DS8 - Sciences Physiques en MP au lycée Clemenceau Nantes Site

1 – DS8 Sciences Physiques MP 2016-2017
Devoir surveill´e de Sciences Physiques n◦8 du 30-03-2017
— Dur´ee : 3 heures —
Probl`eme no1 – D´eformation et inversion de l’ammoniac NH3JR Seigne
2017
Ce probl`eme a ´et´e r´ealis´e en utilisant, en particulier, le cours de M´ecanique quantique de l’´ Ecole Polytechnique
de Jean-Louis Basdevant et Jean Dalibard.
Des donn´ees utiles au probl`eme sont situ´ees `a la fin de l’´enonc´e.
La mol´ecule d’ammoniac `a l’´etat gaz poss`ede la formule brute NH3. Sa structure spatiale est celle d’une pyramide
comme on peut le voir sur le sch´ema de la figure 1. Les trois atomes d’hydrog`ene Hconstituent un plan dont
la distance `a l’atome d’azote ´evolue au cours du temps. La hauteur de la pyramide peut varier en fonction
des d´eformations que la mol´ecule effectue. L’´etude spectroscopique de la mol´ecule montre qu’elle absorbe (et
´emet) dans l’infrarouge `a un nombre d’onde σ=1
λ= 9,8×102cm−1. Cette longueur d’onde correspond aux
d´eformations de la pyramide qui - tout en restant bien pyramidale - voit la hauteur du plan contenant les atomes
d’hydrog`ene ´evoluer. Ce ph´enom`ene sera ´etudi´e par une approche en M´ecanique classique.
N
HH
Hz
Figure 1 – Structure pyramidale de la mol´ecule d’ammoniac NH3
A. D´eformation de la pyramide
L’´etude de la d´eformation de la pyramide s’effectue en commen¸cant par consid´erer une particule situ´e au
barycentre des trois atomes d’hydrog`ene poss´edant la masse 3mH. On est ainsi ramen´e `a l’´etude d’un syst`eme
de deux corps - cette particule repr´esentant les atomes d’hydrog`ene et l’atome d’azote. On peut d´emontrer que
l’´etude d’un syst`eme `a deux corps peut ˆetre r´ealis´ee en consid´erant une seule particule fictive poss´edant une
masse appel´ee masse r´eduite mdu syst`eme, soumise `a la force d’interaction existant entre les deux corps. Si le
syst`eme est constitu´e d’un corps de masse m1et d’un second de masse m2, la masse r´eduite est :
m=m1m2
m1+m2
1. ´ Ecrire la structure ´electronique de l’atome d’hydrog`ene et celle de l’atome d’azote. En d´eduire le nombre
d’´electrons de valence et donner le sch´ema de Lewis de la mol´ecule d’ammoniac.
2. Lorsque des atomes li´es `a un mˆeme atome central - comme ici l’atome d’azote - occupent l’espace, ils
cherchent `a minimiser leurs interactions. Ceci devrait conduire `a une mol´ecule plane o`u les atomes d’hydrog`ene
seraient dispos´es `a 120˚ les uns des autres. Quelle explication pouvez-vous donner pour justifier la structure
pyramidale ?
3. D´eterminer num´eriquement la masse mde la particule fictive permettant l’´etude des d´eformations de la
pyramide NH3.
On note zla coordonn´ee verticale du plan des atomes d’hydrog`ene par rapport `a l’atome d’azote qui sert
d’origine. On consid`ere que l’interaction entre les atomes d’hydrog`ene et l’atome d’azote est d´ecrite par la force
suivante :
~
F=−V0
4a4z(z2−4a2)~ez
o`u V0= 0,25 eV est une ´energie et aune distance telle que 2a= 39 pm. Toutes les autres forces sont n´eglig´ees.
4. Justifier le fait que V0soit bien une ´energie.
5. Montrer que la force ~ Fd´erive d’une ´energie potentielle Epot que l’on d´eterminera `a une constante pr`es dans
un premier temps.
6. D´eterminer la constante pr´ec´edente pour que la plus petite valeur de l’´energie potentielle soit nulle. On
pose maintenant z=a ε o`u εest la coordonn´ee verticale adimensionn´ee de l’´etude de la position du plan des
atomes d’hydrog`ene par rapport `a l’atome d’azote. Montrer que l’´energie potentielle s’´ecrit alors :
JR Seigne Clemenceau Nantes

Sciences Physiques MP 2016-2017 DS8 – 2
Epot =V0
16 ε2−42
7. Repr´esenter Epot(ε) et ´etudier les diff´erentes positions d’´equilibre.
8. D´ecrire qualitativement le mouvement des trois atomes d’hydrog`ene lorsque l’´energie du syst`eme est E > V0.
9. En r´ealit´e, l’´energie Eest toujours petite devant V0: 0 < E ≪V0.´ Etablir l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee
par ε. Montrer que le mouvement est alors caract´eris´e par la fr´equence :
f0=1
2πr2V0 ma2
10. Faire l’application num´erique et confronter le r´esultat `a la radiation infrarouge ´evoqu´ee pour la mol´ecule
d’ammoniac.
B. ´ Etude de l’inversion
L’inversion de la mol´ecule d’ammoniac correspond au passage de la pyramide avec les atomes d’hydrog`ene d’un
cˆot´e de l’atome d’azote N`a leur position de l’autre cˆot´e comme on peut le voir sur le sch´ema de la figure 2.
On a une situation comparable `a un parapluie qui se retourne. La mol´ecule d’ammoniac oscille en permanence
entre les deux pyramides. Cette inversion correspond `a une fr´equence νinv = 24 GHz. Cette fr´equence a ´et´e
mesur´ee avec une tr`es grande pr´ecision, elle est en quelque sorte une empreinte digitale de la mol´ecule NH3. Ce
comportement particulier de l’ammoniac a ´et´e utilis´e en  pour la mise au point du MASER pour Microvave
Amplification by Stimulated Emission of Radiation. Le MASER est le pr´ecurseur `a la fois sur le plan physique
et technique du LASER qui a ´et´e r´ealis´e dans les 10 ans qui ont suivi. Rappel : LASER pour Light Amplification
by Stimulated Emission of Radiation. L’inversion de la mol´ecule d’ammoniac ne peut qu’ˆetre ´etudi´ee grˆace `a la
th´eorie de la M´ecanique quantique.
N
HH
H
Inversion N
HH
H
Figure 2 – Inversion de la structure pyramidale de la mol´ecule d’ammoniac NH3
Pour simplifier l’´etude de la fonction d’onde, on mod´elise le potentiel V(ε) = Epot(ε) par une double-puits infini
donn´e sur le graphique de la figure 3. L’´etude sera effectu´ee dans le cas o`u l’´energie Edu quanton de masse m
est petite devant la barri`ere de potentiel V0: 0 < E ≪V0. On ´etudie les ´etats stationnaires de fonction d’onde
ψ(ε, t).
ε
V(ε)
0 1 2 3
−1−2−3
V0
1 2 3
Figure 3 – Double-puits de potentiel de la mol´ecule NH3
11. Soit ϕ(ε) la fonction d’onde spatiale d’un ´etat stationnaire du quanton de masse met d’´energie E.´ Etablir
l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par ϕ(ε) en fonction de V(ε) en particulier.
12. On pose K=r2ma2E
~2et µ=r2ma2(V0−E) ~2≃r2ma2V0 ~2puisque E≪V0. Exprimer en fonction
de Kou de µ, les ´equations diff´erentielles v´erifi´ees par ϕ(ε) en fonction de la zone du double-puits de potentiel
retenue. En d´eduire les formes g´en´erales des solutions de ces ´equations diff´erentielles.
13. En ε=±3, le potentiel devient infini. Quelle est la cons´equence pour les solutions pr´ec´edentes ? Simplifier
les solutions qui peuvent l’ˆetre.
JR Seigne Clemenceau Nantes

3 – DS8 Sciences Physiques MP 2016-2017
Pour la suite du probl`eme, on ´ecrira la fonction d’onde spatiale qui est une fonction r´eelle sous la forme suivante :
ϕ1(ε) = α1sin K(ε+ 3)
ϕ2(ε) = α2ch µε +β2sh µε
ϕ3(ε) = α3sin K(ε−3)
14. Quelles sont les conditions que doit v´erifier ϕ(ε) en ε=±1 ?
On commence par s’int´eresser aux solutions sites sym´etriques pour lesquelles β2= 0, c’est-`a-dire `a des solutions
paires pour ϕ(ε).
15. Montrer que l’application des conditions de la question pr´ec´edente entraˆıne les deux ´equations suivantes :
1
Ks
tan 2Ks=−1
µ
1
tanh µavec Ks=K
16. La valeur de µest telle que exp µ≫exp −µ. Montrer alors que la contrainte sur l’´energie se traduit par
l’´equation :
tan 2Ks=−2Kspsavec ps=1 + 2 exp −2µ
2µ
17. On recherche la plus petite valeur de l’´energie non nulle accessible. La valeur de µpermet d’´ecrire que
ps≪1. Montrer que la solution de l’´equation de contrainte pr´ec´edente a pour solution :
2Ks=π(1 −ps)
On pourra s’aider d’une m´ethode graphique pour s’expliquer et d’un d´eveloppement limit´e judicieux de la
fonction tangente.
On consid`ere maintenant les solutions antisym´etriques, c’est-`a-dire les solutions pour lesquelles α2= 0 et β26= 0.
18. Montrer que l’application des conditions que doit v´erifier la fonction d’onde spatiale entraˆıne :
1
Ka
tan 2Ka=−1
µtanh µavec K=Ka
19. Montrer que la constante K=Kaest telle :
2Ka=π(1 −pa) avec pa=1−2 exp −2µ
2µ
20. D´eduire de l’ensemble des calculs pr´ec´edents, l’expression de la plus basse ´energie accessible pour le quanton
pour les solutions sym´etriques E1set pour les solutions antisym´etriques E1a.
21. Comparer E1set E1aet exprimer la diff´erence d’´energie ∆E1>0 entre ces deux niveaux accessibles.
Sur le graphique de la figure 4, on peut voir les repr´esentations des fonctions d’ondes spatiales sym´etriques et
antisym´etriques correspondant aux ´energies E1set E1a`a des ´echelles identiques.
Afin d’expliquer le ph´enom`ene d’inversion et la mesure de la fr´equence νinv = 24 GHz, on s’int´eresse `a deux
fonctions d’onde construites par combinaison lin´eaire des deux solutions pr´ec´edentes :
ϕg=1
√2(ϕs−ϕa) et ϕd=1 √2(ϕs+ϕa)
Ces deux fonctions sont qualifi´ees de gauche (ϕg) ou de droite (ϕd) car la densit´e de probabilit´e est ´elev´ee `a
gauche (respectivement `a droite) de la barri`ere de potentiel et faible `a droite (respectivement `a gauche) comme
on peut l’imaginer assez ais´ement grˆace aux graphiques de la figure 4. On consid`ere enfin la fonction d’onde :
ψ(ε, t) = 1
√2ϕs(ε) exp −iE1st
~−ϕa(ε) exp −iE1at ~
JR Seigne Clemenceau Nantes

Sciences Physiques MP 2016-2017 DS8 – 4
ε
ϕs
0ε
ϕa
0
Figure 4 – Fonctions d’ondes spatiales ϕs(ε) sym´etrique `a gauche et ϕa(ε) antisym´etrique `a droite
22. Expliquer pourquoi la fonction d’onde ψ(ε, t) d´ecrit un quanton localis´e `a gauche `a la date t= 0.
23. Montrer qu’au cours du temps la densit´e de probabilit´e associ´ee `a la fonction d’onde ψ(ε, t) oscille `a la
fr´equence νinv que l’on exprimera en fonction de ∆E1et de h. Expliquer que l’oscillation de cette fonction
d’onde correspond bien au ph´enom`ene d’inversion.
24. D´eterminer la valeur num´erique de νinv et la comparer `a la valeur attendue sachant que la valeur de
νinv est tr`es sensible `a la mod´elisation du double-puits de potentiel propos´e `a la figure 3. Comment se nomme
en M´ecanique quantique le ph´enom`ene qui permet d’expliquer l’inversion de la mol´ecule d’ammoniac NH3?
Expliquer.
Donn´ees :
Vitesse de la lumi`ere dans le vide : c= 3,0×108m·s−1
Constante d’Avogadro :NA= 6,0×1023 mol−1
Constante de Boltzmann :kB= 1,4×10−23 J·K−1
Constante de Planck :h= 6,6×10−34 J·s
Constante r´eduite de Planck :~=h/(2π)
Charge ´el´ementaire : e= 1,6×10−19 C
Masse d’un nucl´eon : mn= 1,7×10−27 kg
H:Z= 1 et A= 1
N:Z= 7 et A= 14
On rappelle l’´equation de Schr¨ odinger pour un quanton de masse mposs´edant l’´energie E, ´evoluant en milieu
unidimensionnel d’axe Ox dans un potentiel 1V(x) ind´ependant du temps. Le quanton est repr´esent´e par la
fonction d’onde ψ(x, t). On a :
i~∂ψ(x, t)
∂t =−~2 2m
∂2ψ(x, t)
∂x2+V(x)ψ(x, t)
Dans le cas d’un potentiel V(x) ind´ependant du temps, les ´etats stationnaires du quanton sont d´ecrits par la
fonction d’onde ψes(x, t) telle que :
ψes(x, t) = ϕ(x) exp −iE
~t
o`u ϕ(x) est la fonction d’onde spatiale.
1. Attention : en M´ecanique quantique, on nomme potentiel V(x) en r´ealit´e une ´energie potentielle.
JR Seigne Clemenceau Nantes

5 – DS8 Sciences Physiques MP 2016-2017
Probl`eme no2 – Ondes et particules CCP MP 2016
Dans ce probl`eme, nous ´etudierons quelques propri´et´es d’ondes mais aussi quelques propri´et´es des corpuscules
associ´es comme les photons, les phonons et les ´electrons.
Donn´ees :
Constante de Planck :h= 6,6×10−34 J·s et ~=h/2π= 1,0×10−34 J·s
Constante de Boltzmann :kB= 1,4×10−23 J·K−1
Constante d’Avogadro :NA= 6,0×1023 mol−1
Vitesse de la lumi`ere dans le vide : c= 3,0×108m·s−1
Charge ´el´ementaire : e= 1,6×10−19 C
Masse de l’´electron : me= 9,1×10−31 kg
γX UV Visible IR Radio
λ < 10 pm 10 pm < λ < 100 nm 100 nm < λ < 380 nm 780 nm < λ < 1 mm 1 mm < λ
Formules trigonom´etriques :
cos 2α= 1 −2 sin2α= 2 cos2α−1 1 + tan2α=1
cos2α1 + cotan2α=1
sin2α
A. Ondes ´electromagn´etiques
1. Rappeler quels sont les liens entre la pulsation ωet le vecteur d’onde ~ kd’une onde ´electromagn´etique et
les caract´eristiques de la particule associ´ee, le photon.
2. Quels sont les ordres de grandeur de l’´energie, exprim´ee en eV, d’un photon visible et d’un photon X qui
est diffract´e par les r´eseaux cristallins ?
3. Pour un photon qui se propage dans un milieu d’indice n, justifier pourquoi sa quantit´e de mouvement
(impulsion) vaut en norme p=nh
λ0
.
B. Ondes de mati`eres
4. Donner le vecteur d’onde et la pulsation de l’onde associ´ee `a une particule on relativiste d’´energie Eet e
quantit´e de mouvement ~p =mdx
dt~ex.
5. ´ Etablir la longueur d’onde associ´ee `a un ´electron, initialement immobile, non relativiste, acc´el´er´e avec une
diff´erence de potentiel U.
6. D´eterminer la valeur de U, pour laquelle on obtiendrait la mˆeme longueur d’onde que celle d’un photon X
de λ= 0,1 nm.
7. Un ´electron, qui assure la conduction m´etallique, doit-il ˆetre consid´er´e comme quantique ? On consid`ere que
le r´eseau cristallin est caract´eris´e par un param`etre de maille ade l’ordre de 10−10 m et que les ´electrons libres
ont une vitesse due `a l’agitation thermique. On se placera `a 300 K.
8. Pouvez-vous citer les noms de 3 physiciens qui se sont illustr´es par leur contribution en Physique quantique ?
Placer leur travaux par ordre chronologique.
C. Diffusion de Brillouin
Une onde sonore monochromatique se d´ecrit, comme toute onde, au moyen d’une pulsation ωet d’un vecteur
d’onde ~ k. On lui associe une particule appel´ee phonon.
9. Donner la quantit´e de mouvement ~q du phonon associ´e `a une onde acoustique de fr´equence ν, qui se propage
dans l’eau avec une c´el´erit´e ~ V=V ~u =ω
k~u,~u ´etant le vecteur unitaire de la direction de propagation orient´e
dans le sens de la propagation.
10. Donner l’´energie epde ce phonon.
11. ´ Evaluer num´eriquement qet ep(en eV), pour une fr´equence sonore de 1,0 kHz et une vitesse de propagation
V= 1,5 km ·s−1.
12. Comparer les caract´eristiques de ce phonon avec celles d’un photon du domaine visible.
La diffusion de Brillouin correspond `a un choc entre une particule photon incident et une particule phonon
avec annihilation du phonon et diffusion du photon ´emergent. On suppose que le syst`eme est un syst`eme isol´e.
JR Seigne Clemenceau Nantes