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FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
Nous allons, dans ce cours, revenir à deux concepts fondamentaux déjà vus en 1ère
année et qui seront utilisés dans de nombreux domaines d’étude (électromagnétisme,
phénomènes de transport, mécanique des fluides..) : le flux et la circulation d’un
champ de vecteurs.
I. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS
1. Définition
Définition : Soit
€
A(M)
un champ vectoriel. On définit le flux élémentaire du champ
€
A(M)
au travers de la surface orientée
€
dS(M)
par la grandeur
€
d Φ
telle que :
€
d Φ =A(M).dS(M)
avec
€
dS(M)=dS (M)n(M)
,
€
dS(M)
représentant la surface de l’élément considéré
et
€
n(M)
un vecteur unitaire perpendiculaire à l’élément de surface.
RQ1 : cette définition autorise deux possibilités d’orientation pour le vecteur
€
n(M)
.
Le choix sera arbitraire (mais clairement indiqué) si la surface est ouverte. Si la
surface est fermée, le vecteur
€
n(M)
sera conventionnellement orienté de l’intérieur
vers l’extérieur du volume délimité par la surface fermée.
RQ2 : Le choix de l’orientation de la surface détermine le signe du flux.
€
dS
!
€
dS
!
€
A(M)
!
€
A(M)
!
€
d Φ <0
!
€
d Φ <0
!
Σ surface fermée
ou
S surface ouverte
€
n(M)
!
€
n(M)
!
€
next (M)
!

FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
DEFINITION : Soit
€
A(M)
un champ vectoriel.
On définit son flux au travers de la surface globale S par la grandeur
€
Φ
S
telle que :
€
Φ
S=A(M).dS(M)
S
∫∫
RQ : le flux dépend évidemment de l’orientation que l’on donne aux éléments de
surface traversés, et donc à la surface S.
DEFINITION : Le flux sortant de
€
A(M)
au travers de la surface fermée Σ est défini
par la grandeur
€
Φ
s
telle que :
€
Φ
s=A(M).dS ext (M)
Σ
∫∫
où
€
dS ext (M)=dS(M)next (M)
!et
€
next (M)
!unitaire orienté vers l’extérieur
RQ : on peut évidemment définir un flux entrant
€
Φ
e=A(M).dS(M)nint (M)
Σ
∫∫
mais
dans ce cas, plutôt que de définir un autre vecteur unitaire, on préfèrera écrire
€
Φ
e=−A(M).dS(M)next (M)
Σ
∫∫
2. Flux conservatif
DEFINITION : On dit que le champ vectoriel
€
A(M)
est à flux conservatif si, quelle
que soit la surface fermée Σ , le flux sortant est nul
€
Φ
s=A(M).dS ext (M)
Σ
∫∫ =0⇔
Flux conservatif
Il existe une autre formulation de la conservation du flux, en séparant sur l’ensemble
de la surface fermée Σ une zone d’entrée, de surface Se ouverte, et une zone de sortie,
de surface Ss ouverte :
PROPRIETE :
€
Φ
Se =A.dS int =
Se
∫∫ A.dS ext =
Ss
∫∫
Φ
Ss ⇔
Flux conservatif

FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
Cette relation se démontre à l’aide de la définition du flux conservatif :
€
A( M ). dSext ( M )
Σ
∫∫ =0=A.dS ext +
Se
∫∫ A.dS ext =
Ss
∫∫ −A.dS int +
Se
∫∫ A.dS ext
Ss
∫∫
d’où
€
− Φ
Se +
Φ
Ss =0
Une autre propriété découle de cela :
PROPRIETE : Le flux à travers une surface ouverte S d’un champ conservatif ne
dépend que du contour sur lequel s’appuie la surface S.
3. Applications
3.a. Application à la détermination d’un champ vectoriel possédant de hauts
degrés de symétries
Lorsque la structure du champ est parfaitement connue (à partir de symétries et
d’invariances) et correspond à un haut degré de symétrie (1 seule variable d’espace, 1
direction fixe dans le système de coordonnées adapté), le calcul du flux permet de
ressortir l’expression du champ en le sortant de l’intégrale de surface.
En gros, on peut écrire Φ (haut degré de symétrie) = Champ*Surface
Plusieurs exemples de ce type ont été traités à l’aide du théorème de Gauss en
électrostatique dans le cours de 1ère année (s’y référer).
3.b. Tube de champ
On appelle tube de champ un volume engendré par
l’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un
contour.
En considérant un volume Σ fermé par deux sections
droites, S et S’, et une surface latérale représentant
un tube de champ, exprimer le flux sortant du champ
€
A(M)
à travers Σ .
Dans le cas d’un champ à flux conservatif, justifier que les tubes de champ s’évasent
dans des zones où l’intensité du champ diminue (et se resserrent là où l’intensité
augmente).
€
Φ
S1=
Φ
S2
!
€
dS1
!
€
dS2
!

FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
3.c. Bilans (très important !)
Nous serons amenés, dans différentes situations (phénomènes diffusifs,
électromagnétisme, mécanique des fluides..), à effectuer des bilans macroscopiques
sur des grandeurs telles que énergie interne, quantité de matière, énergie
électromagnétique, quantité de mouvement etc... Ces grandeurs pourront varier dans
le temps par cause d’échange à la surface-frontière du système déterminé ou de
création (au sens algébrique et donc pouvant aussi traduire une perte effective) au sein
même du système.
Dans tous ces cas, nous pourrons mettre en place un schéma bilan du type :
VARIATION dans le temps = ECHANGE à travers la surface + CREATION en volume
Le terme d’échange correspond au flux d’un champ vectoriel adapté au système
étudié.
Nous allons illustrer cette notion en essayant de traduire l’équation de la conservation
de la charge électrique dans la matière. Pour cela, nous allons considérer un cas
simple dans lequel des particules chargées ne peuvent se déplacer que selon un seul
axe (Ox) (description unidimensionnelle).
Dans le cours de 1ère année, il a été établi que le courant électrique correspondait au
flux d’un vecteur, appelé densité volumique de courant (ou simplement courant
volumique), noté
€
j
. Si le courant électrique est associé au déplacement de différentes
charges, on peut écrire
€
j= ρ
ivi
∑
!où!
€
ρ
i
désigne la densité volumique de charge de
l’espèce mobile « i » et
€
vi
sa vitesse moyenne.
Considérons un volume élémentaire conducteur correspondant à un cylindre de
section S et longueur dx.
On suppose que le courant volumique n’est pas nécessairement uniforme et qu’il
s’écrit :
€
j(x,t)=j(x,t)ex
! !! à l’abscisse x et à l’instant t
€
j(x+dx,t)=j(x+dx,t)ex
!! à l’abscisse x + dx et à l’instant t
x"
x+dx"
x"
€
j= ρ
ivi
∑
!
€
j(x,t)
!
€
j(x+dx,t)
!

FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS
Si, sur une durée dt courte,
€
j(x,t)>j(x+dx,t)
, cela signifie qu’il entre plus de
charges par la surface en x qu’il n’en sort par la surface en x+ dx. Conséquence, la
charge totale contenue dans le volume V = Sdx augmenterait. A l’inverse, elle
diminuerait. Le bilan sert à quantifier cette relation.
VARIATION dans le temps = ECHANGE à travers la surface + CREATION en volume
La grandeur dont on cherche la variation est la charge.
L’échange de charges se fait par l’intermédiaire du flux du courant volumique, c’est
à dire du courant électrique.
La création... le terme de création caractérise l’apparition ou la disparition sans
échange de la grandeur étudiée, ici la charge. Dans certains cas, il existera un terme
de création (particules créées ou absorbées, énergie absorbée, entropie créée ...), dans
d’autres ce terme n’a aucun sens : c’est le cas de la masse et de la charge !
Conséquence : étant donné qu’il ne peut y avoir création de charges, le bilan de
charge se simplifie et on parlera alors de l’équation de conservation de la charge.
Revenons à l’échange : si on considère la surface d’entrée en x, la quantité de charge
entrant pendant une durée dt élémentaire vaut
€
δ Qe=Ie(x)dt =j(x).dS int (x)
S(x)
∫∫
$
%
&
&
'
(
)
)
dt
Soit
€
δ Qe=j(x,t)Sdt
De même, la charge sortant en x + dx pendant dt vaut :
€
δ Qs=Is(x+dx)dt =j(x+dx ).dS ext (x+dx)
S(x)
∫∫
$
%
&
&
'
(
)
)
dt =j(x+dx,t)Sdt
RQ : on notera ici qu’on suppose que la durée dt est suffisamment courte pour
considérer que j(x,t) et j(x+dx,t) ne varient pas dans le temps.
On écrira donc, dans le volume V = Sdx et pendant la durée dt:
€
Q(t+dt )−Q(t)= δ Qe− δ Qs=j(x)−j(x+dx)
( )
Sdt
Or
€
Q(t)= ρ (x,t)Sdx
(en considérant ici que dx est suffisamment petit pour supposer
que la densité volumique est uniforme dans le tout petit volume)
Ainsi
€
Q(t+dt )−Q(t)= ρ (x,t+dt )− ρ (x,tdt )
( )
Sdx
D’où :
€
ρ (x,t+dt )− ρ (x,tdt )
( )
dt =j(x)−j(x+dx)
( )
dx =−j(x+dx)−j(x)
( )
dx
Un passage à la limite lorsque
€
dx →0
et
€
dt →0
donne alors :