2016/2017 Feuille 5 : Notations ∑ . 1) Calculer les sommes suivantes

2016/2017
BCP ST 1B
Feuille 5 : Notations
.
P
1) Calculer les sommes suivantes :
S1 =
5
X
(k − 3)
,
56
X
S2 =
,
S3 =
i=1
k=1
2)
2
25
X
(1)
,
S4 =
12
X
cos
nπ n=0
i=8
12
a) Développer (a + b)3 où a et b sont deux réels.
b) Simplier la somme
n
X
(k + 1)3 − k 3 .
k=1
c) En déduire que
n
X
k2 =
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
6
3) Montrer par récurrence sur n que pour tout n ∈ N :
n
X
n(n + 1)(2n + 1)
6
k2 =
k=1
4) Montrer que pour tout n ∈ N :
n
X
3
k =
k=0
On pourra pour cela remarquer :
n
X
k3 =
n
X
n
X
!2
k
k=0
(n − k)3 et utiliser les formules donnant
k=0
k=0
k=0
n
X
k et
n
X
k2
k=0
5) Simplier les sommes suivantes :
n
X
2
n
X
k
(−1) ,
k=1
(2)k ,
n+1
X
(2k + 1) ,
k=2
k=2
k=n+1
n
X
3k+2
22k+1
6) Montrer que pour tout entier naturel n et tout (a, b) ∈ C2 :
an+1 − bn+1 = (a − b)
n
X
an−k bk
k=0
(formule de Bernoulli)
7) Montrer que pour tout entier n
2
n
n 2
X
nX
n
n
k
=
k
k
2
k=0
k=0
8) Simplier les sommes suivantes : (A
n X
n
k=0
k
connaître )
n X
n
k=0
k
(−1)
n
X
n
k
k
k
k=0
9) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul :
2n
X
(−1)k+1
k=1
k
=
n
X
k=1
1
n+k
n X
k
k=0
p
10) On pose pour tout entier naturel n,
un =
n X
n−k
k
k=0
a)
b)
c)
d)
Calculer u0 , u1 , u2 , u3 , u4 , u5 et u6 (on utilisera le triangle de Pascal )
Conjecturer une relation entre un+2 , un+1 et un ,
Démontrer cette relation de récurrence.
(Question que nous traiterons plus tard ) Exprimer un en fonction de n.
11) Soit (an ) une suite de nombres réels.
a) Simplier les sommes suivantes :
n−1
X
(ak − ak+1 )
k=1
n−1
X
(ak − 2ak+1 + ak+2 )
k=1
b) Montrer que pour tout entier n,
n−1
X
k (ak − ak+1 ) =
k=1
c)
n
X
!
ak
− nan
k=1
Généralisation :
Soit (an ) et (bn ) deux suites de nombres réels,
On dénit pour tout entier n les sommes suivantes :
Sn =
n
X
ak bk
Bn =
k=0
Montrer que :
n
X
k=0
ak bk = an Bn −
n
X
bk
k=0
n−1
X
k=0
Bk (ak+1 − ak )