Exercice 5

Exercice 5 :
D’après le sujet de brevet donné en Amérique du Nord en juin 2008 ( Exercices 1 et 3 ).
Enoncé :
Première partie :
On donne les nombres :
3 + 10² + 1,8 + 1001
3 2 21
; B(
et C ( √12 * 5√75 6 2√147.
A( * +
7 7 8
6 + 103
1) Calculer A et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
Ecrire toutes les étapes du calcul.
2) a/ Donner l’écriture décimale de B.
b/ Exprimer B en écriture scientifique.
3) Ecrire C sous la forme :√3, où : est un nombre entier.
Deuxième partie :
1) En précisant la méthode utilisée, calculer le PGCD de 378 et 270.
2) Pour une kermesse, un comité des fêtes dispose de 378 billes et 270 calots. Il veut faire le plus
grand nombre de lots identiques en utilisant toutes les billes et tous les calots.
a/ Combien de lots identiques pourra-t-il faire ?
b/ Quelle sera la composition de chacun de ces lots ?
Solution de l’exercice :
Première partie :
Pour chaque question de cette première partie, nous allons détailler les calculs , et nous utiliserons la
calculatrice afin de contrôler les résultats obtenus.
1
1)
A(
3 2 21
* +
7 7 8
3 2+3+7
*
7 7+2+4
3 3
A( *
7 4
3+4 3+7
A(
*
7+4 4+7
12 21
A(
*
28 28
9
A(*
28
A(
On obtient le résultat sous la forme d’une fraction irréductible car 9 et 28 n’ont pas de diviseurs
communs ( autre que 1 bien entendu !).
On notera l’intérêt de simplifier avant d’effectuer les calculs lors de la multiplication des deux
fractions au début du calcul.
On peut contrôler ce résultat avec la calculatrice :
►
►
2)
B(
3 + 10I + 1,8 + 1001
6 + 103
3 + 1,8 10² + 1001
B(
+
6
103
B ( 0,9 + 10I0103
B ( 0,9 + 100J
2
:) LL écriture décimale de B est M 0,000 009 .
N$ LL écriture scientiOique de B est M 9 + 100P .
On peut contrôler ce dernier résultat avec la calculatrice :
▼
On obtient l’écriture scientifique en appuyant sur la touche
:
3$
C ( √12 * 5√75 6 2√147
C ( √4 + 3 * 5 + √25 + 3 6 2 + √49 + 3
C ( √4 + √3 * 5 + √25 + √3 6 2 + √49 + √3
C ( 2 + √3 * 5 + 5 + √3 6 2 + 7 + √3
C ( 2√3 * 25√3 6 14√3
C ( !2 * 25 6 14$√3
C ( *9√3
3
On peut contrôler ce résultat avec la calculatrice :
►
►
Deuxième partie :
1) On va calculer le PGCD de 378 et 270 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Dividende
378
270
108
Diviseur
270
108
54
Reste
108
54
0
Pour compléter le tableau précédent, on a utilisé la touche
quotient et le reste de la division euclidienne demandée.
de la calculatrice qui donne le
Autrement dit, 378 ( 1 + 270 6 108
Autrement dit, 270 ( 2 + 108 6 54
4
Autrement dit, 108 ( 2 + 54 6 0
On en déduit que le PGCD de 378 et 270 est égal à 54 car il s’agit du dernier reste non nul obtenu en
effectuant les divisions euclidiennes successives.
On peut contrôler ce résultat en utilisant directement la touche
de la calculatrice :
2)
:) Parmi les diviseurs communs à 378 et à 270, il sL agit de déterminer le plus grand possible car
le comité des fêtes veut faire le plus grand nombre de lots identiques en utilisant toutes les billes
et tous les calots. Ce problème revient donc à déterminer le PGCD de 378 et 270.
D’après la question précédente, on peut affirmer que ce comité des fêtes pourra faire 54 lots
identiques.
N) 378 T 54 ( 7 et 270 T 54 ( 5.
5
Conclusion
Chacun des 54 lots sera composé de 7 billes et de 5 calots .
6
7
8