10 Séparation de variables pour l`équation de Laplace

10 Séparation de variables pour l'équation de Laplace
10.1 INTRODUCTION
La technique de séparation de variables consiste à accepter que toute fonction représentant un
potentiel solution de l'équation de Laplace peut s'écrire comme un produit de fonctions
dépendant chacune d'une seule coordonnée (ceci n'est pas évident: essayez avec ). On
arrive alors à transformer l'équation de Laplace (dérivées partielles) en un ensemble d'équations
différentielles ordinaires, dont la solution est censée être plus aisée.
fxy=+
Il est évident que cette technique dépend fortement du système de coordonnées considéré. Par
la suite on la décrit pour les trois systèmes classiques: coordonnées cartésiennes, cylindriques et
sphériques.
10.2 SEPARATION DE VARIABLES EN CARTESIENNES
10.2.1 FORMULATION THEORIQUE
Pour simplifier l'exposé de la technique, on va considérer seulement des cas bidimensionnels,
où le potentiel ne dépend pas de la troisième coordonnée z. On acceptera donc que la
solution de
(, )Vxy
2222
0 (,)/ (,)/ 0VVxyxVxy∇= ⇒∂ ∂+∂ ∂=
2
y
/
(10.1)
peut s'écrire comme:
(,) () ()Vxy XxYy= (10.2)
Alors, introduisant (10.2) dans (10.1) on trouve
20VXYXY
′′ ′′
∇= + =
(10.3)
et en divisant par XY:
/XX YY
′′ ′′
=− (10.4)
Chaque coté de l'égalité est une fonction d'une variable différente. Alors la seule façon d'assurer
l'égalité est forcer ces fonctions à être la même constante réelle (mais inconnue) C:
/ ; /
X
XC YY
′′ ′′
=+ =−C
(10.5)
Les solutions de ces équations différentielles ordinaires de deuxième degré peuvent s'écrire:
12
12
exp( ) exp( )
exp( ) exp( )
X
axCa xC
Yb xC b xC
=+−
=−+−−
(10.6)
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Si C est positive, les exponentielles sont réelles et peuvent aussi s'écrire comme une
combinaison de fonctions hyperboliques sinh et cosh. Si C est négative, les exponentielles sont
imaginaires et peuvent aussi s'écrire comme une combinaison de fonctions trigonométriques sin
et cos (Euler).
Donc, si pour simplifier la notation on introduit une nouvelle constante |kC=|
>
<
, on peut
écrire les deux possibilités suivantes pour le potentiel (10.2):
1212
( , ) ( sinh cosh )( sin cos ) ; 0Vxy A kx A kxB ky B ky C=+ + (10.7a)
121 2
( , ) ( sin cos )( sinh cosh ) ; 0Vxy A kx A kx B ky B ky C=+ + (10.7b)
A ces deux solutions, il faut ajouter le cas particulier 0C
=
. Dans cette situation, les solutions
des équations (10.5) ont comme solution des fonctions linéaires:
1212
(, ) ( )( ) ; 0Vxy Ax A By B C=+ + = (10.7c)
A remarquer que cette dernière possibilité est celle à employer (avec ) quand on cherche
un potentiel dépendant seulement d'une coordonnée cartésienne x. Ceci correspond au fait que
dans un condensateur plan idéal le potentiel à l'intérieur est une fonction linéaire.
10B=
10.2.2 UN PREMIER EXEMPLE
Imaginons un domaine rectangulaire limité par les quatre droites 0; ; 0;
x
xay yb
=
== =
. Les
potentiels dans ces quatre cotés sont respectivement:
(0)
a
VVy===0ba ; ; ( ) /
b
VVxaUy=== ( ) /
c
VVybUx
=
== ; ( 0) 0
d
VVx===
Pour trouver le potentiel en tout point interne, il faut d'abord choisir une des trois expressions
possibles (10.7). Ceci peut être moins évident dans des cas plus compliqués, mais ici de toute
évidence on choisit la possibilité linéaire (10.7c) car c'est elle qui nous donne plus de chances
de satisfaire les valeurs sur les cotés (conditions aux limites). et on écrit:
1212
(,) ( )( )Vxy Ax A By B=+ + (10.8)
Le but est maintenant de calculer les 4 constantes. Il faut remarquer qu'en réalité on n'a pas
besoin des valeurs individuelles mais des produits ,
i
AB
iij i j
CAB
=
car le potentiel peut
s'écrire aussi:
11 12 21 22
(,)Vxy C xy C x C y C=+++ (10.9)
En fonction des données, une des deux formulations (10.8) ou (10.9) sera la plus convenable.
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On commence alors par identifier l'expression générale aux données dans chaque coté (jamais
dans des points individuels!). Si possible on commence par les cotés qui sont sur les axes et par
ceux où le potentiel est nul. Ceci simplifie les calculs.
Alors, par exemple:
12
( , 0) 0 ( )
a
VVxy AxAB====+
2
Cette équation implique que (l'alternative
20B=12
0AA
=
= annulerait tout le potentiel!).
Donc la mise à jour du potentiel donne:
121
(, ) ( )Vxy Ax A By=+
On peut croire qu'il nous reste trois constantes à calculer, mais 1
B
est devenue une constante
multiplicative qui peut être absorbée par les autres deux.
On passe alors au coté suivant:
21
(0,)0
d
VVx y AB== == y
Ici, le choix évident (pourquoi?) est 20A
=
. La mise à jour du potentiel donne:
11
(,)Vxy ABxy=
Le coté suivant peut être:
11
(,) /
b
VVxayUybABa== = = y
Ceci mène à:
11 /AB U ab=
et maintenant toutes les constantes sont connues, la mise à jour du potentiel donnant:
(, ) /Vxy Uxyab=
Pour s'assurer que ceci est la bonne solution il faut encore vérifier le dernier coté. Ici cela
marche, mais cela pourrait ne pas être le cas. Si on arrive à la fin à une contradiction, la
conclusion qui s'imposerait est que le choix de départ (10.8) était mauvais et il faudrait essayer
autre chose.
10.2.3 UN PROBLEME ELEMENTAIRE SERVANT COMME BLOC DE BASE
On reste sur un rectangle des dimensions (a,b) mais maintenant on met trois potentiels à zero et
on impose une dépendance sinusoïdale sur le quatrième. Plus précisément, on considère le
problème: [ 0, 0 , sin / , 0]
abc d
VVVUnxaV
π
=== =
où n est un nombre entier.
Alors parmi les possibilités (10.7) le choix le plus logique semble (10.7b) car la donnée impose
déjà une périodicité selon x (les deux cotés verticaux sont à potentiel zéro). Donc, on postule
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121 2
( , ) ( sin cos )( sinh cosh ) ; 0Vxy A kx A kx B ky B ky C=+ + <
2
Comme dans l'exemple précédent, on commence par les cotés qui sont sur les axes et par ceux
où le potentiel est nul. Alors:
12
( , 0) 0 ( sin cos )
a
VVxy A kxA kxB==== +
Cette équation implique que est la mise à jour du potentiel donne:
20B=
12
( , ) ( sin cos )sinhVxy A kx A kx ky=+
où la constante multiplicative arbitraire 1
B
a été "absorbée".
On passe alors à l'axe y:
2
(0,)0(,) sinh
d
VVx y VxyA k== == = y
)
et ceci donne ,ce qui nous permet d'écrire
20A=
1
(,) sin sinhV x y A kx ky=
Le troisième coté à tester est encore (
x
a
=
a potentiel nul:
1
(,)0sinsinh
b
VVxay A ka k== == y
Ici, le choix mènerait à un potentiel nul partout, ce qui est absurde. Donc on prend:
10A=
sin 0 ; entierka ka m m
π
=⇒ = =
Et le potentiel est maintenant:
1
(,) sin( / )sinh( /)Vxy A mxa mya
π
π =
On comprend maintenant que la donnée a été préparée pour "jouer" dans le quatrième coté, où
l'on a:
1
( , ) sin( / ) sin( / )sinh( / )
c
VVxybU nxaA mxa mba
π
ππ === =
et il suffit de choisir: et
mn=1/sinh( / )AU nba
π
=
, avec le résultat final:
sinh( / )
(,) sin( / )
sinh( / )
nya
Vxy U nxa nba
π
ππ = (10.10)
Mais on doit se demander que serait-il arrivé si la donnée dans le coté supérieur
c
V()yb
=
n'avait pas été si arrangeante.
10.2.4 SEPARATION DE VARIABLES ET PRINCIPE DE SUPERPOSITION
On peut avoir l'impression que la méthode de séparation de variables s'applique seulement à
quelques cas très spécifiques car il faut avoir beaucoup de chance pour que les données
s'ajustent à une des trois possibilités acceptables décrites dans les équations (10.7). Par exemple
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si les données sur le contour rectangulaire montrent une variation sinusoïdale à la fois selon x
(cotés "verticaux") et selon y (cotés "horizontaux") aucune des trois possibilités n'y marche.
La sortie de cette impasse apparente se trouve dans le principe de superposition.
Supposons qu'on cherche la solution à l'intérieur d'un rectangle où le potentiel dans les
quatres cotés est donné par les fonctions . Maintenant on considère
N problèmes auxiliaires (si possible plus simples) où les potentiels dans les quatres cotés sont:
(, )Vxy
( ) , ( ) , ( ) , ( )
abcd
VxVyVxVy
( ) , ( ) , ( ) , ( ) ; 1...
ai bi ci di
VxVyVxVy i N
=
et dont les solutions sont . ( , )
i
Vxy
Le principe de superposition affirme que si
1111
() () ; () () ; () () ; () ()
NNNN
ai a bi b ci c di d
iiii
VxVx VxVx VxVx VxVx
====
===
∑∑∑∑
=
0]
alors forcément:
1
(,) (,)
N
i
i
Vxy Vxy
=
=∑ (10.11)
On peut appliquer ce principe de façon systématique en réduisant tout problème à la somme de
quatre problèmes auxiliaires "standard" du même type, où le potentiel est nul sur trois des
quatre cotés.
Symboliquement, si on représente la donnée d'un problème comme [ , on peut
écrire:
, , , ]
ab cd
VVVV
[ , , , ] [ , 0,0,0] [0, ,0,0] [0,0 , , 0] [0,0,0, ]
ab cd a b c d
VVVV V V V V=++ +
Mais cette stratégie, bien que systématique, n'est pas toujours la plus simple. En effet, la plupart
du temps, le problème "standard" [ demande une série de Fourier, même dans les cas
où le problème complet [ a une solution élémentaire. Donc une solution
manuelle efficace peut demander d'autres décompositions du problème. Une règle générale est
qu'il faut examiner la continuité du potentiel aux sommets du rectangle et ne pas introduire dans
les problèmes auxiliaires des discontinuités inexistantes dans le problème général.
, 0,0,0]
a
V
, , , ]
ab cd
VVVV
Par exemple, essayer de résoudre le problème de la section 10.1:
[0, /, /,
ab c d
V V Uy b V Ux a V== = =
avec la décomposition:
[ 0, / , 0, 0] [ 0, 0, / , 0]
ab cd abc d
V V Uy b V V V V V Ux a V== ==+=== =
serait une très mauvaise stratégie.
10.2.5 UN APPLICATION SIMPLE DU PRINCIPE DE SUPERPOSITION
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