2.2. Dualité entre cogèbres et algèbres profinies - E

2.2. Dualité entre cogèbres et algèbres
profinies
Objekttyp: Chapter
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 39 (1993)
Heft 1-2: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am: 24.05.2017
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2) Une sous-cogèbre de rang 1(sur K) de Ca pour base un élément non
nul xtel que d(x) =x(x) x; on aalors e(x) =. 1.
3) Si Z> est une cogèbre, et si /:D->C est un morphisme de cogèbres,
/CD) est une sous-eogèbre de C.
4) Soit Eun comodule sur C, soit (i>/), e/ une base de £, et soient cueC
tels que dE(vi) =Dcz7 ®^, cf. n° 1.2, Remarque 3. Il résulte de la
formule (1 ') du n° 1.2 que le sous-espace vectoriel CECEengendré par les cuest
une sous-cogèbre de C. Cette sous-cogèbre ne dépend pas du choix de la
base (vu, car c'est l'image de l'application E(g) £" -> Cassociée àdE
(cf. n° 1.2, Remarque 2). On peut aussi caractériser CECEcomme le plus petit
sous-espace vectoriel XdeC tel que Im(dE)CX(S) E.
Noter que, si Dest une sous-cogèbre de Ccontenant CEi le coproduit dE
applique Edans D(x) £, donc munit d'une structure de D-comodule;
inversement, tout D-comodule peut évidemment être considéré comme un
C-comodule.
5) On peut appliquer la construction précédente en prenant pour Eun
sous-comodule de C. Dans ce cas, la sous-cogèbre CECEcontient E. En effet, CECE
est l'image de E(g) Er-? C; d'autre part la restriction de eàE est un élément
eEde E' et l'on vérifie tout de suite que, si xeE, l'image de x(g) eEdans C
est égale àx.
6) Supposons Cde rang fini (sur K), et soit >4 l'algèbre duale
(cf. n° 1.1, Exemple 3). Les sous-cogèbres de Ccorrespondent bijectivement
(par dualité) aux algèbres quotients de A(donc aussi aux idéaux bilatères
de A).
Théorème 1.La cogèbre Cest réunionfiltrante croissante de ses sous
cogèbresde rang fini.
Il suffit de prouver que tout sous-espace vectoriel Wde rang fini de Cest
contenu dans une sous-cogèbre de rang fini. Or, d'après le corollaire àla
prop. 3du n° 1.4, il existe un sous-comodule Ede Cqui est de rang fini
et contient W. La sous-cogèbre CECEassociée àE(cf. Exemple 4) répond àla
question: elle est évidemment de rang fini, et elle contient E(cf. Exemple 5),
donc W. Cqfd.
2.2. Dualité entre cogèbres et algèbres profinies
Définition 2. On appelle algèbre profinie une algèbre topologique
séparée, complète, possédant une base de voisinages de 0formée d'idéaux
bilatères de codimension finie.

Il revient au même de dire qu'une telle algèbre est limite projective filtrante
d'algèbres de rang fini; d'où le nom de «profini».
Soit maintenant Cune cogèbre, et soit A=C" son dual. La structure de
cogèbre de Cdéfinit sur Aune structure d'algèbre (cf. Alg. III); d'autre part,
on peut munir Ade la topologie de la convergence simple sur C(K étant lui
mêmemuni de la topologie discrète).
Proposition 1. (a) L'algèbre topologique A=C est une algèbre
profinie. Les idéaux bilatères ouverts de Asont les orthogonaux des sous
cogèbresde rang fini de C.
(b) Inversement, toute algèbreprofinie quiest associative etpossède un élé
mentunité est la duale d'une cogèbre possédant une co-unité, définie à
isomorphisme unique près.
Pour prouver (a), on remarque que C=lim .X> où Xparcourt l'ensemble
ordonné filtrant des sous-cogèbres de Cde rang fini (cf. th. 1). On aalors
A?Xvïïl.X' et les X' sont des algèbres de rang fini. Le noyau de A-> X'
est l'orthogonal a* de Xdans A; c'est un idéal bilatère ouvert de codimension
finie. Inversement, soit aun tel idéal de A, et soit Xson orthogonal dans C.
On aX= (A/a)'; la structure d'algèbre de A/adéfinit sur Xune structure
de cogèbre, et on en déduit que Xest une sous-cogèbre de C.
L'assertion (b) est tout aussi évidente.
La correspondance «cogèbres &algèbres profinies» établie ci-dessus se
prolonge en une correspondance «comodules &modules». De façon précise,
soient
Com^ la catégorie des C-comodules àgauche de rang fini
Mod^ la catégorie des A-modules àgauche de rang fini, dont l'annu
lateurest ouvert (i.e. qui sont des A-modules topologiques si on les munit de
la topologie discrète).
Si EeCom{,, l'application E-+ C(g) Edéfinit par dualité une appli
cationA (x) E' -> E'', et l'on voit tout de suite que cette application fait de E'
un A-module àgauche topologique discret.
Proposition 2. Le fondeur E^E' défini ci-dessus est une équiva
lencede la catégorie Com£ sur la catégorie opposée àMod^ .
C'est immédiat.
Noter aussi que, si Fest un A-module àgauche de rang fini, F' aune
structure naturelle de à gauche. En combinant cette remarque
avec la prop. 2, on obtient:

Corollaire. La catégorie Com£ est isomorphe àla catégorie
Modff
Ao.
Remarque. Soit Ee Comf
c;munissons E' (resp. E) de la structure
correspondante de A-module àgauche (resp. àdroite). Si xeE, x' gE' et
a, beA, on aalors les formules:
(1)
et
(2)
avec
2.3. Traductions
Tout résultat sur les modules donne, grâce àla prop. 2et àson corollaire,
un résultat correspondant sur les comodules. Voici quelques exemples:
a) Si Ee Comfc,la sous-cogèbre CECEde Cattachée àE (cf. n° 2.1) est
la duale de la sous-algèbre de End(ii) définie par la structure de module
de E.
b) Le fait que Csoit un C-comodule injectif (cf. n° 1.4) est la traduction
du fait que Aest un A-module projectif (puisque libre de rang 1!).
c) Une cogèbre est dite simple si elle est oet n'admet pas d'autre sous
cogèbreque 0et elle-même; c'est alors le dual d'une algèbre simple de rang
fini. Elle est dite semi-simple si elle est somme de sous-cogèbres simples, et
on vérifie alors que l'on peut choisir cette somme de telle sorte qu'elle soit
directe.
On a:
Proposition 3. Pour que Com£ soit une catégorie semi-simple, il
faut et il suffit que Csoit semi-simple.
De plus, si c'est le cas, et si Eaest une famille de représentants des classes
de comodules simples sur C, la cogèbre Cest somme directe des cogèbres
CEa ,qui sont simples.
On aégalement:
Corollaire. Les conditions suivantes sont équivalentes:
a) Cest somme directe de cogèbres de la forme Mn(K).