2 - ENS Rennes

TD 2
Exercice 1.Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d’affran-
chissement des courriers publicitaires à envoyer aux clients. Pour cela, elle décide de n’affranchir, au
hasard, qu’une proportion de 3lettres sur 5au tarif urgent, les autres au tarif normal.
1. Quatre lettres sont envoyées à quatre médecins ; déterminer la probabilité des événements sui-
vants : A=“au moins l’un d’entre eux reçoit une lettre au tarif urgent” et B=“exactement deux
médecins sur les quatre reçoivent une lettre au tarif urgent”.
2. Soit Xla variable aléatoire valant le nombre de lettres affranchies au tarif urgent parmi dix lettres.
Quelle est la loi de probabilité de X? Son espérance ? Sa variance ?
Exercice 2.Un candidat se présente à un examen composé de vingt questions sous forme de QCM. À
chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule étant exacte. Certains candidats répondent
au hasard à chaque question ; soit Xla variable aléatoire qui représente la note d’un tel candidat.
1. Si chaque réponse exacte rapporte un point (et que les erreurs ne sont pas pénalisées), donner la
loi de probabilité de Xainsi que son espérance. Interpréter le résultat.
2. Si chaque réponse exacte rapporte un point mais qu’une réponse inexacte enlève un demi-point,
que devient l’espérance de X? Interpréter le résultat.
Exercice 3.Le beaujolais nouveau est arrivé.
1. Un amateur éclairé, mais excessif, se déplace de réverbère en réverbère. Quand il se lance pour
attraper le suivant, il a 80 % de chances de ne pas tomber. Pour gagner le bistrot tant convoité, il
faut en franchir 7. On notera Xle nombre de réverbères atteints sans chute.
(a) Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire X?
(b) Préciser sa loi.
2. Quand il sort du café, son étape suivante est l’arrêt de bus. Le nombre de chutes pour y parvenir,
noté Y, suit une loi de Poisson P(4). Calculer la probabilité de faire au plus deux chutes.
3. Arrivé dans l’ascenseur, il appuie au hasard sur un des trois boutons. S’il atteint son étage, ou s’il
déclenche l’alarme, il sort de l’ascenseur ; sinon il réappuie au hasard sur un des huit boutons.
Soit Zle nombre de boutons pressés avant d’atteindre son étage ou de déclencher l’alarme.
(a) Quelle est la loi de Z?
(b) Donner son espérance et sa variance.
Exercice 4.Soit (Xn)n∈N∗une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé
(Ω,F,P), à valeurs dans N, deux à deux indépendantes et de même loi. Soit Nune variable aléatoire,
définie sur (Ω,F,P), à valeurs dans N∗et indépendante de Xn, pour tout n>1. On définit une
fonction Zpar : ∀ω∈Ω,Z(ω) =
N(ω)
∑
i=1
Xi(ω).
1. Justifier le fait que Zest une variable aléatoire discrète.
2. Quand Net X1possèdent une espérance finie, calculer E[Z]. Faire de même pour V(Z)quand N
et X1admettent une variance bien définie.
Exercice 5.Dans la journée, un métro passe toutes les 6minutes à une station. Soit Xle temps
d’attente d’une personne à cette station. On suppose que Xsuit la loi uniforme sur [0, 6].
1. Quelle est la probabilité que cette personne attende entre 3et 5minutes ?
2. Combien de temps cette personne attend en moyenne?
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Exercice 6.On suppose que la durée de vie Xd’une voiture suit une loi exponentielle E(0, 1).
1. Quelle est la probabilité qu’elle dépasse 10 ans de vie ?
2. On sait qu’une voiture a déjà 10 ans, quelle est la probabilité qu’elle vive encore au moins 2ans ?
3. Comparer le résultat précédent avec la probabilité que la durée de vie d’une voiture dépasse 2
ans.
Exercice 7.Soit Xune variable aléatoire de loi uniforme sur [a,b]. Déterminer aet bde telle sorte
que E[X] = 10 et V(X) = 12.
Exercice 8.Soit fλ(t) = λt−2. Déterminer λpour que fλsoit une densité de probabilité sur :
1.[1, 10];
2.[1, +∞[.
Exercice 9.Soit Xune variable aléatoire de fonction de répartition
FX(x) = 1
2ex1]−∞,0[(x) + 2−e−x1[0,+∞[(x).
Donner la loi de Y=|X|.
Exercice 10.Soit Zune variable aléatoire réelle de fonction de répartition
FZ(t) = t+2
41[−1,0[∪[1,2[(t) + 2 31[0,1[(t) + 1[2,+∞[(t).
Déterminer de façon plus explicite la loi de Z.
Exercice 11.Soit Xune variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]. Déterminer les lois et les es-
pérances des variables aléatoires Y=X2,Z=√X,T=eX,U=sin(πX)et W=−ln X
λ, pour
λ>0.
Exercice 12.Soient X1, . . . , Xndes variables aléatoires indépendantes de loi E(λ).
1. Calculer la loi de M=max
16i6nXi.
2. Calculer la loi de N=min
16i6nXi.
Exercice 13.On considère une variable aléatoire Xde loi normale N(0, 1).
1. Par intégration par parties, montrer que pour tout n∈N,ona:EXn+2= (n+1)E[Xn].
2. Que vaut EX2? Déduire de ce résultat et de la question précédente la valeur de EX4.
3. Que vaut EX3?
4. Soit Y=2X+1.
(a) Quelle est la loi de Y?
(b) Déterminer EY4.
5. À l’aide de la table de la loi normale, déterminer P(|X|>2). Que donne l’inégalité de Bienaymé-
Tchebychev dans ce cas ? Comparer et commenter.
6. On considère maintenant une variable aléatoire Zsuivant une loi normale de moyenne 5 et de
variance 16.
(a) Déterminer P(|Z|68),P(56Z69)et P(Z>7|Z>3).
(b) Déterminer qtel que P(Z>q) = 0, 9.
7. La taille des enfants d’un collège est distribuée selon une loi normale de moyenne met de variance
σ2. On sait qu’un cinquième des élèves mesure moins de 1m50 et que 10% des élèves mesurent
plus de 1m80. Déterminer met σ.
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