FICHE de RENSEIGNEMENTS ADMINISTRATIFS

Collège Notre Dame de Sion – Boulevard Beaumarchais – 38000 Grenoble – Cours de Mathématiques - P.Chevallier
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Classe : 3éme Chapitre : N1 Titre : ARITHMETIQUE.
1) Rappels sur les fractions
 Règle 1 : Pour simplifier une fractions, on cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, on
écrit les multiplications correspondantes et on simplifie
Exemple : 12
18 = 3×4 3×6 = 4 6 = 2×2 2×3 = 2 3
 Règle 2 : Pour multiplier les fractions, on simplifie d’abord avec la méthode ci-dessus et puis on multiplie les
numérateurs et les dénominateurs entre eux.
Exemple :
12
1
34
1
3644
46
18
4
16
6
 Règle 3 : Pour diviser par un nombre ou une fraction, on multiplie par son inverse.
Exemple :
15
14
5
7
3
2
7
5
3
2
 Règle 4 : Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut les mettre au même dénominateur.
Exemple :
24
7
24
10214
24
10
24
21
24
4
212
25
38
37
46
41
12
5
8
7
6
1
 Règle 5 : Un nombre entier est en fait une fraction dont le dénominateur vaut 1. Exemple :
1
2
2
2) Multiples et diviseurs
Exemple : 5 divise 15 car 15 5 = 3 reste 0.
On dit aussi que : 5 est un diviseur de 15 ou 15 est un multiple de 5
3) Critères de divisibilité
 L’entier 1 divise tout nombre entier mais n’est divisible que par lui-même.
Exemple : 7 1 = 7 mais 1 7 n’est pas un entier.
 L’entier 0 ne divise aucun nombre mais il est divisible par tout nombre entier.
Exemple : 7 0 est impossible mais 0 7 = 0.
 Un entier naturel est divisible par 2 si celui ci est pair (ex : 2, 4 , 20 etc ...)
 Un entier naturel est divisible par 3 si la somme successive de ses chiffres est
elle même divisible par 3. (ex : 342 (oui) 764 (non) )
 Un entier naturel est divisible par 5 si le dernier chiffre qui le compose est
un 5 ou un 0 (ex : 345 (oui) 610 (oui) 764 (non) )
 Un entier naturel est divisible par 9 si la somme successive de ses chiffres est
elle même divisible par 9. (ex : 342 (oui) 765 (oui) 842 (non) )

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4) Division euclidienne
 C’est le fait de diviser des nombres entre eux même si il ne tombe pas juste
Exemple : 19 = 6  3 + 1
Opération
Vocabulaire
Au brevet
19 6
1 3
Division euclidienne
1) j’applique la formule de la division
euclidienne
A : le dividende
B : le diviseur
Q : le quatient
2) en ligne : 19 = 6  3 + 1
R : le reste
3) le reste est 1
Formule : A = B  Q + R
5) Diviseurs communs - PGCD
 Exemple : 75 = 3  25 donc 3 est un diviseur de 75 et de 24 car et 24 = 3  8
 Exemple : 24 = 3  8 donc 3 est un diviseur de 8 et de 24 car et 24 = 3  8
 Définition : si un nombre divise plusieurs autres nombres on l’appelle un diviseur commun
Le plus grand d’entres eux s’appellent le PGCD
Remarque : 1 est diviseur commun de tous les entiers naturels
0 ne divise aucun nombre car la division par zéro n’existe pas.
6) Méthode 1 pour trouver un PGCD
Exemple : Diviseurs de 24 = ( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24)
Diviseurs de 36 = ( 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 18 ; 36)
On écrit : PGCD (24, 36) = 12
7) Méthode 2 pour trouver un PGCD : Algorithme d’Euclide
Algorithmes d’Euclide: Les algorithmes d’Euclide sont des techniques qui permettent
de trouver le PGCD de 2 entiers lorsque celui n’est pas calculable simplement
 Méthode : le PGCD cherché est le dernier reste NON nul par division successive
 Exemple : on cherche le PGCD (4972, 1356) par la méthode de la division euclidienne
4972 1356 1356 904 904 452 4972 = 1356×3 + 904
904 3 452 1 0 2 1356 = 904×1 + 452
Le PGCD (4972 ; 1356) = 452 904 = 452×2 + 0
B
Q
R
A
B

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8) Fraction irréductible
Fraction irréductible : Une fraction est dite irréductible si l’on ne peut plus la simplifier.
Cela signifie que son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
 Exemple : 7
4 est irréductible 36 24 n’est pas irréductible
 Technique pour rendre une fraction irréductible :
a) On calcule le PGCD (numérateur , dénominateur)
b) on simplifie le numérateur et le dénominateur par le PGCD trouvé
 Exemple : rendre irréductible la fraction 988
1924
On utilise l'algorithme d'Euclide. On constate que : 1924 = 988×1 + 936
988 = 936×1 + 52
936 = 52×18 + 0
On peut écrire : 988
1924 = 52×19 52×37 = 19
37
 Remarque : sile PGCD est égal à 1 on dit que les nombres sont premiers entre eux.
9) Problèmes utilisant les PGCD
 Exemple : Un enfant dispose de 108 billes rouges et 135 billes noires.
Il veut faire des paquets de sorte que :
 tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges
 tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires
 toutes les billes noires et rouges soient utilisées.
a) quel nombre maximal de paquets pourra t-il réaliser ?
b) Combien y’a t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?
 Réponse :
a) On cherche le PGCD (108 ; 135) c’est à dire : 135 = 108×1 + 27
108 = 27×4 + 0
On en déduit que le PGCD (108 , 135 ) = 27
et donc que le nombre maximal de paquets réalisables est de 27.
b) On constate que : 108
27 = 4 et 135 27 = 5.
L’enfant peut donc mettre 5 billes noires et 4 billes rouges dans chacun des 27 sacs.