memo geometrie euclidienne

MEMO GEOMETRIE EUCLIDIENNE
MP 13-14
1
Espaces vectoriels euclidiens de dimension 2 ou 3
Etant donné n ∈ IN∗ , En désigne un espace vectoriel euclidien orienté de dimension n, muni d’une
base orthonormée directe B, B = (e1 , e2 , . . . , en ) , et O (En ) le groupe orthogonal de En .
L’application
O (En ) −→ On (IR)
f
−→ matB f
est un isomorphisme de groupes. L’étude du groupe (On (IR) , ×) permet d’obtenir les propriétés
analogues du groupe (O (En ) , ◦) .
Pour n = 1, on a
O1 (IR) = {−1, +1}
SO1 (IR) = {1}
O (E1 ) = {− idE1 , + idE1 }
SO (E1 ) = {idE1 }
1.1
Description de O (E2 )
Proposition 1 On a O2 (IR) =
SO2 (IR) =
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
Pour θ ∈ IR, on note R (θ) =
cos θ −γ sin θ
sin θ γ cos θ
θ ∈ IR
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
θ ∈ IR, γ ∈ {−1, +1} , ainsi que
O2− (IR)
=
et S (θ) =
cos θ sin θ
sin θ − cos θ
cos θ sin θ
sin θ − cos θ
θ ∈ IR
.
Pour tout α, β, θ ∈ IR, on a
R (α) R (β) = R (α + β)
S (α) S (β) = R (α − β)
R (θ)
cos α
sin α
=
R (α)−1 = R (−α)
S (α)−1 = S (α)
cos (θ + α)
sin (θ + α)
S (θ)
S (θ) = R (θ) S (0)
S (α)−1 R (θ) S (α) = R (−θ)
cos α
sin α
=
cos (θ − α)
sin (θ − α)
Notamment l’application
IR −→ SO2 (IR)
θ −→
R (θ)
est un morphisme de groupes surjectif de (IR, +) sur (SO2 (IR) , ×) de noyau 2 π ZZ. (SO2 (IR) , ×)
est ainsi un groupe commutatif (isomorphe à (U, ×) d’après le cours sur les nombres complexes).
Proposition 2 Les isométries indirectes de E2 sont les symétries orthogonales par rapport aux
droites de E2 (réflexions ou symétries axiales).
Toute rotation de E2 peut s’écrire comme le produit de deux réflexions (symétries axiales) dont
l’une peut être choisie arbitrairement.
Les réflexions de E2 engendrent O (E2 ) : plus précisément toute isométrie de E2 s’écrit comme le
produit de au plus 2 réflexions de E2 .
page 2
Proposition 3 Soit r une rotation du plan euclidien orienté E2 . Il existe un réel θ tel que la
matrice de r dans une base orthonormée directe arbitraire de E2 est égale à R (θ) et est ainsi
indépendante du choix de cette base.
On définit ainsi un morphisme de groupes surjectif de IR sur SO (E2 ) (surjection dite canonique)
en associant au réel θ la rotation r de E2 dont la matrice dans toute base orthonormée directe de
E2 est égale à R (θ) : avec ces notations, θ est appelé une mesure (l’angle par abus de langage) de
r et r est appelée la rotation de E2 d’angle θ.
Un changement d’orientation de E2 transforme l’angle d’une rotation en son opposé.
Remark 1 Etant donnés deux vecteurs normés u1 et u2 de E2 , il existe une et une seule rotation
(resp. symétrie axiale) de E2 transformant u1 en u2 .
L’angle de la rotation transformant u1 en u2 est l’angle orienté des vecteurs u1 et u2 , à savoir
(u
1 , u2 ) .
1.2
1.2.1
Produit mixte et produit vectoriel
Cas général
Definition 4 Soit (u1 , u2 , . . . , un ) un système de vecteurs de En . On appelle produit mixte de
(u1 , u2 , . . . , un ) le déterminant de (u1 , u2 , . . . , un ) dans la base B, que l’on note [u1 , u2 , . . . , un ] .
Par définition, on a
[u1 , u2 , . . . , un ]=detB (u1 , u2 , . . . , un )
Cette définition a un sens car cette valeur est indépendante de la base orthonormée directe utilisée.
Proposition 5 Soit (u1 , u2 , . . . , un ) un système de vecteurs de En .
(u1 , u2 , . . . , un ) est une base (resp. base directe) de En si, et seulement si, [u1 , u2 , . . . , un ] = 0
(resp. [u1 , u2 , . . . , un ] > 0).
Le produit mixte est invariant par SO (En ) (plus généralement par SL (En )).
Example 6 Dans le plan vectoriel euclidien orienté, si u et v sont deux vecteurs non nuls de E2 ,
on a
v)
[u, v] = Det (u, v) = u v sin (u,
v) désigne l’angle orienté des vecteurs u et v.
où (u,
Proposition 7 Définition :
Soit (u1 , u2 , . . . , un−1 ) un système de vecteurs de En . Il existe un et un seul vecteur v de En tel
que l’on ait
∀x ∈ En , [u1 , u2 , . . . , un−1 , x] = (v | x)
Le vecteur v est appelé le produit vectoriel de u1 , u2 , . . . , un−1 et noté u1 ∧ u2 ∧ . . . ∧ un−1 .
L’application
Enn−1
−→
En
(u1 , u2 , . . . , un−1 ) −→ u1 ∧ u2 ∧ . . . ∧ un−1
est n − 1-linéaire alternée.
Proposition 8 Soit (u1 , u2 , . . . , un−1 ) un système de vecteurs de En .
Le système (u1 , u2 , . . . , un−1 ) est lié si, et seulement si, u1 ∧ u2 ∧ . . . ∧ un−1 = 0.
u1 ∧ u2 ∧ . . . ∧ un−1 ∈ vect (u1 , u2 , . . . , un−1 )⊥ .
Si le système (u1 , u2 , . . . , un−1 ) est libre, alors (u1 , u2 , . . . , un−1 , u1 ∧ u2 ∧ . . . ∧ un−1 ) est une base
directe de En .
2
page 3
1.2.2
Produit vectoriel dans E3
Proposition 9 Le produit vectoriel est une application bilinéaire alternée sur E3 à valeurs dans
E3 que l’on peut caractériser ainsi : si u et v sont deux vecteurs libres de E3 , u ∧ v est le vecteur
orthogonal à u et v, tel que (u, v, u ∧ v) soit une base directe de E3 et
u ∧ v = u v sin θ
où θ est l’écart angulaire de u et v.
Proposition 10 Coordonnées dans une base orthonormée directe.
Soient u, v ∈ E3 de coordonnées respectives (u1 , u2 , u3 ) et (v1 , v2 , v3 ) dans la base B. Les coordonnées de u ∧ v dans la base B sont
u
2
u3
v2
v3
u
3
,
u1
v3
v1
Proposition 11 Double produit vectoriel.
u
1
,
u2
v1
v2
∀u, v, w ∈ E3 , u ∧ (v ∧ w) = (u | w) v − (u | v) w
Proposition 12 Division vectorielle :
Soit u, v ∈ E3 , u = 0.
Une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation u ∧ x = v ait une solution dans E3 est
que l’on ait (u | v) = 0.
u∧v
Dans ce cas, l’ensemble des solutions est −
+ λ u | λ ∈ IR .
u2
Proposition 13 Etant donné ω ∈ E3 , l’application
Φω : E3 −→
E3
x −→ w ∧ x
est un endomorphisme antisymétrique de E3 .
Si les coordonnées de ω dans la base B sont (p, q, r) , alors

De plus l’application

0 −r q


matB Φω =  r
0 −p 
−q p
0
E3 −→ A (E3 )
ω −→
Φω
est un isomorphisme de E3 sur A (E3 ) .
1.3
Propriétés de O (E3 ) et de SO (E3 )
Soit f ∈ O (E3 ) et M = matB f.
3
page 4
Remark 2 Le polynôme caractéristique de f est de degré 3, et admet nécessairement une racine
|D
réelle égale à +1 ou −1. Ainsi il existe une droite D de E3 stable par f (et f|D = ± idD ). En
|D⊥
outre comme f est un automorphisme orthogonal de E3 , le plan D⊥ est invariant par f et f|D⊥
est un automorphisme orthogonal de D⊥ .
Proposition 14 Les réflexions de E3 engendrent O (E3 ) .
Les retournements engendrent SO (E3 ) .
Plus précisément, toute isométrie de E3 est le produit d’au plus trois réflexions de E3 .
Proposition 15 Soit θ ∈ IR, u ∈ E3 , u = 1 et r la rotation d’axe IR u et d’angle θ.
Pour tout vecteur x de E3 orthogonal à u, on a
r (x) = cos (θ) x + sin (θ) u ∧ x
Pour tout vecteur x de E3 , on a
r (x) = cos (θ) x + sin (θ) u ∧ x + (1 − cos θ) (u | x) u
1.3.1
Détermination pratique de l’axe et de l’angle d’une rotation
Première méthode Soit f une rotation de E3 (distincte de idE3 ) dont on connaît la matrice
M dans la base B. On sait qu’il existe une base orthonormée directe B′ = (v1 , v2 , u) de E3 telle
que la matrice de f dans B′ soit


cos θ − sin θ 0


′
M =  sin θ cos θ 0 
0
0
1
On détermine u en cherchant les vecteurs invariants par f.
On a tr M = tr M ′ = 1 + 2 cos θ, ce qui fournit la valeur de cos θ.
Enfin, ∀x ∈ E3 , [u, x, f (x)] = u ∧ x2 sin θ, ce qui fournit la valeur de sin θ (son signe suffit).
Si l’on change u en son opposé, θ est changé en −θ.
Seconde méthode On commence par déterminer cos θ, en calculant tr M. On suppose θ non
congru à 0 modulo π, sinon f est égale à idE3 ou à un demi-tour.
La matrice M − t M étant antisymétrique, il existe ω ∈ E3 tel que
M − t M = matB Φω
De plus M − t M est aussi la matrice de f − f ∗ , c’est-à-dire de f − f −1 . Or pour tout x ∈ E3 , on
a
f (x) = cos (θ) x + sin (θ) u ∧ x + (1 − cos θ) (u | x) u
f (x) = cos (θ) x − sin (θ) u ∧ x + (1 − cos θ) (u | x) u
−1
et ainsi
f − f −1 (x) = 2 sin (θ) u ∧ x
4
page 5
Par conséquent, ω = 2 sin (θ) u.
Pour appliquer cette méthode, on utilise le fait que si les coordonnées de ω dans la base B sont
(p, q, r) , alors


0 −r q


matB Φω =  r
0 −p 
−q p
0
ω
ω
On pose alors u =
et sin θ > 0, ou bien u = −
et sin θ < 0.
ω
ω
1.3.2
Etude d’une matrice orthogonale
Etant donnée M, M ∈ M3 (IR) , (d’endomorphisme canoniquement associé f ), dont on commence
par vérifier qu’elle est orthogonale, on détermine le signe de son déterminant (penser à comparer
le signe d’un terme non nul avec celui de son cofacteur).
Si M est symétrique (autre que I3 et −I3 ), f est un demi-tour ou une réflexion (on détermine
E1 (f)).
Sinon, si f est une rotation, on utilise une des méthodes précédentes pour déterminer son axe
et son angle, et si f est une isométrie indirecte, −f est une rotation (d’axe IR u, d’angle θ ) et alors
f est la composée commutative de la rotation d’axe IR u, d’angle θ + π, et de la réflexion de plan
(IR u)⊥ .
2
2.1
Groupe des similitudes d’un espace vectoriel euclidien
Propriétés générales
Soit E un espace vectoriel euclidien.
Definition 16 Soit f ∈ GL (E) et α ∈ IR∗+ . On dit que f est une similitude (vectorielle) de E de
rapport α si le couple (f, α) vérifie l’une des quatre assertions équivalentes suivantes :
(1) ∀u ∈ E, f (u) = α u
(2) ∀u, v ∈ E, (f (u) | f (v)) = α2 (u | v)
(3) f admet pour adjoint α2 f −1
(4) α−1 f ∈ O (E)
L’assertion (4) signifie que f est le produit (commutatif) de l’homothétie α idE et d’une isométrie
de E.
Proposition 17 Définition :
L’ensemble des similitudes de E est un sous-groupe de GL (E) , noté GO (E) .
Une similitude f de E est dite directe (resp. indirecte) lorsque det f > 0 (resp. det f < 0).
L’ensemble des similitudes directes de E est un sous-groupe de GO (E) noté GO+ (E) . On note
GO− (E) = GO (E) \ GO+ (E) .
Proposition 18 O+ (E) est un sous-groupe de GO+ (E) et on a O− (E) ⊂ GO− (E) .
Pour λ ∈ IR∗ , l’homothétie λ idE est une similitude de E de rapport |λ| .
Proposition 19 Toute similitude de E transforme deux droites orthogonales de E en deux droites
orthogonales de E.
Réciproquement, si f est un automorphisme de E transformant toute paire de droites orthogonales
de E en une paire de droites orthogonales de E, alors f est une similitude de E.
5
page 6
2.2
Description de GO (E2 )
Les similitudes directes de E2 sont les endomorphismesde E2 représentés
dans la base B par une
a
−b
, (a, b) ∈ IR2 \ {(0, 0)} .
matrice de la forme ρ R (θ) , ρ ∈ IR∗+ , θ ∈ IR, ou encore
b a
Les similitudes indirectes de E2 sont les endomorphismesde E2 représentés
dans la base B par
a b
une matrice de la forme ρ S (θ) , ρ ∈ IR∗+ , θ ∈ IR, ou encore
, (a, b) ∈ IR2 \ {(0, 0)} .
b −a
Si sIR e1 est la symétrie orthogonale par rapport à la droite IR e1 , et rθ la rotation de E2 d’angle
θ,
la similitude directe de matrice ρ R (θ) dans B est égale à (ρ idE2 ) ◦ rθ
la similitude indirecte de matrice ρ S (θ) dans B est égale à (ρ idE2 )◦rθ ◦sIR e1 (car S (θ) = R (θ) S (0))
Par conséquent, en identifiant le plan euclidien orienté E2 avec le plan complexe C,
une similitude directe de E2 a une représentation ”complexe” de la forme z −→ a z, a ∈ C∗ ,
une similitude indirecte de E2 a une représentation ”complexe” de la forme z −→ a z, a ∈ C∗ ,
les similitudes étant de rapport |a| .
3
Espaces affines euclidiens
3.1
Définitions
Definition 20 On appelle espace affine euclidien tout espace affine attaché à un espace vectoriel
euclidien.
Si E est un espace affine euclidien attaché à E, l’application
d : E × E −→ IR+ −→
(A, B) −→ AB est une distance sur E invariante par translation appelée distance
−→euclidienne sur E.
Etant donnés deux points A et B de E, on note d (A, B) = AB = AB.
Désormais, E désigne un espace affine euclidien attaché à E.
Definition 21 Si R = (O, B) est un repère de E, on dit que R est orthogonal si B est orthogonale,
orthonormé (direct) si B est une base orthonormée (directe) de E.
Definition 22 Deux sous-espaces affines F et G de E de directions respectives F et G sont dits
supplémentaires (resp. orthogonaux) si F et G sont supplémentaires (resp. orthogonaux).
Definition 23 Soit F un sous-espace affine de E de direction F. On appelle projection orthogonale
sur F (resp. symétrie orthogonale par rapport à F ) la projection sur F (resp. la symétrie par
rapport à F ) parallèlement à F ⊥ notée πF (resp. σF ).
3.2
Isométries de E
Definition 24 On appelle déplacement ou isométrie directe de E toute isométrie de E dont la
partie linéaire est une rotation de E. L’ensemble des déplacements de E, noté Is+ (E) est un sousgroupe de Is (E) .
On note Is− (E) = Is (E) \ Is+ (E) , dont les éléments sont appelés antidéplacements ou isométries
indirectes de E (Is− (E) n’est pas un sous-groupe de Is (E)).
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Remark 3 Une projection affine de E distincte de idE n’est pas une isométrie de E.
Une symétrie affine de E est une isométrie de E si, et seulement si, sa partie linéaire est une
isométrie de E, c’est-à-dire si, et seulement si, c’est une symétrie affine orthogonale.
Definition 25 On appelle réflexion de E toute symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace
affine de E de codimension 1.
On appelle demi-tour ou retournement de E3 toute symétrie orthogonale par rapport à une droite
affine de E3 .
Proposition 26 Soient A, B ∈ E, A = B.
Il existe une et une seule réflexion σ de E telle que σ (A) = B.
Il s’agit de la réflexion d’hyperplan l’hyperplan médiateur de [A, B] .
3.3
Similitudes de E
Proposition 27 Toute similitude ϕ de E de rapport différent de 1 admet un unique point invariant, appelé le centre de la similitude ϕ.
Dans ce cas, ϕ s’écrit de manière unique
ϕ =h◦ψ =ψ◦h
où h est l’homothétie de centre I de rapport α, et ψ une isométrie de E laissant I invariant. Il
s’agit de la décomposition dite canonique de ϕ.
Ainsi l’étude des similitudes affines de rapport différent de 1 se ramène à celle des similitudes
vectorielles de E de rapport différent de 1.
3.4
3.4.1
Isométries de E2 et de E3
Isométries de E2
E2 désigne le plan affine euclidien orienté.
Definition 28 Etant donné un point Ω de E2 et un réel θ, on appelle rotation de centre Ω et
d’angle θ l’application RΩ,θ laissant Ω invariant et associant à tout point M de E2 , M = Ω, le
point M ′ de E2 défini par
−−→
−−→
ΩM, ΩM ′ ≡ θ [2 π]
ΩM ′ = ΩM
Il s’agit du déplacement de E2 laissant Ω invariant et dont la partie linéaire est la rotation (vectorielle) de E2 d’angle θ.
Une rotation de E2 distincte de idE2 admet son centre pour unique point invariant.
Proposition 29 Is+ (E2 ) est l’ensemble des translations et des rotations de E2 .
Is− (E2 ) est l’ensemble des ”symétries glissées”, c’est-à-dire des isométries ϕ s’écrivant
ϕ=σ◦τ =τ ◦σ
où σ est une symétrie orthogonale par rapport à une droite D et τ une translation dont le vecteur
appartient à la direction de D.
Proposition 30 Les symétries axiales engendrent le groupe (Is (E2 ) , ◦) .
7
page 8
3.4.2
Similitudes de E2
On identifie le plan euclidien orienté E2 au plan complexe C.
Les similitudes directes de E2 sont les transformations affines de E2 d”’écriture complexe”
C −→ C
z −→ a z + b
avec (a, b) ∈ C∗ × C.
Les similitudes indirectes de E2 sont les transformations affines de E2 d”’écriture complexe”
C −→ C
z −→ a z + b
avec (a, b) ∈ C∗ × C.
3.4.3
Isométries de E3
E3 désigne l’espace affine euclidien orienté de dimension 3.
Definition 31 On appelle rotation de E3 tout déplacement de E3 admettant un point invariant.
L’ensemble des points invariants d’une rotation de E3 distincte de idE3 est une droite affine de E3
appelée l’axe de cette rotation.
Une rotation ϕ de E3 distincte de idE3 est déterminée par la donnée de son axe et de l’angle de
L (ϕ) , appelé angle de ϕ.
idE3 est considérée comme une rotation d’axe arbitraire et d’angle nul.
Definition 32 On appelle vissage de E3 tout produit d’une rotation et d’une translation dont le
vecteur est un élément de la direction de l’axe de la rotation.
L’unicité de la forme réduite d’une isométrie permet de définir l’axe, l’angle et le vecteur d’un
vissage.
Une translation est un vissage d’angle nul.
Une rotation est un vissage de vecteur nul.
Proposition 33 Is+ (E3 ) est l’ensemble des vissages de E3 .
Proposition 34 Description des antidéplacements de E3 .
Soit ϕ ∈ Is− (E3 ) , f = L (ϕ) et I (ϕ) = {M ∈ E3 | ϕ (M ) = M} .
• Ou bien Ker (f − idE3 ) = {0} : dans ce cas, I (ϕ) est un singleton, I (ϕ) = {Ω} . ϕ est alors le
produit commutatif d’une symétrie orthogonale par rapport à un plan P et d’une rotation distincte
de idE3 d’axe D orthogonal à P, avec D ∩ P = {Ω} .
• Ou bien dim Ker (f − idE3 ) = 2 :
⋆ ou bien I (ϕ) = ∅ : dans ce cas, ϕ est une réflexion
⋆ou bien I (ϕ) = ∅ : ϕ est le produit commutatif d’une symétrie orthogonale par rapport à un plan
P et d’une translation dont le vecteur (non nul) appartient à la direction de P.
Corollary 35 Les demi-tours engendrent le groupe (Is+ (E3 ) , ◦) .
Les réflexions engendrent le groupe (Is (E3 ) , ◦) .
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