Université Pierre et Marie Curie M1 - OACOS & AP Année 2009–10 Physique quantique appliquée TD n 10: Niveaux de vibration-rotation des molécules diatomiques On étudie, dans le référentiel du centre de masse, les états stationnaires d’un système formé par deux atomes d’une molécule diatomique, système équivalent à une particule …ctive de masse plongée dans le potentiel V (r). On admet que le potentiel d’interaction V (r) entre les deux atomes ne dépend que de leur distance r et a la forme présentée en …gure 1. V(r) r 1 - Donner les caractéristiques principales du potentiel V (r). On appellera “re ” la position d’équilibre. 2 - On montre que l’hamiltonien H du système est de la forme: H = ~2 2 1 @2 r r @r2 L2 + V (r) r 2 ~2 Par analogie avec des expressions classiques de l’énergie, donner une interprétation physique des di¤érents termes de l’hamiltonien: quels sont ceux qui correspondent à une déformation de la molécule? et à une rotation? 3 - On montre (cf un TD précédent) que les trois opérateurs H, L2 et Lz commutent pour un tel potentiel. On en déduit alors que l’on peut chercher les fonctions propres de H sous la forme: 1 (r; ; ) = Rn;` (r) Y`m ( ; ) où n est un nombre quantique dont on verra plus tard la signi…cation physique et où Y`m ( ; ) sont les harmoniques sphériques. On note En;` l’énergie correspondante. Ecrire l’équation di¤érentielle radiale à laquelle satisfait la fonction Rn;` (r), puis e¤ectuer le changement de fonction suivant: un;` (r) = r Rn;` (r) Ecrire la nouvelle équation di¤érentielle radiale obtenue, et montrer que cette équation est équivalente à celle d’une particule à une dimension plongée dans un potentiel e¤ectif Vef f (r) que l’on déterminera. 4 - On cherche à déterminer l’expression des énergies En;` au voisinage de la position d’équilibre re . Pour cela, on fait les approximations suivantes dans l’équation di¤érentielle radiale: on développe V (r) au voisinage du minimum re en se limitant au premier terme en (r re ) non nul. Le coe¢ cient de ce terme sera noté . on remplace r par re dans le terme centrifuge provenant de l’énergie cinétique de rotation. a) Montrer que les approximations précédentes reviennent à écrire: Vef f (r) = V (re ) + 1 2 ! 2 (r re )2 + `(` + 1) ~ B Donner l’expression de B et son unité. d2 V (r) : dr2 r=re c) Ecrire l’équation radiale à laquelle satisfait un;` (r). d) Montrer que cette équation est analogue à celle d’un oscillateur har0 monique de pulsation ! et d’énergie En;` que l’on dé…nira. e) Que représente le nombre quantique n et quelles valeurs peut-il prendre? f ) Donner les niveaux d’énergie En;` de la molécule en fonction de n, V0 , !, ` et B. g) Calculer B et ! pour la molécule HCl. On donne: d2 V (r) = 1; 6 10 27 kg; re = 1; 3 Å; = 4; 8 102 Jm 2 dr2 r=re h) Donner l’allure du diagramme d’énergie pour les deux premiers niveaux de vibration (n = 0 et n = 1) avec leur structure rotationnelle pour ` = 0; 1; 2;et 3. Commenter. i) Dans le cas d’un spectre de rotation pure (c’est-à-dire à n …xé), les règles de sélection (Wigner-Eckart) impliquent que seules les transitions entre niveaux d’énergie En;` et En;` 1 existent. Donner l’expression des fréquences associées à ces transitions, puis montrer que l’intervalle de fréquence entre 2 raies est constant et préciser sa valeur. b) Donner l’expression de ! en fonction de 2 et Application au spectre de Titan: La …gure ci-dessous représente le spectre de Titan observé dans l’infrarouge thermique par l’instrument Composite InfraRed Spectrometer (CIRS) à bord de la sonde Cassini. Les émisions étroites superposées à l’émission continue sont dues à des transitions entre niveaux d’énergie interne des molécules qui composent l’atmosphère de Titan. La gamme de fréquence - ou d’énergie observée indique que ce sont des transitions de rotation pure ( 1 cm 1 () 1; 24:10 4 eV () 3:1010 Hz). Le paramètre B de quelques molécules est donné dans le tableau ci-dessous. Identi…er au moins 2 molécules présentes dans le spectre donné. Molécule HCN CO N2 CH4 H2 B cm 1.48 1.93 2.01 4.88 60.8 1 Figure 1: Spectre de Titan observé par l’instrument Cassini/CIRS 3