1 – DS8 Sciences Physiques MP 2016-2017 Devoir surveillé de Sciences Physiques n◦8 du 30-03-2017 — Durée : 3 heures — Problème no 1 – Déformation et inversion de l’ammoniac NH3 JR Seigne 2017 Ce problème a été réalisé en utilisant, en particulier, le cours de Mécanique quantique de l’École Polytechnique de Jean-Louis Basdevant et Jean Dalibard. Des données utiles au problème sont situées à la fin de l’énoncé. La molécule d’ammoniac à l’état gaz possède la formule brute NH3 . Sa structure spatiale est celle d’une pyramide comme on peut le voir sur le schéma de la figure 1. Les trois atomes d’hydrogène H constituent un plan dont la distance à l’atome d’azote évolue au cours du temps. La hauteur de la pyramide peut varier en fonction des déformations que la molécule effectue. L’étude spectroscopique de la molécule montre qu’elle absorbe (et 1 émet) dans l’infrarouge à un nombre d’onde σ = = 9, 8 × 102 cm−1 . Cette longueur d’onde correspond aux λ déformations de la pyramide qui - tout en restant bien pyramidale - voit la hauteur du plan contenant les atomes d’hydrogène évoluer. Ce phénomène sera étudié par une approche en Mécanique classique. N H H z H Figure 1 – Structure pyramidale de la molécule d’ammoniac NH3 A. Déformation de la pyramide L’étude de la déformation de la pyramide s’effectue en commençant par considérer une particule situé au barycentre des trois atomes d’hydrogène possédant la masse 3mH . On est ainsi ramené à l’étude d’un système de deux corps - cette particule représentant les atomes d’hydrogène et l’atome d’azote. On peut démontrer que l’étude d’un système à deux corps peut être réalisée en considérant une seule particule fictive possédant une masse appelée masse réduite m du système, soumise à la force d’interaction existant entre les deux corps. Si le système est constitué d’un corps de masse m1 et d’un second de masse m2 , la masse réduite est : m= m1 m2 m1 + m2 1. Écrire la structure électronique de l’atome d’hydrogène et celle de l’atome d’azote. En déduire le nombre d’électrons de valence et donner le schéma de Lewis de la molécule d’ammoniac. 2. Lorsque des atomes liés à un même atome central - comme ici l’atome d’azote - occupent l’espace, ils cherchent à minimiser leurs interactions. Ceci devrait conduire à une molécule plane où les atomes d’hydrogène seraient disposés à 120˚ les uns des autres. Quelle explication pouvez-vous donner pour justifier la structure pyramidale ? 3. Déterminer numériquement la masse m de la particule fictive permettant l’étude des déformations de la pyramide NH3 . On note z la coordonnée verticale du plan des atomes d’hydrogène par rapport à l’atome d’azote qui sert d’origine. On considère que l’interaction entre les atomes d’hydrogène et l’atome d’azote est décrite par la force suivante : V0 F~ = − 4 z (z 2 − 4a2 ) ~ez 4a où V0 = 0, 25 eV est une énergie et a une distance telle que 2a = 39 pm. Toutes les autres forces sont négligées. 4. Justifier le fait que V0 soit bien une énergie. 5. Montrer que la force F~ dérive d’une énergie potentielle Epot que l’on déterminera à une constante près dans un premier temps. 6. Déterminer la constante précédente pour que la plus petite valeur de l’énergie potentielle soit nulle. On pose maintenant z = a ε où ε est la coordonnée verticale adimensionnée de l’étude de la position du plan des atomes d’hydrogène par rapport à l’atome d’azote. Montrer que l’énergie potentielle s’écrit alors : JR Seigne Clemenceau Nantes Sciences Physiques MP 2016-2017 DS8 – 2 2 V0 2 ε −4 16 7. Représenter Epot (ε) et étudier les différentes positions d’équilibre. 8. Décrire qualitativement le mouvement des trois atomes d’hydrogène lorsque l’énergie du système est E > V0 . 9. En réalité, l’énergie E est toujours petite devant V0 : 0 < E ≪ V0 . Établir l’équation différentielle vérifiée par ε. Montrer que le mouvement est alors caractérisé par la fréquence : r 2V0 1 f0 = 2π ma2 Epot = 10. Faire l’application numérique et confronter le résultat à la radiation infrarouge évoquée pour la molécule d’ammoniac. B. Étude de l’inversion L’inversion de la molécule d’ammoniac correspond au passage de la pyramide avec les atomes d’hydrogène d’un côté de l’atome d’azote N à leur position de l’autre côté comme on peut le voir sur le schéma de la figure 2. On a une situation comparable à un parapluie qui se retourne. La molécule d’ammoniac oscille en permanence entre les deux pyramides. Cette inversion correspond à une fréquence νinv = 24 GHz. Cette fréquence a été mesurée avec une très grande précision, elle est en quelque sorte une empreinte digitale de la molécule NH3 . Ce comportement particulier de l’ammoniac a été utilisé en pour la mise au point du MASER pour Microvave Amplification by Stimulated Emission of Radiation. Le MASER est le précurseur à la fois sur le plan physique et technique du LASER qui a été réalisé dans les 10 ans qui ont suivi. Rappel : LASER pour Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation. L’inversion de la molécule d’ammoniac ne peut qu’être étudiée grâce à la théorie de la Mécanique quantique. H H N H H Inversion N H H Figure 2 – Inversion de la structure pyramidale de la molécule d’ammoniac NH3 Pour simplifier l’étude de la fonction d’onde, on modélise le potentiel V (ε) = Epot (ε) par une double-puits infini donné sur le graphique de la figure 3. L’étude sera effectuée dans le cas où l’énergie E du quanton de masse m est petite devant la barrière de potentiel V0 : 0 < E ≪ V0 . On étudie les états stationnaires de fonction d’onde ψ(ε, t). V (ε) 1 2 V0 b −3 b b 3 b b b b 0 1 2 −2 −1 Figure 3 – Double-puits de potentiel de la molécule NH3 b 3 ε 11. Soit ϕ(ε) la fonction d’onde spatiale d’un état stationnaire du quanton de masse m et d’énergie E. Établir l’équation différentielle vérifiée par ϕ(ε) en fonction de V (ε) en particulier. r r r 2ma2 E 2ma2 (V0 − E) 2ma2 V0 12. On pose K = et µ = ≃ puisque E ≪ V0 . Exprimer en fonction 2 2 ~ ~ ~2 de K ou de µ, les équations différentielles vérifiées par ϕ(ε) en fonction de la zone du double-puits de potentiel retenue. En déduire les formes générales des solutions de ces équations différentielles. 13. En ε = ±3, le potentiel devient infini. Quelle est la conséquence pour les solutions précédentes ? Simplifier les solutions qui peuvent l’être. JR Seigne Clemenceau Nantes 3 – DS8 Sciences Physiques MP 2016-2017 Pour la suite du problème, on écrira la fonction d’onde spatiale qui est une fonction réelle sous la forme suivante : ϕ1 (ε) = α1 sin K(ε + 3) ϕ2 (ε) = α2 ch µε + β2 sh µε ϕ3 (ε) = α3 sin K(ε − 3) 14. Quelles sont les conditions que doit vérifier ϕ(ε) en ε = ±1 ? On commence par s’intéresser aux solutions sites symétriques pour lesquelles β2 = 0, c’est-à-dire à des solutions paires pour ϕ(ε). 15. Montrer que l’application des conditions de la question précédente entraı̂ne les deux équations suivantes : 1 1 1 tan 2Ks = − Ks µ tanh µ avec Ks = K 16. La valeur de µ est telle que exp µ ≫ exp −µ. Montrer alors que la contrainte sur l’énergie se traduit par l’équation : tan 2Ks = −2Ks ps avec ps = 1 + 2 exp −2µ 2µ 17. On recherche la plus petite valeur de l’énergie non nulle accessible. La valeur de µ permet d’écrire que ps ≪ 1. Montrer que la solution de l’équation de contrainte précédente a pour solution : 2Ks = π(1 − ps ) On pourra s’aider d’une méthode graphique pour s’expliquer et d’un développement limité judicieux de la fonction tangente. On considère maintenant les solutions antisymétriques, c’est-à-dire les solutions pour lesquelles α2 = 0 et β2 6= 0. 18. Montrer que l’application des conditions que doit vérifier la fonction d’onde spatiale entraı̂ne : 1 1 tan 2Ka = − tanh µ avec K = Ka Ka µ 19. Montrer que la constante K = Ka est telle : 2Ka = π(1 − pa ) avec pa = 1 − 2 exp −2µ 2µ 20. Déduire de l’ensemble des calculs précédents, l’expression de la plus basse énergie accessible pour le quanton pour les solutions symétriques E1s et pour les solutions antisymétriques E1a . 21. Comparer E1s et E1a et exprimer la différence d’énergie ∆E1 > 0 entre ces deux niveaux accessibles. Sur le graphique de la figure 4, on peut voir les représentations des fonctions d’ondes spatiales symétriques et antisymétriques correspondant aux énergies E1s et E1a à des échelles identiques. Afin d’expliquer le phénomène d’inversion et la mesure de la fréquence νinv = 24 GHz, on s’intéresse à deux fonctions d’onde construites par combinaison linéaire des deux solutions précédentes : 1 ϕg = √ (ϕs − ϕa ) 2 1 et ϕd = √ (ϕs + ϕa ) 2 Ces deux fonctions sont qualifiées de gauche (ϕg ) ou de droite (ϕd ) car la densité de probabilité est élevée à gauche (respectivement à droite) de la barrière de potentiel et faible à droite (respectivement à gauche) comme on peut l’imaginer assez aisément grâce aux graphiques de la figure 4. On considère enfin la fonction d’onde : 1 ψ(ε, t) = √ 2 JR Seigne E1s t E1a t ϕs (ε) exp −i − ϕa (ε) exp −i ~ ~ Clemenceau Nantes Sciences Physiques MP 2016-2017 DS8 – 4 ϕs ϕa 0 ε 0 ε Figure 4 – Fonctions d’ondes spatiales ϕs (ε) symétrique à gauche et ϕa (ε) antisymétrique à droite 22. Expliquer pourquoi la fonction d’onde ψ(ε, t) décrit un quanton localisé à gauche à la date t = 0. 23. Montrer qu’au cours du temps la densité de probabilité associée à la fonction d’onde ψ(ε, t) oscille à la fréquence νinv que l’on exprimera en fonction de ∆E1 et de h. Expliquer que l’oscillation de cette fonction d’onde correspond bien au phénomène d’inversion. 24. Déterminer la valeur numérique de νinv et la comparer à la valeur attendue sachant que la valeur de νinv est très sensible à la modélisation du double-puits de potentiel proposé à la figure 3. Comment se nomme en Mécanique quantique le phénomène qui permet d’expliquer l’inversion de la molécule d’ammoniac NH3 ? Expliquer. Données : Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3, 0 × 108 m · s−1 Constante d’Avogadro : NA = 6, 0 × 1023 mol−1 Constante de Boltzmann : kB = 1, 4 × 10−23 J · K−1 Constante de Planck : h = 6, 6 × 10−34 J · s Constante réduite de Planck : ~ = h/(2π) Charge élémentaire : e = 1, 6 × 10−19 C Masse d’un nucléon : mn = 1, 7 × 10−27 kg H : Z = 1 et A = 1 N : Z = 7 et A = 14 On rappelle l’équation de Schrödinger pour un quanton de masse m possédant l’énergie E, évoluant en milieu unidimensionnel d’axe Ox dans un potentiel 1 V (x) indépendant du temps. Le quanton est représenté par la fonction d’onde ψ(x, t). On a : i~ ∂ψ(x, t) ~2 ∂ 2 ψ(x, t) =− + V (x) ψ(x, t) ∂t 2m ∂x2 Dans le cas d’un potentiel V (x) indépendant du temps, les états stationnaires du quanton sont décrits par la fonction d’onde ψes (x, t) telle que : ψes (x, t) = ϕ(x) exp −i E t ~ où ϕ(x) est la fonction d’onde spatiale. 1. Attention : en Mécanique quantique, on nomme potentiel V (x) en réalité une énergie potentielle. JR Seigne Clemenceau Nantes 5 – DS8 Sciences Physiques MP 2016-2017 Problème no 2 – Ondes et particules CCP MP 2016 Dans ce problème, nous étudierons quelques propriétés d’ondes mais aussi quelques propriétés des corpuscules associés comme les photons, les phonons et les électrons. Données : Constante de Planck : h = 6, 6 × 10−34 J · s et ~ = h/2π = 1, 0 × 10−34 J · s Constante de Boltzmann : kB = 1, 4 × 10−23 J · K−1 Constante d’Avogadro : NA = 6, 0 × 1023 mol−1 Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3, 0 × 108 m · s−1 Charge élémentaire : e = 1, 6 × 10−19 C Masse de l’électron : me = 9, 1 × 10−31 kg γ λ < 10 pm X 10 pm < λ < 100 nm UV 100 nm < λ < 380 nm Visible IR 780 nm < λ < 1 mm Radio 1 mm < λ Formules trigonométriques : cos 2α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1 1 + tan2 α = 1 cos2 α 1 + cotan2 α = 1 sin2 α A. Ondes électromagnétiques 1. Rappeler quels sont les liens entre la pulsation ω et le vecteur d’onde ~k d’une onde électromagnétique et les caractéristiques de la particule associée, le photon. 2. Quels sont les ordres de grandeur de l’énergie, exprimée en eV, d’un photon visible et d’un photon X qui est diffracté par les réseaux cristallins ? 3. Pour un photon qui se propage dans un milieu d’indice n, justifier pourquoi sa quantité de mouvement nh (impulsion) vaut en norme p = . λ0 B. Ondes de matières 4. Donner le vecteur d’onde et la pulsation de l’onde associée à une particule on relativiste d’énergie E et e dx quantité de mouvement p~ = m ~ex . dt 5. Établir la longueur d’onde associée à un électron, initialement immobile, non relativiste, accéléré avec une différence de potentiel U . 6. Déterminer la valeur de U , pour laquelle on obtiendrait la même longueur d’onde que celle d’un photon X de λ = 0, 1 nm. 7. Un électron, qui assure la conduction métallique, doit-il être considéré comme quantique ? On considère que le réseau cristallin est caractérisé par un paramètre de maille a de l’ordre de 10−10 m et que les électrons libres ont une vitesse due à l’agitation thermique. On se placera à 300 K. 8. Pouvez-vous citer les noms de 3 physiciens qui se sont illustrés par leur contribution en Physique quantique ? Placer leur travaux par ordre chronologique. C. Diffusion de Brillouin Une onde sonore monochromatique se décrit, comme toute onde, au moyen d’une pulsation ω et d’un vecteur d’onde ~k. On lui associe une particule appelée phonon. 9. Donner la quantité de mouvement ~q du phonon associé à une onde acoustique de fréquence ν, qui se propage ~ = V ~u = ω ~u, ~u étant le vecteur unitaire de la direction de propagation orienté dans l’eau avec une célérité V k dans le sens de la propagation. 10. Donner l’énergie ep de ce phonon. 11. Évaluer numériquement q et ep (en eV), pour une fréquence sonore de 1, 0 kHz et une vitesse de propagation V = 1, 5 km · s−1 . 12. Comparer les caractéristiques de ce phonon avec celles d’un photon du domaine visible. La diffusion de Brillouin correspond à un choc entre une particule photon incident et une particule phonon avec annihilation du phonon et diffusion du photon émergent. On suppose que le système est un système isolé. JR Seigne Clemenceau Nantes Sciences Physiques MP 2016-2017 (a) photon incident DS8 – 6 (b) phonon incident θ photon incident photon diffusé phonon émis θ photon diffusé Figure 5 – Vecteurs quantités de mouvement annihilation (a) ou création (b) d’un phonon à partir d’un photon incident La situation des vecteurs quantités de mouvement avant et après le choc est représentée par les vecteurs de la figure 5. 13. Justifier pourquoi la quantité de mouvement se conserve dans un système isolé. Quelle autre grandeur est conservative ? On considère un phonon associé à l’onde sonore, engendrée dans l’eau liquide, qui se propage avec célérité V = 1, 5 × 103 m · s−1 à 50 ◦ C. l’indice optique de l’eau vaut 1, 3. Une source de lumière laser, de longueur d’onde λinc = 0, 53 µm et de fréquence νinc , arrive sur une cuve remplie d’eau liquide juste saturante. La collision photon-phonon engendre un photon de longueur d’onde λem et de fréquence νem . On observe le faisceau lumineux transmis dans la direction qui fait un angle θ avec la direction du faisceau incident. Dans ce choc, le phonon de quantité de mouvement initiale ~q disparaı̂t. On peut établir, à partir des lois de conservation précédemment citées et en tenant compte des ordres de grandeur, que la quantité de mouvement du phonon vaut : q≃2 θ nh sin λinc 2 + 14. En déduire le décalage en fréquence du photon ∆ν + = νem − νinc en fonction de λinc , n, V et θ. 15. Évaluer numériquement le décalage Brillouin dans la direction θ = 90˚, pour l’eau saturante à 50 ◦ C sous les deux formes suivantes : — absolu en fréquence ∆ν + , — relatif en longueur d’onde ∆λ+ /λinc . 16. La résolution d’un spectromètre à réseau vous semble-t-elle suffisante pour déceler ce décalage ? JR Seigne Clemenceau Nantes