2.2. Dualité entre cogèbres et algèbres profinies - E

2.2. Dualité entre cogèbres et algèbres
profinies
Objekttyp:
Chapter
Zeitschrift:
L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 39 (1993)
Heft 1-2:
L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am:
24.05.2017
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2)
nul x
Une sous-cogèbre de rang 1 (sur K) de Ca pour base un élément non
tel que d(x) = x (x) x; on a alors e(x) =. 1.
Si
3)
/CD)
Z>
est une cogèbre, et si
/: D->C est un morphisme de cogèbres,
est une sous-eogèbre de C.
Soit Eun comodule sur C, soit (i>/), e/ une base de £, et soient c u eC
cf. n° 1.2, Remarque 3. Il résulte de la
tels que dE (vi) = Dc z7
formule (1 ') du n° 1.2 que le sous-espace vectoriel E engendré par les c u est
une sous-cogèbre de C. Cette sous-cogèbre ne dépend pas du choix de la
base (vu, car c'est l'image de l'application E (g) £" -> C associée à dE
(cf. n° 1.2, Remarque 2). On peut aussi caractériser E comme le plus petit
sous-espace vectoriel XdeC tel que Im (dE ) CX (S) E.
Noter que, si D est une sous-cogèbre de C contenant CEi le coproduit dE
d'une structure de D-comodule;
applique E dans D (x) £, donc munit
inversement, tout D-comodule peut évidemment être considéré comme un
C-comodule.
4)
®^,
CEC
CEC
5) On peut appliquer la construction précédente en prenant pour Eun
sous-comodule de C. Dans ce cas, la sous-cogèbre E contient E. En effet, E
est l'image de E (g) E r -? C; d'autre part la restriction de e àE est un élément
eE de E' et l'on vérifie tout de suite que, si xeE, l'image de x (g) eE dans C
CEC
CEC
est égale à x.
6) Supposons C de rang fini (sur K), et soit >4 l'algèbre duale
(cf. n° 1.1, Exemple 3). Les sous-cogèbres de C correspondent bijectivement
(par dualité) aux algèbres quotients de A (donc aussi aux idéaux bilatères
de
A).
Théorème
1
.
La cogèbre C
est réunion filtrante croissante de ses sous
cogèbresde rang fini.
Il suffit de prouver que tout sous-espace vectoriel W de rang fini de C est
contenu dans une sous-cogèbre de rang fini. Or, d'après le corollaire à la
prop. 3 du n° 1.4, il existe un sous-comodule E de C qui est de rang fini
et contient W. La sous-cogèbre E associée à E (cf. Exemple 4) répond à la
question: elle est évidemment de rang fini, et elle contient E (cf. Exemple 5),
donc W. Cqfd.
CEC
Dualité entre cogèbres et algèbres profinies
Définition 2. On appelle algèbre profinie une algèbre topologique
2.2.
séparée, complète, possédant une base de voisinages de
bilatères de codimension finie.
0
formée d'idéaux
Il revient au même de dire qu'une telle algèbre est limite projective filtrante
d' algèbres de rang fini; d'où le nom de «profini».
Soit maintenant C une cogèbre, et soit A = C" son dual. La structure de
cogèbre de C définit sur A une structure d'algèbre (cf. Alg. III); d'autre part,
on peut munir A de la topologie de la convergence simple sur C (K étant lui
mêmemuni de la topologie discrète).
Proposition 1. (a) L'algèbre topologique A=C est une algèbre
profinie. Les idéaux bilatères ouverts de A sont les orthogonaux des sous
cogèbresde rang
fini
de
C.
(b) Inversement, toute algèbre profinie qui est associative et possède un élé
mentunité est la duale d'une cogèbre possédant une co-unité, définie à
isomorphisme unique près.
Pour prouver (a), on remarque que C = lim .X> où X parcourt l'ensemble
ordonné filtrant des sous-cogèbres de C de rang fini (cf. th. 1). On a alors
A ? Xvïïl.X' et les X' sont des algèbres de rang fini. Le noyau de A -> X'
est l'orthogonal a* de X dans A; c'est un idéal bilatère ouvert de codimension
finie. Inversement, soit a un tel idéal de A, et soit X son orthogonal dans C.
On aX= (A/ a)'; la structure d'algèbre de A/ a définit sur X une structure
de cogèbre, et on en déduit que X est une sous-cogèbre de C.
L'assertion (b) est tout aussi évidente.
La correspondance «cogèbres & algèbres profinies» établie ci-dessus se
prolonge en une correspondance «comodules & modules». De façon précise,
soient
Com^ la catégorie
des C-comodules à gauche de rang
fini
Mod^ la catégorie des A -modules à gauche de rang fini, dont l'annu
lateurest ouvert (i.e. qui sont des A -modules topologiques si on les munit de
la topologie discrète).
Si E e Com{,, l'application E-+ C (g) E définit par dualité une appli
cationA (x) E' -> E'', et l'on voit tout de suite que cette application fait de E'
un A -module à gauche topologique discret.
Proposition 2. Le fondeur E^E' défini ci-dessus est une équiva
lencede la catégorie Com£ sur la catégorie opposée à Mod^ .
C'est immédiat.
Noter aussi que, si F est un A -module à gauche de rang fini, F' a une
à gauche. En combinant cette remarque
structure naturelle de
avec la prop. 2, on obtient:
Corollaire. La
Mod ff
Ao
catégorie
Com£
est
isomorphe à la catégorie
.
Remarque. Soit Ee Com fc ; munissons E' (resp. E) de la structure
correspondante de A -module à gauche (resp. à droite). Si x e E, x' g E' et
a, b e A, on a alors les formules:
(1)
et
(2)
avec
2.3.
Traductions
Tout résultat sur les modules donne, grâce à la prop. 2 et à son corollaire,
un résultat correspondant sur les comodules. Voici quelques exemples:
a) Si Ee Com fc , la sous-cogèbre E de C attachée àE (cf. n° 2.1) est
la duale de la sous-algèbre de End(ii) définie par la structure de module
de E.
CEC
b) Le fait que C soit un C-comodule injectif (cf. n° 1.4) est la traduction
du fait que A est un A -module projectif (puisque libre de rang 1 !).
c) Une cogèbre est dite simple si elle est
oet n'admet pas d'autre sous
cogèbreque 0 et elle-même; c'est alors le dual d'une algèbre simple de rang
fini. Elle est dite semi-simple si elle est somme de sous-cogèbres simples, et
on vérifie alors que l'on peut choisir cette somme de telle sorte qu'elle soit
directe.
On a:
Proposition 3. Pour que Com£ soit une catégorie semi-simple, il
faut et il suffit que C soit semi-simple.
De plus, si c'est le cas, et si Ea est une famille de représentants des classes
de comodules simples sur C, la cogèbre C est somme directe des cogèbres
CEa , qui sont simples.
On
a
également:
Corollaire.
a)
Les conditions suivantes sont équivalentes:
C est somme directe de cogèbres de la forme M n (K).