprèsduSoleil?
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