MAT-350 Probabilités et statistiques Exercices résolus

Université du Québec (UQ)
École de technologie supérieure
Service des enseignements généraux
MAT-350
Probabilités et statistiques
Exercices résolus
par
El Mostapha Frih, Maître d’enseignement
Révisé en septembre 2005

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Probabilités générales
Exercice 1.
Un mot est une chaîne formée de 32 bits. Combien y-a t-il de mots possibles?
Solution:
Chaque mot est une suite ordonnée de 32 bits. Pour chaque bit, il y a deux choix possibles
0 et 1. D’après le principe de multiplication, il y a
2
32 mots possibles.
Exercice 2.
Il y a trois routes différentes qui relient deux villes.
a) De combien de façons peut-on aller d’une ville à l’autre et revenir?
b) Même question mais en avec un chemin différent au retour?
Solution:
a) Il y a 3 routes possibles à l’aller et 3 au retour. Par le principe de multiplication, il y a
9 chemins possibles pour aller d’une ville à l’autre et revenir.
b) Il y a 3 routes possibles à l’aller et 2 au retour. Par le principe de multiplication, il y a
6 chemins possibles pour aller d’une ville à l’autre et revenir.
Exercice 3.
a) Combien de groupes de 3 étudiants peut-on former dans une classe de 30?
b) Combien de comités syndicaux composés d’une présidente, d’une trésorière et d’une
secrétaire peut-on former parmi 30 infirmières?
Solution:
a) Un groupe est un sous-ensemble de 3 éléments d’un ensemble à 30 éléments. Il y a
30
34060
F
H
G
I
K
J= groupes possibles. (Remarque: l’ordre n’est pas important car le groupe
A, B, C est le même que B, C, A etc.. C’est pour ça qu’on a considéré un groupe
comme un sous-ensemble).

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b) Un comité est une suite ordonnée de 3 infirmières choisis parmi 30. Par le principe de
multiplication, il y a
30
29
28
24360
*
*
=
comités possibles. (Remarque: L’ordre est
important car le comité A, B, C n’est pas le même que B, C, A etc., à cause des rôles
différents des membres du comité. Ça revient aussi à permuter 3 éléments parmi 30).
Exercice 4.
a) Combien de mots de six lettres peut-on former avec toutes les lettres du mot maison?
b) Combien de mots de neuf lettres peut-on former avec toutes les lettres du mot
biochimie?
Solution:
a) Dans le mot maison, il y a six lettres différentes. Le nombre de mots qu’on peut
former avec ces six lettres est le nombre de permutations de 6 parmi 6 qui est
6!
6
5
4
3
2
1
720
=
=
*
*
*
*
*
. On aurait pu aussi utiliser le principe de multiplication.
b) Dans le mot biochimie, il y a neuf lettres mais la lettre i est répétée trois fois. Le
nombre de permutations
9
!
comprend tous les mots de neuf lettres mais en
considérant toutes les lettres comme étant distinctes même les trois lettres i. Chaque
mot est donc répété
3
!
fois et par conséquent le nombre de mots distincts de neuf
lettres est 9!
60480
3!
=.
Exercice 5.
Un générateur de nombres aléatoires est activé deux fois pour simuler un nombre à deux
chiffres. Tous les chiffres entre 0 et 9 a la même chance d’apparaître.
a) Décrire l’espace d’échantillonnage
b) Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre 22?
c) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre contenant le chiffre 2?
Solution:
a) l’espace d’échantillonnage est l’ensemble de nombres ab où a et b sont des nombres
de 0 à 9. Par le principe de multiplication, il y a
10
100
2
=
événements élémentaires.

4
b) La probabilité d’obtenir 22 est 1
100
et est la même pour tous les autres nombres.
c) Il y’a 10 nombres qui finissent par 2 et 10 qui commencent par 2. Mais le nombre 22
doit être compté une seule fois. La probabilité d’obtenir un nombre contenant le
chiffre 2 est donc 19
100
.
On peut aussi utiliser
p
A
B
p
A
p
B
p
A
B
(
)
(
)
(
)
(
)
∪
=
+
−
∩
où A et B sont respectivement
les événements : “Le nombre finit par 2” et “Le nombre commence par 2”.
A
B
∩
est
alors formé d’un seul événement élémentaire qui est le nombre 22 et donc
10 10 19
1
( )
100 100 100 100
p A B∪ = + − = .
Exercice 6.
Expliquez pourquoi les énoncés suivants sont faux :
a) La probabilité qu’un étudiant réussisse le cours de mathématiques est 0,7 et la
probabilité qu’il réussisse le cours de mathématiques ou d’informatique est 0,65.
b) La probabilité qu’un étudiant réussisse le cours de mathématiques est 0,8 et la
probabilité qu’il réussisse le cours de mathématiques et d’informatique est 0,82.
c) Une personne veut assister à la projection de deux films le samedi et le dimanche. La
probabilité qu’elle aimera le film du samedi est 0,4, la probabilité qu’elle aimera celui
du dimanche est 0,2 et la probabilité qu’elle aimera celui du samedi mais pas celui du
dimanche est 0,15.
Solution:
a) Notons par M l’événement : « L’étudiant réussit le cours de mathématiques » et par I
l’événement : « L’étudiant réussit le cours d’informatique ». On ne peut pas avoir
p
M
(
)
.
=
0
7
et
p
M
I
(
)
.
∪
=
0
65
. La raison est que
M
M
I
⊂
∪
et par conséquent
p
M
(
)
ne peut pas dépasser
p
M
I
(
)
∪
b) Avec les mêmes notations que a), on ne peut pas avoir
p
M
(
)
.
=
0
8
et
p
M
I
(
)
.
∩
=
0
82
. La raison est que
M
I
M
∩
⊂
et par conséquent
p
M
I
(
)
∩
ne peut
pas dépasser
p
M
(
)
.

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c) Notons par S l’événement: “La personne aimera le film du samedi” et par D
l’événement :“La personne aimera le film du dimanche”. Si
( ) 0,4
p S
=
,
( ) 0,2
p D
=
et
( ) 0,15
c
p S D∩ =
, de la formule
( ) ( ) ( )
c
p S D p S p S D
∩ = − ∩ , on déduit
( ) 0,25
p S D
∩ =
. Ceci est impossible car
S
D
D
∩
⊂
et donc
p
S
D
(
)
∩
ne peut pas
dépasser
p
D
(
)
.
Exercice 7.
La probabilité qu’une secrétaire fasse au plus trois erreurs par page est 0,5 et la probabilité
de faire de 4 à 8 erreurs est 0,3. Quelle est la probabilité que la secrétaire fasse
a) au moins 4 erreurs par page?
b) au plus 8 erreurs par page?
Solution:
Notons par A l’événement : “La secrétaire fait au plus 3 erreurs par page”, B l’événement:
“La secrétaire fait 4 à 8 erreurs par page” et par C l’événement: “La secrétaire fait plus de
8 erreurs par page”. On a
p
A
(
)
,
=
0
5
,
p
B
(
)
,
=
0
3
et
p
C
(
)
,
=
0
2
. Remarquez que A, B et
C sont incompatibles deux à deux.
a)
p
B
C
p
A
p
C
(
)
(
)
(
)
,
∪
=
+
=
0
5
.
b)
p
A
B
p
A
p
B
(
)
(
)
(
)
,
∪
=
+
=
0
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Exercice 8.
Une boite contient 24 ampoules dont deux sont défectueuses. Si on tire deux ampoules
sans remise, quelle est la probabilité
a) qu’aucune ne soit défectueuse?
b) qu’une seule soit défectueuse?
c) que les deux soient défectueuses?
Solution:
Un événement élémentaire est une suite ordonnée de deux ampoules. Il y a donc
24*23=552 événements élémentaires.