LYCÉE CHAPTAL – PT* – 2016/2017 COMPLÉMENTS D’ALGÈBRE LINÉAIRE Compléments d’algèbre linéaire ENTRAÎNEMENT 1 ♣ Exercice 5 — Soit H = {P ∈ Rn [X ] | P(1) = 0}. ♣ Exercice 1 — Résoudre, en fonction du paramètre m ∈ C, le système d’équations linéaires suivant : x − y +z = m x + my − z = 1 x − y −z =1 1. Montrer que H est un espace vectoriel et en déterminer une base. 2. Montrer que H est un hyperplan de Rn [X ] de trois façons différentes. Indications — 1. On peut revenir à la définition d’un sev (à savoir faire) ou déterminer directement une famille génératrice de H. On trouve dim(H) = n. Indication — Du pivot, rien que du pivot ! Correction — Notons S l’ensemble des solutions. On distingue deux cas : m−1 • si m 6= −1, S = m+1 ; 2 , 0, 2 2. On peut déterminer la dimension de H, ou montrer que Vect(1) est supplémentaire à H ou enfin voir que H est le noyau d’une certaine forme linéaire (hors programme). • si m = −1, S = {( y, y, −1) | y ∈ R}. ♣ Exercice 2 — Résoudre dans M2 (R) : X2 + X = A avec 1 A= 1 ♣ Exercice 6 — Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L (E). 1 1 1. On suppose que E = Ker f ⊕ Im f . Démontrer que Im f = Im f 2 . 2. La réciproque est-elle vraie ? a b Indication — On pourra poser X = et résoudre un c d système d’équations non linéaires. Soustraire la première équation et la dernière puis factoriser. Correction — 1. On a toujours Im f 2 ⊂ Im f . Si y ∈ Im f , y = f (x) avec x ∈ E. Il existe par ailleurs (x 1 , x 2 ) ∈ Ker( f ) × Im( f ) tel que x = x 1 + x 2 . D’où : Correction — En factorisant l’équation obtenue par d − a, on trouve d = a. En réinjectant, on trouve alors quatre solutions : −A/2 − I2 , −A, A − I2 et A/2. 1 ♣ Exercice 3 — Soit A = 0 0 Calculer An pour n ∈ N. 1 1 0 f (x) = f (x 1 + x 2 ) = f (x 2 ) et x 2 = f (z2 ) = f ( f (z2 )) ∈ Im f 2 1 1 . 1 Ainsi Im f ⊂ Im f 2 . 2. Im f = Im f 2 ⇐⇒ E = Ker f +Im f et en dimension finie, la somme est directe (théorème du rang). Indication — La formule du binôme peut-elle s’appliquer ? n(n+1) ! Correction — ∀n ∈ N, An = 1 0 0 n 1 0 2 n 1 ♣ Exercice 7 — Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L (E) vérifiant f 3 = id E . . 1. Montrer que Im( f − id E ) ⊂ Ker( f 2 + f + id E ). 2. En déduire que Im( f − id E ) et Ker( f − id E ) sont supplémentaires dans E. ♣ Exercice 4 — 1. Déterminer la dimension et les équations cartésiennes du sous-espace F de R4 engendré par (0, 2, 1, −1) et (2, −1, 1, 0). Indication — 2. On travaille en dimension finie... Correction — 2. Trouver un supplémentaire de F . 1. Soit y ∈ Im( f − id E ). Comme y = f (x) − x avec x ∈ E, on a f 2 ( y) + f ( y) + y = f 3 (x) − x = 0 E . Indication — 2. Choisir deux vecteurs non colinéaires dans R4 \ F puis montrer que les espaces sont supplémentaires. 2. En appliquant le théorème du rang à g = f − id E , on a : dim(Im( f − id E )) + dim(Ker( f − id E )) = dim(E) Correction — On a clairement dim(F ) = 2. De plus, x + 2 y + 4t = 0 u = (x, y, z, t) ∈ F ⇐⇒ x − 2z − 2t = 0 De plus, si x ∈ Im( f − id E ) ∩ Ker( f − id E ) : Enfin, on peut poser G = Vect((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)) et montrer à l’aide du déterminant que R4 = F ⊕ G. Ainsi, il vient 3x = 0 E puis x = 0 E . f 2 (x) + f (x) + x = 0 E –1– et f (x) − x = 0 E http://www.mickaelprost.fr MICKAËL PROST ♣♣ Exercice 8 — Soit φ l’application définie sur R[X ] par φ(P) = (X 2 + 1)P 00 + 4P 0 − 2P. ♣♣♣ Exercice 10 — GROUPE CACHAN On pose E = C (R+ , R) et on considère l’application ψ qui à toute fonction f de E associe la fonction g définie par : Z 1. Montrer que φ ∈ L (R[X ]). 2. Exprimer deg(φ(P)) en fonction de φ(P) puis en déduire que, pour tout n ∈ N, φ induit par restriction un endomorphisme de Rn [X ]. x ∀x ∈ R+ , 2t f (t) dt 0 1. Montrer que E est un espace vectoriel de dimension infinie. 3. Déterminer le noyau de φ. 4. Trouver l’ensemble des polynômes P vérifiant φ(P) = X . 2. Prouver que ψ est un endomorphisme de E. 3. Étudier l’injectivité et la surjectivité de ψ. Conclure. Indications — 4. Déterminer pour tout λ ∈ R le sous-espace vectoriel Ker(ψ − λid E ). 2. On pourra distinguer les cas n 6= 2 et n = 2 en posant P = aX 2 + bX + c. 4. Sauriez-vous trouver une solution particulière ? les solutions de l’équation homogène ? Indications — 1. Exhiber la bonne famille ! Correction — 2. Soit P = g(x) = n X 2. Toute fonction dérivable est continue... ak X k avec an 6= 0. Le terme « dominant » 3. Dériver et bien réfléchir. k=0 de φ(P) est [n(n − 1) − 2] an X n si celui-ci est non nul. • si n 6= 2 alors n(n − 1) 6= 2 et deg(P) = deg(φ(P)). 4. On résoudra une certaine équation différentielle. Correction — • si deg(P) = 2 alors P = aX 2 + bX + c conduit à φ(P) = 2(4a − b)X + 2(a + 2b − c). En conclusion, pour tout P ∈ Rn [X ], φ(P) ∈ Rn [X ]. 1. E est clairement un espace vectoriel et (x 7→ x n )n∈N est une famille libre de E qui contient une infinité de vecteurs, c’est donc un espace de dimension infinie. 3. D’après ce qui précède, si deg(P) 6= 2, φ(P) = 0̃ implique P = 0̃. Dans le cas où n = 2, on obtient b = 4a et c = 9a, soit P = a(X 2 + 4X + 9). Ainsi, Ker(φ) = Vect(X 2 + 4X + 9). 2. La linéarité découle de celle de l’intégrale ; ψ est par ailleurs à valeurs dans E car g est bien continue sur R+ en tant que primitive de x 7→ 2x f (x). 3. • Soit f ∈ Ker(ψ). g étant l’application nulle, g 0 l’est également, ce qui s’écrit : 4. En cherchant une solution de degré 1, on trouve P = −X /2 − 1. On a alors S = −X /2 − 1 + a(X 2 + 4X + 9), a ∈ R . ∀x ∈ R+ , ♣♣ Exercice 9 — ENSAM Soit f un endomorphisme d’un K-ev de dimension finie. On pose, pour tout k ∈ N, Nk = Ker( f k ) et I k = Im( f k ). 2x f (x) = 0 Cela conduit à f (x) = 0 pour x > 0 et par continuité de f , f est bien nulle sur R+ . Bref, ψ est injective. • L’application ψ ne peut être surjective : si elle l’était, pour toute fonction continue g ∈ E, il existerait f ∈ E telle que g = ψ( f ). Mais donc g serait dérivable. Or certaines fonctions continues ne sont pas dérivables (la racine carrée par exemple). Absurde ! 1. Montrer que, pour tout k ∈ N, Nk ⊂ Nk+1 et que si Nk = Nk+1 , alors Nk+1 = Nk+2 . 2. Montrer qu’il existe un entier naturel i tel que Ni = Ni+1 , puis que E = Ni ⊕ I i . • ψ est donc un exemple d’application linéaire qui est injective sans être surjective. 3. Montrer que f restreinte à Ker( f i ) est nilpotente. 4. Montrer que f restreinte à Im( f i ) est un automorphisme de Im( f i ). 0 4. Soit f ∈ Ker(ψ − λid E ). Cela implique 2x f (x) = λ f (x). 2 Pour λ 6= 0, on obtient f (x) = Aexp x /λ où A est un réel quelconque. Réciproquement, toute fonction de cette forme vérifie Z Indication — 2. Étudier la monotonie de la suite de terme général un = dim(Ker( f n )). Comparer alors N2i et Ni . x 2t f (t) dt = λ f (x) (à vérifier). Ainsi, bien Correction — 0 2. D’après ce qui précède, (un )n∈N est une suite d’entiers naturels décroissante, elle est donc stationnaire. Il existe ainsi i ∈ N tel que pour tout j ¾ i, dim(Ker( f j )) = dim(Ker( f i )). Comme par ailleurs, N j ⊂ Ni , on a bien N j = Ni pour tout j ¾ i. Soit y ∈ Ni ∩ I i . Alors f i ( y) = 0 E et y = f i (x) pour un certain x ∈ E. Ainsi, x ∈ N2i = Ni , donc y = f i (x) = 0 E . Ainsi, Ni ∩ I i = {0 E }. Le théorème du rang permet alors de conclure. • pour λ 6= 0, Ker(ψ − λid E ) = Vect x 7→ exp x 2 /λ • par ailleurs, comme déjà vu, Ker(ψ) = {0 E }. –2– ;