CHAPITRE 11 : LOIS DE PROBABILITES A DENSITE I. Définition : a. Variable aléatoire continue : On parle d’une variable aléatoire X continue lorsque X peut prendre n’importe qu’elle valeur d’un intervalle I de ℝ. On s’intéresse alors à des événements de type (a < X < b) que l’on dit compris entre a et b. b. Densité de probabilité : On appelle densité de probabilité sur un intervalle I de ℝ toute fonction définie sur I et vérifiant : o f est continue et positive sur I. o ∫ ( ) . Remarque : o Si I = [a ; b], la notation ∫ ( ) ∫ ( ) . ( ) o Si I = [a ; +∞], la notation ∫ ∫ ( ) . c. Loi de probabilité à densité : On définit la loi de probabilité P de densité f sur I en posant, pour tous réels a et b de I et a ≤ b : ( Propriétés : ( o ( o ( o o ( ) ∫ ( ) ) ) ) ( ( ( ) ) ) ( ( ) ) d. Espérance mathématiques : Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur l’intervalle [a ; b] alors l’espérance ( ) mathématiques de X est le réel défini par ∫ II. Loi uniforme sur un intervalle [a ; b] : Soit a et b deux nombres réels a b, la loi uniforme sur [a ; b] est la loi ayant pour densité la fonction f définie sur [a ; b] par ( ) Propriétés : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme [a ; b] : ) o Pour tout réel X appartenant à [a ; b] : ( o ( ) III. Loi exponentielle : a. Définition : λ est un réel strictement positif. Une variable aléatoire à densité T suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa densité de probabilité est la fonction f définie sur [0 ; +∞] par ( ) MATHEMATIQUES CHAPITRE 11 : LOIS DE PROBABILITES A DENSITE 1/3 b. Propriété : Si T suit la loi exponentielle de paramètre λ, alors pour tous réels a et b tel que ( ) ) ) En particulier ( et ( c. Durée de vie sans vieillissement : Si T est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, alors pour tous réels positifs t et h : ( ) ( ) d. Espérance : L’espérance mathématique d’une variable aléatoire T suivant une loi de paramètre λ est définie par : ( ) avec ( ) ∫ On a ( ) Démonstration : Voir ROC IV. Loi normale centrée réduite : a. Théorème de Moivre-Laplace : On suppose qu’une variable aléatoire Xn suit une loi binomiale de paramètres n et p. Soit Zn la variable aléatoire définie par Alors pour tous réels a < b tels que a < b on a : ( √ ) ( ) ∫ √ b. Définition : La loi normale centrée réduite notée 𝓝 (0,1) est la loi continue ayant pour densité de probabilité la fonction f définie sur ℝ par ( ) √ . c. Propriétés : Le maximum de f est atteint en 0. La courbe Cf de la densité de probabilité f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. L’aire sous Cf est 1. V. Propriétés de la loi normale centrée réduite : a. Règles de calcul : ( ( ( ) ) ( ). ( ) ). ( ) . b. Valeurs remarquables liées à la loi : Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel α ∈ ]0 ; 1[, il ) existe un unique réel strictement positif tel que ( . Démonstration : Voir ROC MATHEMATIQUES CHAPITRE 11 : LOIS DE PROBABILITES A DENSITE 2/3 Propriétés : o . o . L’espérance mathématique d’une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite est 0 et son écart-type est 1. VI. Lois normales : a. Loi normale ͺ𝓝 (μ, ): Soit μ un nombre réel et σ un nombre réel strictement positif. La variable aléatoire X suit la loi normale 𝓝 (μ, ) si et seulement si la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite. Si X suit la loi normale 𝓝 (μ, ), alors son espérance ( ) et son écart-type est σ. b. Calculs de probabilités pour une variable aléatoire X suivant la loi normale : Pour calculer ( Pour déterminer t tel que ( ): ) : c. Les intervalles « Un, deux, trois sigma » : ( ( ( MATHEMATIQUES ) ) ) CHAPITRE 11 : LOIS DE PROBABILITES A DENSITE 3/3