CHAPITRE 11 : LOIS DE PROBABILITES A DENSITE

LOIS DE PROBABILITES A DENSITE
MATHEMATIQUES
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CHAPITRE 11 :
I. Définition :
a. Variable aléatoire continue :
 On parle d’une variable aléatoire X continue lorsque X peut prendre n’importe qu’elle valeur d’un
intervalle I de .
 On s’intéresse alors à des événements de type (a < X < b) que l’on dit compris entre a et b.
b. Densité de probabilité :
 On appelle densité de probabilité sur un intervalle I de  toute fonction définie sur I et vérifiant :
o f est continue et positive sur I.
o   
.
 Remarque :
o Si I = [a ; b], la notation 
 .
o Si I = [a ; +∞], la notation   
 .
c. Loi de probabilité à densité :
 On définit la loi de probabilité P de densité f sur I en posant, pour tous réels a et b de I et a ≤ b :
 Propriétés :
o    
o               
o      
o           
d. Espérance mathématiques :
Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur l’intervalle [a ; b] alors l’espérance
mathématiques de X est le réel défini par 
II. Loi uniforme sur un intervalle [a ; b] :
 Soit a et b deux nombres réels a  b, la loi uniforme sur [a ; b] est la loi ayant pour densité la fonction
f définie sur [a ; b] par 
 Propriétés : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme [a ; b] :
o Pour tout réel X appartenant à [a ; b] :     
o 
III. Loi exponentielle :
a. Définition : λ est un réel strictement positif.
Une variable aléatoire à densité T suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa densité de
probabilité est la fonction f définie sur [0 ; +∞] par  
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CHAPITRE 11 :
b. Propriété :
 Si T suit la loi exponentielle de paramètre λ, alors pour tous réels a et b tel que
 En particulier     et    
c. Durée de vie sans vieillissement :
Si T est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, alors pour tous réels positifs t et h :
d. Espérance :
 L’espérance mathématique d’une variable aléatoire T suivant une loi de paramètre λ est définie par :
 avec  
 On a 
 Démonstration : Voir ROC
IV. Loi normale centrée réduite :
a. Théorème de Moivre-Laplace :
 On suppose qu’une variable aléatoire Xn suit une loi binomiale de paramètres n et p.
 Soit Zn la variable aléatoire définie par 
 Alors pour tous réels a < b tels que a < b on a :     
b. Définition :
La loi normale centrée réduite notée  (0,1) est la loi continue ayant pour densité de probabilité la
fonction f définie sur  par
.
c. Propriétés :
 Le maximum de f est atteint en 0.
 La courbe Cf de la densité de probabilité f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
 L’aire sous Cf est 1.
V. Propriétés de la loi normale centrée réduite :
a. Règles de calcul :
      .
      .
       .
b. Valeurs remarquables liées à la loi :
 Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel α  ]0 ; 1[, il
existe un unique réel strictement positif  tel que     .
 Démonstration : Voir ROC

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CHAPITRE 11 :
 Propriétés :
o   .
o   .
 L’espérance mathématique d’une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite est 0 et
son écart-type est 1.
VI. Lois normales :
a. Loi normale ͺ ( ,  :
 Soit μ un nombre réel et σ un nombre réel strictement positif. La variable aléatoire X suit la loi
normale  (μ,  si et seulement si la variable aléatoire   
 suit la loi normale centrée réduite.
 Si X suit la loi normale  (μ, , alors son espérance   et son écart-type est σ.
b. Calculs de probabilités pour une variable aléatoire X suivant la loi normale :
 Pour calculer      :
 Pour déterminer t tel que     :
c. Les intervalles « Un, deux, trois sigma » :