Physique quantique appliquée

Université Pierre et Marie Curie
M1 - OACOS & AP
Année 2009–10
Physique quantique appliquée
TD n 10: Niveaux de vibration-rotation des molécules diatomiques
On étudie, dans le référentiel du centre de masse, les états stationnaires d’un
système formé par deux atomes d’une molécule diatomique, système équivalent
à une particule …ctive de masse plongée dans le potentiel V (r).
On admet que le potentiel d’interaction V (r) entre les deux atomes ne dépend
que de leur distance r et a la forme présentée en …gure 1.
V(r)
r
1 - Donner les caractéristiques principales du potentiel V (r). On appellera
“re ” la position d’équilibre.
2 - On montre que l’hamiltonien H du système est de la forme:
H =
~2
2
1 @2
r
r @r2
L2
+ V (r)
r 2 ~2
Par analogie avec des expressions classiques de l’énergie, donner une interprétation physique des di¤érents termes de l’hamiltonien: quels sont ceux qui
correspondent à une déformation de la molécule? et à une rotation?
3 - On montre (cf un TD précédent) que les trois opérateurs H, L2 et Lz
commutent pour un tel potentiel. On en déduit alors que l’on peut chercher les
fonctions propres de H sous la forme:
1
(r; ; ) = Rn;` (r) Y`m ( ; )
où n est un nombre quantique dont on verra plus tard la signi…cation physique
et où Y`m ( ; ) sont les harmoniques sphériques. On note En;` l’énergie correspondante.
Ecrire l’équation di¤érentielle radiale à laquelle satisfait la fonction Rn;` (r),
puis e¤ectuer le changement de fonction suivant:
un;` (r) = r Rn;` (r)
Ecrire la nouvelle équation di¤érentielle radiale obtenue, et montrer que cette
équation est équivalente à celle d’une particule à une dimension plongée dans
un potentiel e¤ectif Vef f (r) que l’on déterminera.
4 - On cherche à déterminer l’expression des énergies En;` au voisinage de
la position d’équilibre re . Pour cela, on fait les approximations suivantes dans
l’équation di¤érentielle radiale:
on développe V (r) au voisinage du minimum re en se limitant au premier
terme en (r re ) non nul. Le coe¢ cient de ce terme sera noté .
on remplace r par re dans le terme centrifuge provenant de l’énergie cinétique de rotation.
a) Montrer que les approximations précédentes reviennent à écrire:
Vef f (r) = V (re ) +
1
2
! 2 (r
re )2 + `(` + 1) ~ B
Donner l’expression de B et son unité.
d2 V (r)
:
dr2
r=re
c) Ecrire l’équation radiale à laquelle satisfait un;` (r).
d) Montrer que cette équation est analogue à celle d’un oscillateur har0
monique de pulsation ! et d’énergie En;`
que l’on dé…nira.
e) Que représente le nombre quantique n et quelles valeurs peut-il prendre?
f ) Donner les niveaux d’énergie En;` de la molécule en fonction de n, V0 , !,
` et B.
g) Calculer B et ! pour la molécule HCl.
On donne:
d2 V (r)
= 1; 6 10 27 kg;
re = 1; 3 Å;
= 4; 8 102 Jm 2
dr2
r=re
h) Donner l’allure du diagramme d’énergie pour les deux premiers niveaux
de vibration (n = 0 et n = 1) avec leur structure rotationnelle pour ` = 0; 1; 2;et
3. Commenter.
i) Dans le cas d’un spectre de rotation pure (c’est-à-dire à n …xé), les règles
de sélection (Wigner-Eckart) impliquent que seules les transitions entre niveaux
d’énergie En;` et En;` 1 existent.
Donner l’expression des fréquences associées à ces transitions, puis montrer
que l’intervalle de fréquence entre 2 raies est constant et préciser sa valeur.
b) Donner l’expression de ! en fonction de
2
et
Application au spectre de Titan:
La …gure ci-dessous représente le spectre de Titan observé dans l’infrarouge
thermique par l’instrument Composite InfraRed Spectrometer (CIRS) à bord
de la sonde Cassini. Les émisions étroites superposées à l’émission continue
sont dues à des transitions entre niveaux d’énergie interne des molécules qui
composent l’atmosphère de Titan. La gamme de fréquence - ou d’énergie observée indique que ce sont des transitions de rotation pure ( 1 cm 1 ()
1; 24:10 4 eV () 3:1010 Hz).
Le paramètre B de quelques molécules est donné dans le tableau ci-dessous.
Identi…er au moins 2 molécules présentes dans le spectre donné.
Molécule
HCN
CO
N2
CH4
H2
B cm
1.48
1.93
2.01
4.88
60.8
1
Figure 1: Spectre de Titan observé par l’instrument Cassini/CIRS
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