2 - ENS Rennes

TD 2
Exercice 1. Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d’affranchissement des courriers publicitaires à envoyer aux clients. Pour cela, elle décide de n’affranchir, au
hasard, qu’une proportion de 3 lettres sur 5 au tarif urgent, les autres au tarif normal.
1. Quatre lettres sont envoyées à quatre médecins ; déterminer la probabilité des événements suivants : A = “au moins l’un d’entre eux reçoit une lettre au tarif urgent” et B = “exactement deux
médecins sur les quatre reçoivent une lettre au tarif urgent”.
2. Soit X la variable aléatoire valant le nombre de lettres affranchies au tarif urgent parmi dix lettres.
Quelle est la loi de probabilité de X ? Son espérance ? Sa variance ?
Exercice 2. Un candidat se présente à un examen composé de vingt questions sous forme de QCM. À
chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule étant exacte. Certains candidats répondent
au hasard à chaque question ; soit X la variable aléatoire qui représente la note d’un tel candidat.
1. Si chaque réponse exacte rapporte un point (et que les erreurs ne sont pas pénalisées), donner la
loi de probabilité de X ainsi que son espérance. Interpréter le résultat.
2. Si chaque réponse exacte rapporte un point mais qu’une réponse inexacte enlève un demi-point,
que devient l’espérance de X ? Interpréter le résultat.
Exercice 3. Le beaujolais nouveau est arrivé.
1. Un amateur éclairé, mais excessif, se déplace de réverbère en réverbère. Quand il se lance pour
attraper le suivant, il a 80 % de chances de ne pas tomber. Pour gagner le bistrot tant convoité, il
faut en franchir 7. On notera X le nombre de réverbères atteints sans chute.
(a) Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire X ?
(b) Préciser sa loi.
2. Quand il sort du café, son étape suivante est l’arrêt de bus. Le nombre de chutes pour y parvenir,
noté Y, suit une loi de Poisson P (4). Calculer la probabilité de faire au plus deux chutes.
3. Arrivé dans l’ascenseur, il appuie au hasard sur un des trois boutons. S’il atteint son étage, ou s’il
déclenche l’alarme, il sort de l’ascenseur ; sinon il réappuie au hasard sur un des huit boutons.
Soit Z le nombre de boutons pressés avant d’atteindre son étage ou de déclencher l’alarme.
(a) Quelle est la loi de Z ?
(b) Donner son espérance et sa variance.
Exercice 4. Soit ( Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé
(Ω, F , P), à valeurs dans N, deux à deux indépendantes et de même loi. Soit N une variable aléatoire,
définie sur (Ω, F , P), à valeurs dans N∗ et indépendante de Xn , pour tout n > 1. On définit une
N (ω )
fonction Z par : ∀ω ∈ Ω, Z (ω ) =
∑
Xi ( ω ) .
i =1
1. Justifier le fait que Z est une variable aléatoire discrète.
2. Quand N et X1 possèdent une espérance finie, calculer E[ Z ]. Faire de même pour V( Z ) quand N
et X1 admettent une variance bien définie.
Exercice 5. Dans la journée, un métro passe toutes les 6 minutes à une station. Soit X le temps
d’attente d’une personne à cette station. On suppose que X suit la loi uniforme sur [0, 6].
1. Quelle est la probabilité que cette personne attende entre 3 et 5 minutes ?
2. Combien de temps cette personne attend en moyenne ?
1
Exercice 6. On suppose que la durée de vie X d’une voiture suit une loi exponentielle E (0, 1).
1. Quelle est la probabilité qu’elle dépasse 10 ans de vie ?
2. On sait qu’une voiture a déjà 10 ans, quelle est la probabilité qu’elle vive encore au moins 2 ans ?
3. Comparer le résultat précédent avec la probabilité que la durée de vie d’une voiture dépasse 2
ans.
Exercice 7. Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [ a, b]. Déterminer a et b de telle sorte
que E[ X ] = 10 et V( X ) = 12.
Exercice 8. Soit f λ (t) = λt−2 . Déterminer λ pour que f λ soit une densité de probabilité sur :
1. [1, 10] ;
2. [1, +∞[.
Exercice 9. Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition
1 x
FX ( x ) =
e 1]−∞,0[ ( x ) + 2 − e− x 1[0,+∞[ ( x ) .
2
Donner la loi de Y = | X |.
Exercice 10. Soit Z une variable aléatoire réelle de fonction de répartition
FZ (t) =
2
t+2
1
(t) + 1[0,1[ (t) + 1[2,+∞[ (t).
4 [−1,0[∪[1,2[
3
Déterminer de façon plus explicite la loi de Z.
Exercice 11. Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]. Déterminer les lois et les es√
− ln X
, pour
pérances des variables aléatoires Y = X 2 , Z = X, T = eX , U = sin(πX ) et W =
λ
λ > 0.
Exercice 12. Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes de loi E (λ).
1. Calculer la loi de M = max Xi .
16i6n
2. Calculer la loi de N = min Xi .
16i6n
Exercice 13. On considère une variable aléatoire X de loi normale N (0, 1).
1. Par intégration par parties, montrer que pour tout n ∈ N, on a : E X n+2 = (n + 1)E [ X n ].
2. Que vaut E X 2 ? Déduire de ce résultat et de la question précédente la valeur de E X 4 .
3. Que vaut E X 3 ?
4. Soit Y = 2X + 1.
(a) Quelle est la loi de Y ?
(b) Déterminer E Y 4 .
5. À l’aide de la table de la loi normale, déterminer P(| X | > 2). Que donne l’inégalité de BienayméTchebychev dans ce cas ? Comparer et commenter.
6. On considère maintenant une variable aléatoire Z suivant une loi normale de moyenne 5 et de
variance 16.
(a) Déterminer P(| Z | 6 8), P(5 6 Z 6 9) et P ( Z > 7| Z > 3).
(b) Déterminer q tel que P( Z > q) = 0, 9.
7. La taille des enfants d’un collège est distribuée selon une loi normale de moyenne m et de variance
σ2 . On sait qu’un cinquième des élèves mesure moins de 1m50 et que 10% des élèves mesurent
plus de 1m80. Déterminer m et σ.
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