DS du 13/05 : corrigé Les nombres de la forme 2 − 1 où est un entier

DS du 13/05 : corrigé
Les nombres de la forme 2
௡
− 1 où ݊ est un entier naturel non nul sont appelés nombres de M ERSENNE .
1. ܾ divise ܽ se traduit par ܽ = ܾ݇ où ݇ ∈ ℤ
ܿ divise ܽ se traduit par ܽ = ܿ݇′ où ݇′ ∈ ℤ
Ainsi, ܾ݇ = ܿ݇′ : ܾ est donc un diviseur de ܿ݇′
Par hypothèse, ܾ et ܿ sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de G AUSS , ܾ divise ݇′ :
݇
ᇱ
= ܾ݇′′ où ݇′′ ∈ ℤ
Or ܽ = ܿ݇′ donc ܽ = ܾܿ݇′′ : le produit ܾܿ divise ܽ.
2. (a) D’après Paul (ou plutôt sa calculatrice), 3 divise 2
ଷଷ
− 1 et 4 divise 2
ଷଷ
− 1.
3 et 4 étant premiers entre eux, sous ces conditions, d’après la question 1., 12 = 3 × 4 est aussi un
diviseur de 2
ଷଷ
− 1. Il y a donc une contradiction.
(b) 2
ଷଷ
est pair donc 2
ଷଷ
− 1 est impair : 4 n’est donc pas un diviseur de 2
ଷଷ
− 1.
(c) 2 ≡ −1ሾ3ሿ donc 2
ଷଷ
≡ሺ−1ሻ
ଷଷ
ሾ3ሿ≡ −1ሾ3ሿ puis 2
ଷଷ
− 1 ≡ −2ሾ3ሿ≡ 1ሾ3ሿ
ainsi 3 ne divise pas 2
ଷଷ
− 1.
(d) Paul est un cas désespéré …
ሺeሻ ܵ = 1 + 2
ଷ
+ሺ2
ଷ
ሻ
ଶ
+ሺ2
ଷ
ሻ
ଷ
+··· +ሺ2
ଷ
ሻ
ଵ଴
=1 − ሺ2
ଷ
ሻ
ଵଵ
1 − 2
ଷ
=ሺ2
ଷ
ሻ
ଵଵ
− 1
2
ଷ
− 1 =2
ଷଷ
− 1
8 − 1 =2
ଷଷ
− 1
7
(f) On déduit du calcul précédent que 2
ଷଷ
− 1 = 7ܵ où S st un entier (somme d’entiers) :
Conclusion : 7 divise 2
ଷଷ
− 1.
3. 2
଻
− 1 = 127.
127 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, ni par 11, ni par 13. Comme 13
ଶ
= 169 > 127,
il est inutile de chercher d’autres diviseurs éventuels : 127 est donc premier.
4. (a) Si on saisit ݊ = 33, l’algorithme affiche 7 et « CAS 2 » :
Il va d’abord tester les entiers 2, 3, 4 qui ne divisent pas 2
ଷଷ
− 1 d’après les questions précédentes.
On en déduit que 6 n’est pas un diviseur de 2
ଷଷ
− 1.
2
ସ
= 16 ≡ 1ሾ5ሿ et 2
ଷଷ
= 2
ଷଶ
× 2 = ሺ2
ସ
ሻ
଼
× 2 donc 2
ଷଷ
≡ 2ሾ5ሿ⇒ 2
ଷଷ
− 1 ≡ 1ሾ5ሿ :
5 ne divise pas 2
ଷଷ
− 1.
On a montré que 7 divise 2
ଷଷ
− 1 : MODሺ2
ଷଷ
− 1,7ሻ= 0 donc la boucle est arrêtée.
Si on saisit ݊ = 7, l’algorithme affiche 12 et « CAS 1 »
(b) Le CAS 2 concerne les nombres de M ERSENNE non premiers (donc composés) et le nombre ݇ affiché
représente le plus petit diviseur différent de 1 du nombre de M ERSENNE étudié.
(c) Le CAS 2 concerne les nombres de M
ERSENNE premiers (2
଻
− 1 par exemple).