2. l`algèbre m - E

2. L'ALGÈBRE M
Objekttyp:
Chapter
Zeitschrift:
L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 45 (1999)
Heft 3-4:
L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am:
26.05.2017
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L'ALGÈBRE
2.
M
DÉFINITION
x>l,
Pour tout
soit Bx la tribu des boréliens de [l,x] et soit B= \J X>l Bx
l'ensemble des boréliens bornés de [l,+oo[. On notera M l'ensemble des
applications \x : B?> C dont la restriction à chaque tribu Bx est une mesure
complexe (voir [14], chapitre 6). Dans la suite, les éléments de M seront
appelés simplement mesures. A titre d'exemple, observons qu'on peut associer
à toute fonction arithmétique
N* ? C une mesure \i par la formule :
/:
où 6 a ,
a>l,
»
désigne la masse de Dirac au point a .
3
/j, est associée ) sa "fonction sommatoire"
A chaque mesure
C'est une fonction complexe continue à droite, à variation bornée dans tout
intervalle [I,M], M < +00. La correspondance ainsi établie entre A4 et cette
classe de fonctions est bijective. On écrit: \i ? da.
La convolution dans
M
Si da et df3 appartiennent
da * dp par la formule 4 )
à
Ai,
on définit leur produit de convolution
On montre que cette définition a un sens et que da * dp appartient à A4
Supposons, par exemple, que
où
/ et
.
g sont deux fonctions arithmétiques. Alors,
3
) L'emploi de la lettre a ne doit mener à aucune confusion avec la notation des nombres
entiers généralisés de Beurling a n .
4
) Nous présentons ici la théorie multiplicative, en vue de son application au problème de
Beurling. Il y a, bien entendu, une théorie additive isomorphe.
où
h est le
produit de convolution de Dirichlet des fonctions arithmétiques
/
et g.
La proposition suivante indique comment effectuer des calculs de convo
lution.
f
une fonction borélienne
Soit da et d(3 des mesures et
On
borné.
à
bornée
et
a:
support
[l,+oo[
PROPOSITION 1.
complexe sur
En particulier, pour tout x
>
1,
On notera (da)* n la puissance /i-ème de convolution d'une mesure da.
Propriétés de
M
L'addition, la convolution et la multiplication par les scalaires confèrent à
une structure de C -algèbre associative, commutative et unitaire (l'élément
M
neutre étant 6
=
6\ ).
Cette algèbre est intègre 5 ). Ce fait, non trivial, résulte facilement d'un
important théorème de Titchmarsh (cf. [16], Theorem VII).
Il
est facile de voir qu'un élément de M est inversible si et seulement si
point 1 est non nulle. M. possède un unique idéal maximal
sa masse au
:
Diamond s'est intéressé aux dérivations de
D: M. ?» M. telles que
M, c'est-à-dire aux applications
C -linéaires
quelles que soient
5
de
\i
et v dans
M.
.
) On peut donc considérer le corps des fractions de
M.
C'est le corps des «opérateurs
Mikusifiski», base d'une présentation originale du calcul opératoriel. Dans [13], Mikusinski
développe cette théorie, qui
a
des liens avec celle des distributions (cf. [15], p. 254).
THÉORÈME 8 (Diamond 1968, [6]).
applications de la forme
étant un élément fixé, arbitraire, de
fjio
Les dérivations de
M
sont les
M.
On notera L la dérivation fondamentale dans M. , à savoir la multiplication
par la fonction logf.
Transformation de Mellin
Si da appartient à
M, l'ensemble des nombres réels
a tels que l'intégrale
6
converge ), a une borne inférieure ac La fonction
.
appelée transformée de Mellin de da, est alors définie et holomorphe dans le
demi-plan $l(s) > a c ; elle peut éventuellement se prolonger analytiquement
au-delà.
La propriété fondamentale de la transformation de Mellin est la suivante.
Si
alors
pour tout
s
=a+
ir
tel que les trois intégrales convergent, par exemple pour tout
tel que
s
Observons également que la transformée de Mellin de L(da) est
6
) Nous entendons par là l'existence de la limite limxx _,+OO
f*t
a da(t).
?F' (s).
TOPOLOGIE
Pour tout
x>
1
,
la relation
définit une semi-norme sur Ai. Si da et dj3 appartiennent
\da\ * \d(3\
\da * d(3\ est positive donc on a l'inégalité:
à
Ai
,
la mesure
-
\\ )
munit A4 d'une structure
qui montre que la famille de semi-normes (||
x x >\
d'algèbre topologique. Cette algèbre est complète.
Calcul fonctionnel
L'emploi dans
M
des séries entières à coefficients complexes est fondé
sur la proposition suivante.
Proposition 2. Soit f(z) = J2 n >o
7
rayon de convergence p > 0. Alors ),
a^
une série entière complexe, de
J2 n >o a n(da)* n converge dans M si |a(l)| < p;
(ii) la série Ysn>o an(da)* n diverge dans M si \a{\)\ > p;
(i)
f(da) :=
(iii) da
\
?>f(da)
est continue dans
l'ouvert
(iv) pour da dans cet ouvert, on a L(f(da))
de
Ai
défini par
=f(da) * L(da)
.
L'exponentielle
est un exemple fondamental. Ses principales propriétés sont résumées dans la
proposition suivante.
U exponentielle
PROPOSITION 3.
M\Mq,
(i)
(ii)
7
)
e
dcx
da
e
est une
fonction continue de
vérifiant:
+ dP
=
=dX
(da)°
=6
e
da
*é& pour da
dX * L(da)
et dp dans
= L(dX)
et
M;
e"? = A(l)
.
M
dans
PROPOSITION 4.
où U{x)
Avec les notations du paragraphe
1,
on
a:
ll 2
:= P{x) + \P(x î ) + \P{x l^) +??
Cette proposition traduit l'identité eulérienne formelle:
Ainsi, la théorie de Beurling ressortit à l'étude de l'exponentielle et du
logarithme dans l'algèbre de mesures M.
Formulaire
Nous donnons ci-dessous une liste de propriétés d'usage constant pour le
calcul dans M.
.
1.
f
La multiplication par
est pour tout nombre complexe r un automor
phismede l'algèbre M.. En particulier, pour toute série entière f(z),
on a
f = a(of
2.
da *
4.
(<5
5.
6+dt= edT
+ JO*(<s--) =
3.
Si
da*d/3 =
,
<5.
où
La méthode de l'hyperbole revisitée
d'y, on
a
pour tout x et tout y tels que
1
< y < x.