Document

Correction
TES – Evaluation 6
Chapitre : Probabilités.
I. (8 points ). À l’occasion d’une kermesse, l’organisateur d’une loterie, dispose
d’une part d’un sac contenant un jeton rouge et neuf jetons blancs indiscernables au toucher
et d’autre part d’un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Il décide des règles suivantes pour le déroulement d’une partie. Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé :
− si le jeton est rouge, le joueur gagne la partie lorsque le jet du dé donne un nombre pair ;
− si le jeton est blanc, le joueur gagne la partie lorsque le jet du dé donne 6.
À la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac.
On note R l’évènement « le jeton tiré est rouge» et G l’évènement « le joueur gagne la partie ».
PARTIE A
1. Recopier et compléter l’arbre probabiliste modélisant la situation :
• Le sac contient un jeton rouge et neuf jetons blancs indiscernables au toucher
1
9
donc la probabilité de tirer un jeton rouge p ( R ) = et la probabilité de tirer un jeton blanc est p R =
10
10
( )
•
Si le jeton est rouge, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne un nombre pair
donc la probabilité conditionnelle de l'évènement G sachant que l'évènement R est réalisé est pR ( G ) =
•
1
2
Si le jeton est blanc, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne 6
donc la probabilité conditionnelle de l'évènement G sachant que l'évènement R est réalisé est pR ( G ) =
1
6
D'où l'arbre probabiliste modélisant la situation :
1
2
1
10
R
9
10
R
1
2
G
1
6
5
6
G
G
G
2. Calculer la probabilité de tirer un jeton rouge et de gagner la partie
1 1
1
× =
= 0, 05
2 10 20
La probabilité de tirer un jeton rouge et de gagner la partie est égale à 0,05.
p ( R ∩ G ) = pR ( G ) × p ( R )
soit
p( R ∩ G) =
3. Montrer que la probabilité de gagner une partie à cette loterie, est égale à 0,2.
Les évènements R et G sont relatifs à la même épreuve alors, d'après la formule des probabilités totales :
9 1
p ( G ) = p ( R ∩ G ) + p R ∩ G = 0, 05 + pR ( G ) × p R = 0, 05 + × = 0, 05 + 0,15 = 0, 20
10 6
La probabilité de gagner une partie est égale à 0,2.
(
)
( )
4. Un joueur perd la partie, quelle est la probabilité qu’il ait tiré le jeton rouge ?
Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement R sachant que l'évènement G est réalisé :
1 1
×
p R∩G
pR G × p ( R )
0, 05
=
= 2 10 =
= 0, 0625
pG ( R ) =
1 − p (G )
1 − 0, 2 0,8
p G
(
( )
)
( )
La probabilité pour un joueur d'avoir tiré le jeton rouge sachant qu'il a perdu la partie est égale à 0,0625
5. Un joueur fait trois parties de façon indépendante. Calculer la probabilité qu’il gagne une seule partie.
Les trois parties sont jouées de façon indépendante alors, la loi de probabilité associée au nombre de
parties gagnées est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,2.
En effet, à la répétition 3 fois ( n = 3) de façon indépendante d’une épreuve à 2 issues G ou G
je peux associer une variable aléatoire Y3 qui comptabilise le nombre de succès
Y3 suit une loi binomiale B ( 3 ; 0, 2 )
la probabilité de succès étant p = p ( G ) = 0, 2
Traduisons la situation à l'aide d'un arbre :
L'évènement «gagner une seule partie» correspond aux 3 issues G G G , G G G et G G G
1
2
donc la probabilité cherchée est P (Y3 = 1) = 3 × ( 0, 2 ) × ( 0,8 ) = 0, 384
La probabilité de gagner une seule partie est égale à 0,384.
6. Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit
supérieure à 0,95 ?
Soit n le nombre de parties jouées,
la loi de probabilité associée au nombre de parties gagnées est une loi binomiale de paramètres n et 0,2.
( le joueur répète n fois de façon indépendante, une épreuve à 2 issues dont la probabilité de succès est p = 0, 2 )
je peux associer une variable aléatoire Yn qui comptabilise le nombre de succès, Yn suit une loi binomiale B ( n ; 0, 2 )
L'évènement "gagner au moins une partie" est l'évènement contraire de l'évènement "perdre les n parties"
P ( Yn ≥ 1) = 1 − P ( Yn < 1) = 1 − P (Yn = 0 ) = 1 − 1× ( 0, 2 ) × ( 0,8 ) = 1 − ( 0, 8 )
0
n
n
notons pn la probabilité de gagner au moins une partie alors pn = P ( Yn ≥ 1) = 1 − ( 0, 8 )
n
Par conséquent, n est le plus petit entier tel que pn > 0,95
1 − ( 0,8 ) > 0,95
n
−0,8n > −0, 05
0,8n < 0, 05
ln ( 0,8n ) < ln ( 0, 05 )
n ln ( 0,8 ) < ln ( 0, 05 )
n>
ln ( 0, 05 )
ln ( 0,8 )
( attention ln ( 0,8 ) est un nombre négatif )
je trouve n > 13, 4
Il faut jouer au moins 14 parties pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit supérieure à 0,95
PARTIE B
Chaque joueur paie 1,20 € par partie.
Si le joueur gagne la partie, il reçoit un bon d’achat d’une valeur de 5 €, s’il perd la partie, il ne reçoit rien.
1. On note X le gain algébrique (positif ou négatif ) de l’organisateur de la loterie à l’issue d’une partie.
Quelles valeurs peut prendre X ?
si le joueur perd la partie, l'organisateur gagne 1,20 €,
si le joueur gagne la partie, l'organisateur perd 3,80 € ( 1,20 – 5 = – 3,80 )
L'ensemble des valeurs de la variable X est
{−3, 8 ; 1, 2}
2. Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation du montant en euros, du bénéfice que peut espérer obtenir
l’organisateur si 300 parties ont été jouées.
Le gain moyen par partie que peut espérer obtenir l’organisateur est égal à l'espérance mathématique
E ( X ) de la loi de probabilité associée au gain X :
gain X
probabilité p
–3,8
0,2
1,2
0,8
L'espérance mathématique de cette loi est : E ( X ) =
0, 2 × ( −3,8 ) + 0,8 × 1, 2 = 0, 2
d'où une estimation du bénéfice pour les 300 parties : 300 × 0, 2 = 60
L'organisateur peut espérer obtenir un bénéfice de 60 €
II. ( 2 points ). Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse.
Une réponse exacte rapporte le nombre de points affectés. Une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affectés.
L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
1. Si A et B sont deux évènements indépendants tels que p(A) = 0,7 et p(B) = 0,2 alors
p ( A ∪ B ) = 0,9
× p ( A ∪ B ) = 0, 76
p ( A ∩ B ) = 0,5
2. Si A et B sont deux évènements indépendants tels que p(A) = 0,6 et p ( A ∪ B ) = 0,8 alors
p ( A ∩ B ) = 0, 48
p(B) = 0,2
3. Si A et B sont deux évènements relatifs à une même épreuve tels que p(A) = 0,4
p ( B ) = 0, 6
× p( B ) = 0,32
× p A ( B ) = 0,5
p A ( B ) = 0, 2 et p A ( B ) = 0, 4 alors
p ( A ∪ B ) = 0, 08
4. Si A et B sont deux évènements relatifs à une même épreuve tels que p ( A ∩ B ) = 0,12 et p ( A ∩ B ) = 0,36 alors
pB ( A ) = 0, 24
pB ( A ) = 0, 48
× pB ( A ) = 0, 25