Seconde 4

Seconde 3 correction du devoir n°4
Question de cours.
Le binôme ax+b (a ≠0) est du signe de a pour les valeurs de x supérieures à celle ( b
a ) qui
annule ce binôme.
I – Encadrement.
m et n sont deux réels tels que :
-5 m -3 et 1 n 2
1. 1 -2m
a) Si on multiplie les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement
négatif on obtient une inégalité de sens différent. 9 ≤ -2m ≤ 10
b) Si on ajoute un même nombre aux deux membres d’une inégalité on obtient une
inégalité de même ordre, ou sens. 10 ≤ 1-2m ≤11
2. m²+n²
c) Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. 1 n² 4
d) Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans un ordre différent.9 m² 25
e ) Si on ajoute membre à membre deux inégalités de même sens on obtient une inégalité
de même sens. 10 m²+n² 2
3. m × n
a) 3m 5
f) Si on multiplie membre à membre des inégalités de même sens entre des nombres
positifs on obtient une inégalité de même sens. 3 m n 10 puis a) -10 mn -3
4. m-2n
a) -4 2n -2 puis e) -9 m-2n -7
5. m
n
Deux nombres, non nuls, de même signe et leurs inverses sont rangés dans un ordre
différent 1
2 1 puis a) 3m 5 puis f) 3 2 m n 5 2 et a) 5
2 m n 3 2
II – Signe du binôme
1. 3 <4,5 donc E(4,5) < 0, -1 < -0,5 < 2 donc E(-0,5) > 0.
2. E(2) n’est pas défini donc non nul.
3. E(-1) = 0 et E(3) = 0 , les solutions de l'équation E(x) = 0 sont -1 et 3
4. -1 < 0 < 2 donc E(0) > 0.
5. On ne peut affirmer que pour x < 0 alors E(x) < 0. contre exemple : -0,5 < 0 et E(-0.5) > 0.
6. Les solutions de l'inéquation E(x) < 0 sont tous les réels de ] ; 1[ ou de ]3 ; + [
7. Peut-on dire que les réels tels que E(x) > 0 sont tous les nombres vérifiant -1 < x < 3 ?
8. Lorsque x appartient à l'intervalle ]1 ; 3] E(x) est positif ou nul sauf pour x =2 où il n’est pas
défini.

III – Résoudre :
1. x(2-3x)(1-4x) > 0 D = .
Les valeurs qui annulent les binômes sont 0, 2
3 et 1 4 d’où le tableau de signes suivant
Valeurs de x .
x
0
1/4
2/3
+
signe de x
-
0
+
+
+
signe de 2-3x
+
+
+
0
-
signe de 1-4x
+
+
0
-
-
signe du produit
-
0
+
0
-
0
+
x(2-3x)(1-4x) > 0 pour x
2. 16 – (2 – x)² < 0 (4-2+x)(4+2-x) < 0 (2+x)(6-x) < 0 D =
valeurs qui annulent les binômes -2 et 6 d’où le tableau de signe.
x
-2
6
+
2+x
-
0
+
+
6-x
+
+
0
-
f(x)
-
0
+
0
-
16 – (2 – x)² < 0 si x ]- ;-2[U ]6;+ [
3. 16 (2 x)²
(x 2)(3 2x) ≥ 0 ≥ 0 f = -{ 3
2 ; 2}
valeurs qui annulent le quotient -2 et 6 (question 2)
d’où le tableau de signe :
x
- -2 3/2 2 6 +
2+x
- 0 + + + +
+ + + + 0 -
- - - 0 + +
+ + 0 - - -
+ 0 - + - 0 +
6-x
x-2
3-2x
Signe du
quotient
16 (2 x)²
(x 2)(3 2x) ≥ 0 pour x ] [ ]3/2;2[ [6; + [
4. on résout dans D = -{ 1
2 } x 1
2x 1 ≤ 1 x 1 2x 1 -1≤ 0 x 2x 1 ≤ 0
d’où le tableau de signe
x
0
1/2
+
-x
+
0
-
-
(2x-1)
-
-
0
+
quotient
-
0
+
+
x 1
2x 1 ≤ 1 si x
IV – Compléter de façon plausible le tableau de signe suivant
Il faut faire attention au coefficient de x (a) pour le premier et le troisième binôme a > 0, pour le
deuxième a < 0. E(x) est un quotient avec le premier et le troisième binôme au dénominateur
(valeurs interdites pour x)