1 La molécule HCl en champ électrique

Université Joseph Fourier. Master 1 Physique
TD de mécanique quantique, Frédéric Faure.
TD: Moment angulaire et Théorie des perturbations indépendant
du temps
Conseils de Lecture : [2] chap.7, [1, p.666].
Rotation de molécules di-atomiques : [1] C-VI p. 720.
Théorie des perturbations indépendant du temps : [1] chap. XI.
Références :
1
La molécule HCl en champ électrique
Dans ce problème nous négligeons les mouvement de vibration de la molécule H-Cl.
Seule la rotation rigide de la molécule est considérée. Le mouvement est donc celui d'un
point de masse µ = (M M ) / (M + M ) (la masse réduite), sur une sphère de rayon
r = |~r − ~r |, autour du centre de gravité G.
L'état classique de la molécule est donc caractérisé par un point sur la sphère, alors
que
est caractérisé par une
fonction d'onde ψ (θ, ϕ) sur cette sphère S
(en coordonnées sphériques). L'espace de Hilbert des états quantiques est
H
0
Na
Cl
H
Cl
Cl
l'état quantique
2
µ
H=L
2
S
2
H
le produit scalaire est
Z
hψ1 |ψ2 i =
r0
G
G
Cl
ψ1∗ (θ, ϕ) ψ2 (θ, ϕ) dΩ
avec dΩ = sin θdθdϕ.
1. Soit I = µr le moment d'inertie, et L~ˆ = ~rˆ ∧ p~ˆ le moment angulaire de la molécule.
Montrer
que le Hamiltonien décrivant ce mouvement de rotation libre est Ĥ =
ˆ
~ / (2I).
L
2. Sachant que les harmoniques sphériques Y (θ, ϕ), aussi notée |l, mi, forment une
base de l'espace L (S ), avec l = 0, 1, . . . et m = −l, . . . , +l, et que
2
0
0
2
l,m
2
2
~ˆ 2 |l, mi = ~2 l (l + 1) |l, mi,
L
L̂z |l, mi = ~m|l, mi,
1
déduire le spectre de Ĥ (c'est à dire les niveaux d'énergie, et la multiplicité et base
des espaces propres d'énergie). Noter que ' 1.3 10 eV pour HCL.
~ . L'énergie
3. La molécule NaCl possède un moment dipolaire électrique permanent
D
~
d'interaction
de la molécule avec un champ électrique externe E selon z est donc
ˆ
~ E~. Ecrire le Hamiltonien total Ĥ = Ĥ + Ĥ de la molécule en présence
Ĥ = −D.
~
de ce champ en faisant apparaitre D = D, E = E~ et cos θ ?
h
i
4. Montrer que Ĥ, L̂ = 0. Comment pourra t-on utiliser cette propriété pour chercher le spectre de Ĥ , plus facilement que dans l'espace L (S ) entier? Rappel en
bas de page
5. On suppose E~ faible, et l'on traite Ĥ en théorie des perturbations. Utilisant la
question précédente, dans quel espace va t-on chercher le spectre de Ĥ ? Va t-on
utiliser la théorie des perturbations pour niveaux non dégénérés ou pour niveaux
dégénérés? Calculer la correction des niveaux d'énergie E au premier ordre? Aide
en bas de page
6. Calculer la correction des niveaux d'énergie E au deuxième
ordre? Aide en bas
~
de page . La dégénérescence du spectre est-elle levée par E ?
0
~2
2I
−3
1
0
1
z
2
2
1
(1)
2
(2)
3
Références
[1] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, and F. Laloe. Mécanique quantique.
[2] F. Faure. Cours de Mécanique quantique pour Master M1 de physique. http ://wwwfourier.ujf-grenoble.fr/~faure/enseignement.
1. Rappel : un
Âψ = aψ .
Â
espace propre
Si deux opérateurs
Â
est invariant par l'opérateur
et
B̂
associé à la valeur propre
B̂ commutent
(c'est à dire
ha estil'ensemble
Â, B̂ = 0) alors
des vecteurs
ψ
tels que
chaque espace propre de
et inversement (à redémontrer, ou voir chap.7 [2]).
2. Rappels :
(a)
Ĥ0 |ni = εn |ni est
Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1 , et que l'on cherche à résoudre Ĥψn = En ψn alors au
connu,
(1)
(1)
premier ordre (en Ĥ1 1), En ' εn + E
avec E
= hn|Ĥ1 |ni. Au deuxième ordre, on a
0 2
P
|hn|Ĥ1 |n i|
(2)
En ' εn + E (1) + E (2) avec En = n0 6=n n − 0 .
(b)
Yl,m (θ, ϕ)
l
(−1) Ylm (θ, ϕ).
Si
n
La
3. Si
fonction
l0 6= l ± 1
a
la
parité
l
(−1)
,
c'est
à
dire
(PYlm ) (θ, ϕ) = Ylm (π − θ, ϕ + π) =
hl, m| cos θ̂|l0 , mi = 0, et aussi
s
(l + m + 1) (l − m + 1)
= hl + 1, m| cos θ̂| |{z}
l , mi
hl, m| cos θ̂|l + 1, mi =
| {z }
(2l + 1) (2l + 3)
0
alors
l0
où
l 0 = l + 1.
2
l −1