2. l`algèbre m - E

2. L'ALGÈBRE M
Objekttyp: Chapter
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 45 (1999)
Heft 3-4: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am: 26.05.2017
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2. L'ALGÈBRE M
DÉFINITION
Pour tout x>l, soit Bxla tribu des boréliens de [l,x] et soit B= \JX>l Bx
l'ensemble des boréliens bornés de [l,+oo[. On notera Ml'ensemble des
applications \x :B?> Cdont la restriction àchaque tribu Bxest une mesure
complexe (voir [14], chapitre 6). Dans la suite, les éléments de Mseront
appelés simplement mesures. Atitre d'exemple, observons qu'on peut associer
àtoute fonction arithmétique /: N* ?»Cune mesure \i par la formule :
où 6a,a>l, désigne la masse de Dirac au point a.
Achaque mesure /j, est associée 3)sa "fonction sommatoire"
C'est une fonction complexe continue àdroite, àvariation bornée dans tout
intervalle [I,M], M<+00. La correspondance ainsi établie entre A4 et cette
classe de fonctions est bijective. On écrit: \i ?da.
La convolution dans M
Si da et df3 appartiennent àAi, on définit leur produit de convolution
da *dp par la formule4)
On montre que cette définition aun sens et que da *dp appartient àA4 .
Supposons, par exemple, que
où /et gsont deux fonctions arithmétiques. Alors,
3)L'emploi de la lettre ane doit mener àaucune confusion avec la notation des nombres
entiers généralisés de Beurling an.
4)Nous présentons ici la théorie multiplicative, en vue de son application au problème de
Beurling. Il ya, bien entendu, une théorie additive isomorphe.

où
hest le produit de convolution de Dirichlet des fonctions arithmétiques /
et g.
La proposition suivante indique comment effectuer des calculs de convo
lution.
PROPOSITION 1. Soit da et d(3 des mesures et fune fonction borélienne
complexe sur [l,+oo[ bornée et àsupport borné. On a:
En particulier, pour tout x>1,
On notera (da)*nla puissance /i-ème de convolution d'une mesure da.
Propriétés de M
L'addition, la convolution et la multiplication par les scalaires confèrent à
Mune structure de C-algèbre associative, commutative et unitaire (l'élément
neutre étant 6=6\ ).
Cette algèbre est intègre 5). Ce fait, non trivial, résulte facilement d'un
important théorème de Titchmarsh (cf. [16], Theorem VII).
Il est facile de voir qu'un élément de Mest inversible si et seulement si
sa masse au point 1est non nulle. M. possède un unique idéal maximal :
Diamond s'est intéressé aux dérivations de M, c'est-à-dire aux applications
C-linéaires D: M. ?»M. telles que
quelles que soient \i et vdans M. .
5)On peut donc considérer le corps des fractions de M. C'est le corps des «opérateurs
de Mikusifiski», base d'une présentation originale du calcul opératoriel. Dans [13], Mikusinski
développe cette théorie, qui ades liens avec celle des distributions (cf. [15], p. 254).

THÉORÈME 8(Diamond 1968, [6]). Les dérivations de Msont les
applications de la forme
fjio étant un élément fixé, arbitraire, de M.
On notera Lla dérivation fondamentale dans M. ,àsavoir la multiplication
par la fonction logf.
Transformation de Mellin
Si da appartient àM, l'ensemble des nombres réels atels que l'intégrale
converge6), aune borne inférieure ac.La fonction
appelée transformée de Mellin de da, est alors définie et holomorphe dans le
demi-plan $l(s) >ac;elle peut éventuellement se prolonger analytiquement
au-delà.
La propriété fondamentale de la transformation de Mellin est la suivante.
Si
alors
pour tout stel que les trois intégrales convergent, par exemple pour tout
s=a+ir tel que
Observons également que la transformée de Mellin de L(da) est ?F'(s).
6)Nous entendons par là l'existence de la limite limxx_,+OO f*t ada(t).

TOPOLOGIE
Pour tout x> 1,la relation
définit une semi-norme sur Ai. Si da et dj3 appartiennent àAi,la mesure
\da\ *\d(3\ -\da *d(3\ est positive donc on al'inégalité:
qui montre que la famille de semi-normes (|| \\x)x>\ munit A4 d'une structure
d'algèbre topologique. Cette algèbre est complète.
Calcul fonctionnel
L'emploi dans Mdes séries entières àcoefficients complexes est fondé
sur la proposition suivante.
Proposition 2. Soit f(z) =J2n>o a^ une série entière complexe, de
rayon de convergence p>0. Alors7),
(i) f(da) := J2n>o an(da)*nconverge dans Msi |a(l)| <p;
(ii) la série Ysn>o an(da)*ndiverge dans Msi \a{\)\ >p;
(iii) da \?>f(da) est continue dans l'ouvert de Ai défini par
(iv) pour da dans cet ouvert, on aL(f(da)) =f(da) *L(da) .
L'exponentielle
est un exemple fondamental. Ses principales propriétés sont résumées dans la
proposition suivante.
PROPOSITION 3. Uexponentielle est une fonction continue de Mdans
M\Mq, vérifiant:
(i) edcx+dP=eda *é& pour da et dp dans M;
(ii) eda =dX dX *L(da) =L(dX) et e"? =A(l) .
7)(da)° =6