FICHE de RENSEIGNEMENTS ADMINISTRATIFS

Collège Notre Dame de Sion – Boulevard Beaumarchais – 38000 Grenoble – Cours de Mathématiques - P.Chevallier
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Classe :
3éme
Chapitre : N1
Titre : ARITHMETIQUE.
1) Rappels sur les fractions
 Règle 1 : Pour simplifier une fractions, on cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, on
écrit les multiplications correspondantes et on simplifie
Exemple :
12
3×4
4
2×2
2
=
=
=
=
18
3×6
6
2×3
3
 Règle 2 : Pour multiplier les fractions, on simplifie d’abord avec la méthode ci-dessus et puis on multiplie les
numérateurs et les dénominateurs entre eux.
Exemple : 6  4  64  1  1
16 18 4463 43 12
 Règle 3 : Pour diviser par un nombre ou une fraction, on multiplie par son inverse.
Exemple : 2  5  2  7 14
3 7 3 5 15
 Règle 4 : Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut les mettre au même dénominateur.
Exemple : 1  7  5  14  73  52  4  21 10  42110  7
6 8 12 64 83 122 24 24 24
24
24
 Règle 5 : Un nombre entier est en fait une fraction dont le dénominateur vaut 1. Exemple : 2 2
1
2) Multiples et diviseurs
Exemple : 5 divise 15 car 15  5 = 3  reste 0.
On dit aussi que :
5 est un diviseur de 15 ou 15 est un multiple de 5
3) Critères de divisibilité
 L’entier 1 divise tout nombre entier mais n’est divisible que par lui-même.
Exemple : 7  1 = 7 mais 1  7 n’est pas un entier.
 L’entier 0 ne divise aucun nombre mais il est divisible par tout nombre entier.
Exemple : 7  0 est impossible mais 0  7 = 0.
 Un entier naturel est divisible par 2 si celui ci est pair (ex : 2, 4 , 20 etc ...)
 Un entier naturel est divisible par 3 si la somme successive de ses chiffres est
elle même divisible par 3. (ex : 342 (oui) 764 (non) )
 Un entier naturel est divisible par 5 si le dernier chiffre qui le compose est
un 5 ou un 0 (ex : 345 (oui) 610 (oui) 764 (non) )
 Un entier naturel est divisible par 9 si la somme successive de ses chiffres est
elle même divisible par 9. (ex : 342 (oui) 765 (oui) 842 (non) )
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4) Division euclidienne
 C’est le fait de diviser des nombres entre eux même si il ne tombe pas juste
Exemple : 19 = 6  3 + 1
Opération
Vocabulaire
A
Au brevet
Division euclidienne
B
1) j’applique la formule de la division
euclidienne
A : le dividende
19
6
1
3
B
B : le diviseur
2) en ligne : 19 = 6  3 + 1
Q : le quatient
R : le reste
Q
3) le reste est 1
R
Formule : A = B  Q + R
5) Diviseurs communs - PGCD
 Exemple : 75 = 3  25 donc 3 est un diviseur de 75 et de 24 car et 24 = 3  8
 Exemple : 24 = 3  8
donc 3 est un diviseur de 8 et de 24 car et 24 = 3  8
 Définition : si un nombre divise plusieurs autres nombres on l’appelle un diviseur commun
Le plus grand d’entres eux s’appellent le PGCD
Remarque :
1 est diviseur commun de tous les entiers naturels
0 ne divise aucun nombre car la division par zéro n’existe pas.
6) Méthode 1 pour trouver un PGCD
Exemple :
Diviseurs de 24 = ( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24)
Diviseurs de 36 = ( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 18 ; 36)
On écrit :
PGCD (24, 36) = 12
7) Méthode 2 pour trouver un PGCD : Algorithme d’Euclide
Algorithmes d’Euclide: Les algorithmes d’Euclide sont des techniques qui permettent
de trouver le PGCD de 2 entiers lorsque celui n’est pas calculable simplement
 Méthode : le PGCD cherché est le dernier reste NON nul par division successive
 Exemple : on cherche le PGCD (4972, 1356) par la méthode de la division euclidienne
4972
904
1356 1356 904
3
452
1
904
452
4972 = 1356×3 + 904
0
2
1356 = 904×1 + 452
Le PGCD (4972 ; 1356) = 452
904 = 452×2 + 0
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8) Fraction irréductible
Fraction irréductible : Une fraction est dite irréductible si l’on ne peut plus la simplifier.
Cela signifie que son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
7
36
 Exemple :
est irréductible
n’est pas irréductible
4
24
 Technique pour rendre une fraction irréductible :
a) On calcule le PGCD (numérateur , dénominateur)
b) on simplifie le numérateur et le dénominateur par le PGCD trouvé
988
 Exemple : rendre irréductible la fraction
1924
On utilise l'algorithme d'Euclide. On constate que : 1924 = 988×1 + 936
988 = 936×1 + 52
936 = 52×18 + 0
988
52×19
=
= 19
1924
52×37
37
 Remarque : sile PGCD est égal à 1 on dit que les nombres sont premiers entre eux.
On peut écrire :
9) Problèmes utilisant les PGCD
 Exemple : Un enfant dispose de 108 billes rouges et 135 billes noires.
Il veut faire des paquets de sorte que :
 tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges
 tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires
 toutes les billes noires et rouges soient utilisées.
a) quel nombre maximal de paquets pourra t-il réaliser ?
b) Combien y’a t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?
 Réponse :
a) On cherche le PGCD (108 ; 135) c’est à dire :
135 = 108×1 + 27
108 = 27×4 + 0
On en déduit que le PGCD (108 , 135 ) = 27
et donc que le nombre maximal de paquets réalisables est de 27.
108
135
b) On constate que :
= 4 et
= 5.
27
27
L’enfant peut donc mettre 5 billes noires et 4 billes rouges dans chacun des 27 sacs.