memo geometrie euclidienne

MEMO GEOMETRIE EUCLIDIENNE
MP 13-14
1 Espaces vectoriels euclidiens de dimension 2 ou 3
Etant donné n∈IN
∗
, E
n
désigne un espace vectoriel euclidien orienté de dimension n, muni d’une
base orthonormée directe B,B= (e
1
, e
2
, . . . , e
n
),et O(E
n
)le groupe orthogonal de E
n
.
L’application
O(E
n
)−→ O
n
(IR)
f−→ mat
B
f
est un isomorphisme de groupes. L’étude du groupe (O
n
(IR),×)permet d’obtenir les propriétés
analogues du groupe (O(E
n
),◦).
Pour n= 1,on a
O
1
(IR) = {−1,+1}SO
1
(IR) = {1}
O(E
1
) = {− id
E
1
,+ id
E
1
}SO (E
1
) = {id
E
1
}
1.1 Description de O(E
2
)
Proposition 1 On a O
2
(IR) =
cos θ−γsin θ
sin θ γ cos θ
θ∈IR, γ ∈ {−1,+1} ,ainsi que
SO
2
(IR) =
cos θ−sin θ
sin θcos θ
θ∈IR O
−
2
(IR) =
cos θsin θ
sin θ−cos θ
θ∈IR
Pour θ∈IR,on note R(θ) =
cos θ−sin θ
sin θcos θ
et S(θ) =
cos θsin θ
sin θ−cos θ
.
Pour tout α, β, θ ∈IR,on a
R(α)R(β) = R(α+β)R(α)
−1
=R(−α)S(θ) = R(θ)S(0)
S(α)S(β) = R(α−β)S(α)
−1
=S(α)S(α)
−1
R(θ)S(α) = R(−θ)
R(θ)
cos α
sin α
=
cos (θ+α)
sin (θ+α)
S(θ)
cos α
sin α
=
cos (θ−α)
sin (θ−α)
Notamment l’application
IR −→ SO
2
(IR)
θ−→ R(θ)
est un morphisme de groupes surjectif de (IR,+) sur (SO
2
(IR),×)de noyau 2πZZ.(SO
2
(IR),×)
est ainsi un groupe commutatif (isomorphe à (U,×)d’après le cours sur les nombres complexes).
Proposition 2 Les isométries indirectes de E
2
sont les symétries orthogonales par rapport aux
droites de E
2
(réflexions ou symétries axiales).
Toute rotation de E
2
peut s’écrire comme le produit de deux réflexions (symétries axiales) dont
l’une peut être choisie arbitrairement.
Les réflexions de E
2
engendrent O(E
2
) : plus précisément toute isométrie de E
2
s’écrit comme le
produit de au plus 2réflexions de E
2
.

page 2
Proposition 3 Soit rune rotation du plan euclidien orienté E
2
.Il existe un réel θtel que la
matrice de rdans une base orthonormée directe arbitraire de E
2
est égale à R(θ)et est ainsi
indépendante du choix de cette base.
On définit ainsi un morphisme de groupes surjectif de IR sur SO (E
2
)(surjection dite canonique)
en associant au réel θla rotation rde E
2
dont la matrice dans toute base orthonormée directe de
E
2
est égale à R(θ) : avec ces notations, θest appelé une mesure (l’angle par abus de langage) de
ret rest appelée la rotation de E
2
d’angle θ.
Un changement d’orientation de E
2
transforme l’angle d’une rotation en son opposé.
Remark 1 Etant donnés deux vecteurs normés u
1
et u
2
de E
2
,il existe une et une seule rotation
(resp. symétrie axiale) de E
2
transformant u
1
en u
2
.
L’angle de la rotation transformant u
1
en u
2
est l’angle orienté des vecteurs u
1
et u
2
,à savoir
( u
1
, u
2
).
1.2 Produit mixte et produit vectoriel
1.2.1 Cas général
Definition 4 Soit (u
1
, u
2
, . . . , u
n
)un système de vecteurs de E
n
.On appelle produit mixte de
(u
1
, u
2
, . . . , u
n
)le déterminant de (u
1
, u
2
, . . . , u
n
)dans la base B,que l’on note [u
1
, u
2
, . . . , u
n
].
Par définition, on a
[u
1
, u
2
, . . . , u
n
]=det
B
(u
1
, u
2
, . . . , u
n
)
Cette définition a un sens car cette valeur est indépendante de la base orthonormée directe utilisée.
Proposition 5 Soit (u
1
, u
2
, . . . , u
n
)un système de vecteurs de E
n
.
(u
1
, u
2
, . . . , u
n
)est une base (resp. base directe) de E
n
si, et seulement si, [u
1
, u
2
, . . . , u
n
]= 0
(resp. [u
1
, u
2
, . . . , u
n
]>0).
Le produit mixte est invariant par SO (E
n
)(plus généralement par SL (E
n
)).
Example 6 Dans le plan vectoriel euclidien orienté, si uet vsont deux vecteurs non nuls de E
2
,
on a
[u, v] = Det (u, v) = u vsin ( u, v)
où ( u, v)désigne l’angle orienté des vecteurs uet v.
Proposition 7 Définition :
Soit (u
1
, u
2
, . . . , u
n−1
)un système de vecteurs de E
n
.Il existe un et un seul vecteur vde E
n
tel
que l’on ait
∀x∈E
n
,[u
1
, u
2
, . . . , u
n−1
, x] = (v|x)
Le vecteur vest appelé le produit vectoriel de u
1
, u
2
, . . . , u
n−1
et noté u
1
∧u
2
∧. . . ∧u
n−1
.
L’application
E
n−1
n
−→ E
n
(u
1
, u
2
, . . . , u
n−1
)−→ u
1
∧u
2
∧. . . ∧u
n−1
est n−1-linéaire alternée.
Proposition 8 Soit (u
1
, u
2
, . . . , u
n−1
)un système de vecteurs de E
n
.
Le système (u
1
, u
2
, . . . , u
n−1
)est lié si, et seulement si, u
1
∧u
2
∧...∧u
n−1
= 0.
u
1
∧u
2
∧. . . ∧u
n−1
∈vect (u
1
, u
2
, . . . , u
n−1
)
⊥
.
Si le système (u
1
, u
2
, . . . , u
n−1
)est libre, alors (u
1
, u
2
, . . . , u
n−1
, u
1
∧u
2
∧...∧u
n−1
)est une base
directe de E
n
.
2

page 3
1.2.2 Produit vectoriel dans E
3
Proposition 9 Le produit vectoriel est une application bilinéaire alternée sur E
3
à valeurs dans
E
3
que l’on peut caractériser ainsi : si uet vsont deux vecteurs libres de E
3
, u ∧vest le vecteur
orthogonal à uet v, tel que (u, v, u ∧v)soit une base directe de E
3
et
u∧v=u vsin θ
où θest l’écart angulaire de uet v.
Proposition 10 Coordonnées dans une base orthonormée directe.
Soient u, v ∈E
3
de coordonnées respectives (u
1
, u
2
, u
3
)et (v
1
, v
2
, v
3
)dans la base B.Les coordon-
nées de u∧vdans la base Bsont
u
2
v
2
u
3
v
3
,
u
3
v
3
u
1
v
1
,
u
1
v
1
u
2
v
2
Proposition 11 Double produit vectoriel.
∀u, v, w ∈E
3
, u ∧(v∧w) = (u|w)v−(u|v)w
Proposition 12 Division vectorielle :
Soit u, v ∈E
3
, u = 0.
Une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation u∧x=vait une solution dans E
3
est
que l’on ait (u|v) = 0.
Dans ce cas, l’ensemble des solutions est −u∧v
u
2
+λ u |λ∈IR .
Proposition 13 Etant donné ω∈E
3
,l’application
Φ
ω
:E
3
−→ E
3
x−→ w∧x
est un endomorphisme antisymétrique de E
3
.
Si les coordonnées de ωdans la base Bsont (p, q, r),alors
mat
B
Φ
ω
=
0−r q
r0−p
−q p 0
De plus l’application
E
3
−→ A (E
3
)
ω−→ Φ
ω
est un isomorphisme de E
3
sur A(E
3
).
1.3 Propriétés de O(E
3
)et de SO (E
3
)
Soit f∈O(E
3
)et M= mat
B
f.
3

page 4
Remark 2 Le polynôme caractéristique de fest de degré 3,et admet nécessairement une racine
réelle égale à +1 ou −1.Ainsi il existe une droite Dde E
3
stable par f(et f
|D
|D
=±id
D
). En
outre comme fest un automorphisme orthogonal de E
3
,le plan D
⊥
est invariant par fet f
|D
⊥
|D
⊥
est un automorphisme orthogonal de D
⊥
.
Proposition 14 Les réflexions de E
3
engendrent O(E
3
).
Les retournements engendrent SO (E
3
).
Plus précisément, toute isométrie de E
3
est le produit d’au plus trois réflexions de E
3
.
Proposition 15 Soit θ∈IR, u ∈E
3
,u= 1 et rla rotation d’axe IR uet d’angle θ.
Pour tout vecteur xde E
3
orthogonal à u, on a
r(x) = cos (θ)x+ sin (θ)u∧x
Pour tout vecteur xde E
3
,on a
r(x) = cos (θ)x+ sin (θ)u∧x+ (1 −cos θ) (u|x)u
1.3.1 Détermination pratique de l’axe et de l’angle d’une rotation
Première méthode Soit fune rotation de E
3
(distincte de id
E
3
) dont on connaît la matrice
Mdans la base B.On sait qu’il existe une base orthonormée directe B
′
= (v
1
, v
2
, u)de E
3
telle
que la matrice de fdans B
′
soit
M
′
=
cos θ−sin θ0
sin θcos θ0
0 0 1
On détermine uen cherchant les vecteurs invariants par f.
On a tr M= tr M
′
= 1 + 2 cos θ, ce qui fournit la valeur de cos θ.
Enfin, ∀x∈E
3
,[u, x, f (x)] = u∧x
2
sin θ, ce qui fournit la valeur de sin θ(son signe suffit).
Si l’on change uen son opposé, θest changé en −θ.
Seconde méthode On commence par déterminer cos θ, en calculant tr M. On suppose θnon
congru à 0modulo π, sinon fest égale à id
E
3
ou à un demi-tour.
La matrice M−
t
Métant antisymétrique, il existe ω∈E
3
tel que
M−
t
M= mat
B
Φ
ω
De plus M−
t
Mest aussi la matrice de f−f
∗
,c’est-à-dire de f−f
−1
.Or pour tout x∈E
3
,on
a
f(x) = cos (θ)x+ sin (θ)u∧x+ (1 −cos θ) (u|x)u
f
−1
(x) = cos (θ)x−sin (θ)u∧x+ (1 −cos θ) (u|x)u
et ainsi
f−f
−1
(x) = 2 sin (θ)u∧x
4

page 5
Par conséquent, ω= 2 sin (θ)u.
Pour appliquer cette méthode, on utilise le fait que si les coordonnées de ωdans la base Bsont
(p, q, r),alors
mat
B
Φ
ω
=
0−r q
r0−p
−q p 0
On pose alors u=ω
ωet sin θ > 0,ou bien u=−ω ωet sin θ < 0.
1.3.2 Etude d’une matrice orthogonale
Etant donnée M, M ∈ M
3
(IR),(d’endomorphisme canoniquement associé f), dont on commence
par vérifier qu’elle est orthogonale, on détermine le signe de son déterminant (penser à comparer
le signe d’un terme non nul avec celui de son cofacteur).
Si Mest symétrique (autre que I
3
et −I
3
), fest un demi-tour ou une réflexion (on détermine
E
1
(f)).
Sinon, si fest une rotation, on utilise une des méthodes précédentes pour déterminer son axe
et son angle, et si fest une isométrie indirecte, −fest une rotation (d’axe IR u, d’angle θ) et alors
fest la composée commutative de la rotation d’axe IR u, d’angle θ+π, et de la réflexion de plan
(IR u)
⊥
.
2 Groupe des similitudes d’un espace vectoriel euclidien
2.1 Propriétés générales
Soit Eun espace vectoriel euclidien.
Definition 16 Soit f∈GL (E)et α∈IR
∗
+
.On dit que fest une similitude (vectorielle) de Ede
rapport αsi le couple (f, α)vérifie l’une des quatre assertions équivalentes suivantes :
(1) ∀u∈E, f(u)=αu
(2) ∀u, v ∈E, (f(u)|f(v)) = α
2
(u|v)
(3) fadmet pour adjoint α
2
f
−1
(4) α
−1
f∈O(E)
L’assertion (4) signifie que fest le produit (commutatif) de l’homothétie αid
E
et d’une isométrie
de E.
Proposition 17 Définition :
L’ensemble des similitudes de Eest un sous-groupe de GL (E),noté GO (E).
Une similitude fde Eest dite directe (resp. indirecte) lorsque det f > 0(resp. det f < 0).
L’ensemble des similitudes directes de Eest un sous-groupe de GO (E)noté GO
+
(E).On note
GO
−
(E) = GO (E)\GO
+
(E).
Proposition 18 O
+
(E)est un sous-groupe de GO
+
(E)et on a O
−
(E)⊂GO
−
(E).
Pour λ∈IR
∗
,l’homothétie λid
E
est une similitude de Ede rapport |λ|.
Proposition 19 Toute similitude de Etransforme deux droites orthogonales de Een deux droites
orthogonales de E.
Réciproquement, si fest un automorphisme de Etransformant toute paire de droites orthogonales
de Een une paire de droites orthogonales de E, alors fest une similitude de E.
5