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FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
Nous allons, dans ce cours, revenir à deux concepts fondamentaux déjà vus en 1ère
année et qui seront utilisés dans de nombreux domaines d’étude (électromagnétisme,
phénomènes de transport, mécanique des fluides..) : le flux et la circulation d’un
champ de vecteurs.
I. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS
1. Définition
Définition : Soit A( M ) un champ vectoriel. On définit le flux élémentaire du champ
A( M ) au travers de la surface orientée dS( M ) par la grandeur dΦ telle que :
€
dΦ = A( M ).dS( M )
€
€
€
avec dS( M ) = dS( M )n( M ) , dS( M ) représentant la surface de l’élément considéré
€
et n( M ) un vecteur unitaire perpendiculaire à l’élément de surface.
€
€
€
RQ1 : cette définition autorise deux possibilités d’orientation pour le vecteur n( M ) .
Le choix sera arbitraire (mais clairement indiqué) si la surface est ouverte. Si la
surface est fermée, le vecteur n( M ) sera conventionnellement orienté de l’intérieur
vers l’extérieur du volume délimité par la surface fermée.
€
n ext ( M )
€
n( M )
n( M )
€
ou
€
€
S surface ouverte
Σ surface fermée
RQ2 : Le choix de l’orientation de la surface détermine le signe du flux.
A( M )
A( M )
€
€
dS
dΦ < 0
€
dS
dΦ < 0
€
€
€
FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
DEFINITION : Soit A( M ) un champ vectoriel.
On définit son flux au travers de la surface globale S par la grandeur Φ S telle que :
€
ΦS =
∫∫ A( M ).dS( M )
S
€
RQ : le flux dépend évidemment de l’orientation que l’on donne aux éléments de
surface traversés, et donc
€ à la surface S.
DEFINITION : Le flux sortant de A( M ) au travers de la surface fermée Σ est défini
par la grandeur Φ s telle que :
€
Φs =
∫∫ A( M ).dS
ext
(M)
Σ
€
où dS ext ( M ) = dS( M )next ( M ) et next ( M ) unitaire orienté vers l’extérieur
€
€
RQ : on peut évidemment définir un flux entrant Φ e =
A( M ).dS( M )nint ( M ) mais
€
Σ
dans ce cas, plutôt que de définir un autre vecteur unitaire, on préfèrera écrire
Φ e = − A( M ).dS( M )next ( M )
∫∫
∫∫
Σ
€
€
2. Flux conservatif
DEFINITION : On dit que le champ vectoriel A( M ) est à flux conservatif si, quelle
que soit la surface fermée Σ , le flux sortant est nul
Φs =
∫∫ A( M ).dS€ ( M ) = 0 ⇔ Flux conservatif
ext
Σ
€
Il existe une autre formulation de la conservation du flux, en séparant sur l’ensemble
de la surface fermée Σ une zone d’entrée, de surface Se ouverte, et une zone de sortie,
de surface Ss ouverte :
PROPRIETE :
Φ Se =
∫∫ A.dS
Se
€
int
= ∫∫ A.dS ext = Φ Ss ⇔ Flux conservatif
Ss
FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
Cette relation se démontre à l’aide de la définition du flux conservatif :
∫∫ A( M ).dS
ext
(M) = 0 =
Σ
∫∫ A.dS
Se
d’où
€
ext
+ ∫∫ A.dS ext = −
Ss
∫∫ A.dS
Se
int
+ ∫∫ A.dS ext
Ss
−Φ Se + Φ Ss = 0
Une autre propriété découle de cela :
€
PROPRIETE : Le flux à travers une surface ouverte S d’un champ conservatif ne
dépend que du contour sur lequel s’appuie la surface S.
dS1
€2
dS
Φ S1 = Φ S 2
€
€
3. Applications
3.a. Application à la détermination d’un champ vectoriel possédant de hauts
degrés de symétries
Lorsque la structure du champ est parfaitement connue (à partir de symétries et
d’invariances) et correspond à un haut degré de symétrie (1 seule variable d’espace, 1
direction fixe dans le système de coordonnées adapté), le calcul du flux permet de
ressortir l’expression du champ en le sortant de l’intégrale de surface.
En gros, on peut écrire Φ (haut degré de symétrie) = Champ*Surface
Plusieurs exemples de ce type ont été traités à l’aide du théorème de Gauss en
électrostatique dans le cours de 1ère année (s’y référer).
3.b. Tube de champ
On appelle tube de champ un volume engendré par
l’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un
contour.
En considérant un volume Σ fermé par deux sections
droites, S et S’, et une surface latérale représentant
un tube de champ, exprimer le flux sortant du champ
A( M ) à travers Σ.
€
Dans le cas d’un champ à flux conservatif, justifier que les tubes de champ s’évasent
dans des zones où l’intensité du champ diminue (et se resserrent là où l’intensité
augmente).
FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
3.c. Bilans (très important !)
Nous serons amenés, dans différentes situations (phénomènes diffusifs,
électromagnétisme, mécanique des fluides..), à effectuer des bilans macroscopiques
sur des grandeurs telles que énergie interne, quantité de matière, énergie
électromagnétique, quantité de mouvement etc... Ces grandeurs pourront varier dans
le temps par cause d’échange à la surface-frontière du système déterminé ou de
création (au sens algébrique et donc pouvant aussi traduire une perte effective) au sein
même du système.
Dans tous ces cas, nous pourrons mettre en place un schéma bilan du type :
VARIATION dans le temps = ECHANGE à travers la surface + CREATION en volume
Le terme d’échange correspond au flux d’un champ vectoriel adapté au système
étudié.
Nous allons illustrer cette notion en essayant de traduire l’équation de la conservation
de la charge électrique dans la matière. Pour cela, nous allons considérer un cas
simple dans lequel des particules chargées ne peuvent se déplacer que selon un seul
axe (Ox) (description unidimensionnelle).
Dans le cours de 1ère année, il a été établi que le courant électrique correspondait au
flux d’un vecteur, appelé densité volumique de courant (ou simplement courant
volumique), noté j . Si le courant électrique est associé au déplacement de différentes
charges, on peut écrire j =
∑ ρ v où ρ
i
i
i
désigne la densité volumique de charge de
l’espèce mobile « i » et v i sa vitesse moyenne.
€
Considérons un volume élémentaire
conducteur correspondant à un cylindre de
€
€
section S et longueur
dx.
€
On suppose que le courant volumique n’est pas nécessairement uniforme et qu’il
s’écrit :
j( x,t ) = j( x,t )ex à l’abscisse x et à l’instant t
j( x + dx,t ) = j( x + dx,t )ex à l’abscisse x + dx et à l’instant t
€
∑
j =€ ρ i v i
€
j( x + dx,t )
j( x,t )
€
€
x x x+dx FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
Si, sur une durée dt courte, j( x,t ) > j( x + dx,t ) , cela signifie qu’il entre plus de
charges par la surface en x qu’il n’en sort par la surface en x+ dx. Conséquence, la
charge totale contenue dans le volume V = Sdx augmenterait. A l’inverse, elle
diminuerait. Le bilan sert à quantifier cette relation.
€
VARIATION dans le temps = ECHANGE à travers la surface + CREATION en volume
La grandeur dont on cherche la variation est la charge.
L’échange de charges se fait par l’intermédiaire du flux du courant volumique, c’est
à dire du courant électrique.
La création... le terme de création caractérise l’apparition ou la disparition sans
échange de la grandeur étudiée, ici la charge. Dans certains cas, il existera un terme
de création (particules créées ou absorbées, énergie absorbée, entropie créée ...), dans
d’autres ce terme n’a aucun sens : c’est le cas de la masse et de la charge !
Conséquence : étant donné qu’il ne peut y avoir création de charges, le bilan de
charge se simplifie et on parlera alors de l’équation de conservation de la charge.
Revenons à l’échange : si on considère la surface d’entrée en x, la quantité de charge
⎛
⎞
entrant pendant une durée dt élémentaire vaut δQ e = I e ( x)dt = ⎜⎜
j( x).dS int ( x)⎟⎟ dt
⎝ S (x )
⎠
∫∫
δQ e = j( x,t )Sdt
Soit
De même, la charge sortant en x + dx€pendant dt vaut :
⎛
⎞
€
δQ s = I s ( x + dx)dt = ⎜⎜
j( x + dx).dS ext ( x + dx)⎟⎟ dt = j( x + dx,t )Sdt
⎝ S (x )
⎠
∫∫
RQ : on notera ici qu’on suppose que la durée dt est suffisamment courte pour
considérer que j(x,t) et j(x+dx,t) ne varient pas dans le temps.
€
On écrira donc, dans le volume V = Sdx et pendant la durée dt:
Q(t + dt ) − Q(t ) = δQ e − δQ s = ( j( x) − j( x + dx)) Sdt
€
Or Q(t ) = ρ ( x,t )Sdx (en considérant ici que dx est suffisamment petit pour supposer
que la densité volumique est uniforme dans le tout petit volume)
€
Q(t + dt ) − Q(t ) = ( ρ ( x,t + dt ) − ρ ( x,tdt )) Sdx
Ainsi
D’où :
(ρ( x,t + dt ) − ρ( x,tdt )) = ( j( x) − j( x + dx)) = − ( j( x + dx) − j( x))
dt
dx
€
Un passage à la limite lorsque dx → 0 et dt → 0 donne alors :
€
€
€
dx
FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
∂ρ
∂j
=−
∂t
∂x
ou encore
∂j ∂ρ
+
=0
∂x ∂t
NB : en modèle tridimensionnel, nous verrons plus tard que cette équation pourra
∂ρ
s’écrire div j +
= 0 , où « div » est
€ un opérateur vectoriel appelé divergence.
∂t
€
€3.d. Discontinuité de la composante normale du champ électrostatique à la
traversée d’une surface chargée
Montrer que, de part et d’autre d’une interface chargée avec une densité surfacique
de charge σ, la composante normale à l’interface du champ électrostatique est
σ
E N 2 − E N 1 = n12 on parle de relation de passage
discontinue et vérifie :
ε0
On utilisera pour cela le théorème de Gauss sur un cylindre élémentaire
perpendiculaire à la surface dont on fera tendre la hauteur vers zéro.
€
Que nous apporterait comme information la même opération sur le champ
magnétostatique ?
II. Circulation d’un champ de vecteurs
1. Définitions
DEFINITION : Soit A( M ) un champ vectoriel. On définit la circulation élémentaire
du champ A( M ) le long du déplacement d( M ) par la grandeur dC telle que :
€
dC = A( M ).d( M )
€
€
€
avec d( M ) = d( M )t(M ) , d( M ) représentant un élément de longueur d’un
€
contour orienté et t(M ) un vecteur unitaire tangent dans le sens du contour.
€
€
€
FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
DEFINITION : Soit A( M ) un champ vectoriel. On définit la circulation du champ
A( M ) le long d’un contour Γ orienté par :
€
CΓ =
∫ A( M ).d( M )
Γ
€
RQ1 : si le contour est fermé (s’il forme une boucle) la notation est alors
€
CΓ = A( M ).d( M )
∫
Γ
RQ2 : cette notion de circulation a déjà été vue en 1ère année :
•
une différence €
de potentiel est l’opposé d’une circulation de champ électrique
•
le théorème d’Ampère
•
le travail d’une force correspond à sa circulation le long d’une ligne bien
particulière : sa trajectoire
Signe de la circulation élémentaire
A( M, t)
A( M, t)
€
A( M, t)
€
€
d
dC(M,t) > 0
d
dC(M,t) = 0
€
dC(M,t) < 0
€
d
€
PROPRIETE : La circulation d’un champ calculée sur une de ses lignes de champ est
- positive si le contour est orienté le même sens de la ligne
- négative si le contour est orienté le sens opposé
En effet, sur une ligne de champ, A( M ) ∧ d( M ) = 0 : ces deux vecteurs sont
colinéaires. De fait si t(M ) est dans le même sens que
dC = A( M ).d( M )t(M ) = A( M )d > 0
€
€
€
€
A(M ) , alors FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
2. Circulation conservative
DEFINITION : On dit que le champ vectoriel A( M ) est à circulation conservative si,
quelle que soit le contour fermé Γ , la circulation est nulle :
CΓ =
∫ A( M ).d( M€ ) = 0 ⇔ circulation conservative
Γ
RQ : la circulation d’un champ évalue la capacité du champ à « tourner ». Si la
circulation
€ sur un contour fermé n’est pas nulle, cela signifie que le champ (ou du
moins une de ses composantes) a globalement tourné le long du contour. A l’inverse,
dans le cas d’un champ à circulation conservative, on parlera d’un champ
irrotationnel.
PROPRIETE : Un champ à circulation conservative est un champ dérivant d’un
gradient.
RQ1 : il s’agit en réalité d’une autre formulation de la définition d’un champ à
circulation conservative, les deux étant équivalentes.
Exemple : la circulation du champ électrostatique est nulle, la circulation d’une force
conservative est nulle. Dans ces deux cas, et de manière plus générale, tous les
champs dérivant d’un gradient sont à circulation conservative.
En effet, si A( M ) = grad f ( M ) , alors A( M ).d( M ) = df et
∫ df = 0
Γ
RQ2 : On choisira très souvent, et par seule convention d’écriture, de donner une
€
€ et le gradient, c’est à dire :
relation
négative entre le champ
€
A( M ) = −grad f ( M )
Exemples :
E = −gradV ; F = −gradE p ; f v = −gradP ...
€
PROPRIETE : La circulation entre deux points quelconques d’un champ à circulation
€
€ du contour considéré.
conservative€est indépendante
En effet, dans ce cas A( M ) = grad f ( M ) et si on calcule la circulation sur un contour
Γ orienté de M1 vers M2, alors CΓ =
∫
M2
M1
A( M ).d( M ) =
∫
M2
M1
df = ( f ( M 2 ) − f ( M1 ))
ne dépend que de f (M1) et f (M2) et donc pas du contour effectif.
€
€
FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
3. Applications
Reprendre les cas étudiés en 1ère année avec le théorème d’Ampère :
3.a. Fil rectiligne infini
3.b. Solénoïde infini
3.c. Discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétostatique à la
traversée d’une interface parcourue par un courant surfacique
Montrer que, de part et d’autre d’une interface parcourue par un courant surfacique
j S , la composante tangentielle à l’interface du champ magnétostatique est
discontinue et vérifie :
€
BT2 − BT1 = µ0 j S ∧ n12
on parle de relation de passage
On utilisera pour cela le théorème d’Ampère sur un rectangle élémentaire
perpendiculaire à l’interface dont on fera tendre la hauteur vers zéro.
€
B1
€
B2
B
2
Que nous apporterait comme information la même opération
€ sur le champ
électrostatique ?
€
EXERCICES
Exercice 1 :
Les noyaux de certains atomes légers peuvent être modélisés par une distribution
volumique de charge à l’intérieur d’une sphère de centre O et de rayon a. La densité
r2
volumique de charges est donnée par ρ = ρ 0 (1 − 2 ) pour r < a avec ρ0 une constante
a
positive.
1. Calculer la charge totale Q du noyau.
€
2. Etudier les invariances et les symétries de la distribution. En déduire l’orientation et
les dépendances du champ électrique créé par cette distribution.
FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
3. Déterminer l’expression du champ électrique a l’extérieur du noyau.
4. Même question a l’intérieur du noyau.
5. En prenant l’origine des potentiels à l’infini, calculer le potentiel électrique à
l’extérieur du noyau.
6. Même question à l’intérieur.
Exercice 2 :
Soit la distribution volumique de charges définie par :
⎧ ρ 0
ρ = ⎨
⎩ − ρ 0
si
si
0≤ x≤a
−a≤ x ≤0
1. Etudier les symétries et les invariances de la distribution.
2. Calculer le champ
€ électrostatique créé en tout point par cette distribution.
3. En déduire l’expression du potentiel électrostatique créé en tout point par cette
distribution. On notera V0 la valeur du potentiel en x = 0.
Exercice 3:
Le soleil, de rayon RS, rayonne une puissance P0 = 4.1026 W. On suppose que le
rayonnement est à symétrie sphérique et qu’il n’est pas absorbé dans l’espace.
On définit un vecteur densité de puissance j( M ) tel que le flux de ce vecteur au
travers d’une surface corresponde à la puissance la traversant.
1) En fonction des hypothèses, proposer une structure pour le champ j( M ) .
€
2) Calculer le flux de j( M ) en un point M distant de r ≥ RS du centre du soleil. Le
flux est-il conservatif ?
€
2
3) Donner la valeur de la puissance traversant S = 1m au niveau de la terre, S étant
€ à la direction du rayonnement.
perpendiculaire
4) On suppose maintenant que le rayonnement est absorbé en partie au cours de sa
propagation : cela se traduit par une perte de puissance par unité de volume
caractérisée par le coefficient σ >0 (en W.m-3).
4.a. Le flux est-il conservatif ?
4.b. Faire un bilan de puissance dans la couche sphérique comprise entre r et r + dr.
4.c. En déduire l’expression de j(r) en fonction de P0, σ, RS et r.
FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
Exercice 4 :
Le champ magnétostatique produit par un fil infini d’axe Oz parcouru par un courant I
µI
s’écrit dans la base cylindrique : B( M ) = 0 eθ
2πr
Déterminer le flux de ce champ à travers la surface d’un carré de côté a, situé dans un
plan contenant l’axe Oz et à la distance R de celui-ci.
€
Exercice 5 :
Soit un champ vectoriel tel que A( M ) =
α
(−yex + xey ) .
2
Déterminer la circulation de ce champ le long d’un contour carré délimité par les
points A 0,0), B(3,0), C(3,3) et D(3,0) et orienté dans le sens ABCDA.
€
D C A B FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
Exercice 6 :
Une bobine est constituée par un fil conducteur bobiné en
spires jointives sur un tore circulaire à section carrée de côté
a et de rayon moyen R. On désigne par n le nombre total de
spires et par I le courant qui les parcourt.
Après avoir étudié les symétries et invariances, déterminer :
- l’allure les lignes de champ magnétique
- l’expression du champ magnétique en tout point de l’espace.
Exercice 7 :
On considère les trois distributions « cylindriques » ci-dessous, où J = Juz est un
vecteur densité volumique de courant uniforme.
Déterminer, dans les deux premiers cas l’expression du champ magnétique créé en
€
tout point de l’espace.
Montrer, dans le troisième cas (cylindre creux excentré), que le champ à l’intérieur de
la cavité est uniforme.