II. Variable aléatoire

II. Variable aléatoire
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Une expérience
On lance n=10 fois une pièce et on compte le pourcentage de “pile” obtenu soit Sn =
In[1]:=
S[n_] := Total[Table[RandomInteger[1], {n}]] ' n
In[2]:=
n = 10
S[n]
Table[S[n], {i, 0, 20}]
Out[2]=
# pile
n
.
10
1
Out[3]=
5
Out[4]=
3 3 1
7
3 3
3
1
7
1 3
7
3 2 3 4
1
1 3 1 1
 , , ,
, , ,
, ,
, , ,
, , , , ,
, , , , 
5 5 2 10 5 5 10 2 10 2 5 10 5 5 5 5 10 2 5 2 2
S[n] est une fonction aléatoire qui peut prendre les valeurs 0,
1
3
7
9
, 15 , 10
, 25 , 12 , 35 , 10
, 45 , 10
,
10
i
n
On cherche alors à connaitre la loi de probabilité de Sn ? C’est à dire PSn =  pour i=0,1..,n-1,n ?
1
2
Slide 2
of 20
On
répète
l’expérience plusieurs fois ...
On réalise k=20 tirages de Sn
In[5]:=
Out[7]=
k = 20;
n = 10;
tirages = Table[S[n], {k}] '' N
{0.1, 0.4, 0.2, 0.6, 0.7, 0.2, 0.4, 0.7, 0.8, 0.4, 0.5, 0.2, 0.6, 0.6, 0.3, 0.5, 0.9, 0.6, 0.3, 0.4}
Question 1 Quelle est le nombre de tirages pour lesquels on a obtenu autant de piles que de faces ? 4/5 de piles ... ?
In[8]:=
Out[8]=
In[9]:=
Out[9]=
In[10]:=
Count[tirages, .5]
2
Count[tirages, .8]
1
3
Question 2 Comment représente-on un histogramme des résultats ?
Slide 3 of 20
In[11]:=
k = 20;
n = 10;
tirages = Table[S[10], {k}];
histogramme = Table[{i ' n, Count[tirages, i ' n]}, {i, 0, n}];
ListPlot[histogramme, Filling ( Axis, PlotRange ( All]
Out[15]=
On remarque que les graphes obtenus diffèrent sensiblement selon les tirages. remarquons toutefois que la somme des valeurs est toujours égale à k.
On définit loi empirique h comme l’histogramme normalisé h=
histogramme
k
4
In[16]:=
k = 20;
n = 10;
tirages = Table[S[10], {k}];
h = Table[{i ' n, Count[tirages, i ' n] ' k}, {i, 0, n}];
ListPlot[h, Filling ( Axis, PlotRange ( All]
Out[20]=
On remarque que les graphes de la loi empirique obtenus diffèrent sensiblement selon les tirages mais que la somme des valeurs est maintenant toujours
égale à 1.
5
Slide 4 of 20
Augmentons
le nombre de tirages (k=100)
In[21]:=
k = 100;
n = 10;
tirages = Table[S[10], {k}];
h = Table[{i ' n, Count[tirages, i ' n] ' k}, {i, 0, n}];
ListPlot[h, Filling ( Axis, PlotRange ( All]
Out[25]=
Les diagrammes obtenus varient moins
6
Slide 5 of 20
Augmentons
encore le nombre de tirages (k=100 000)
In[26]:=
k = 100 000;
n = 10;
tirages = Table[S[10], {k}];
h = Table[{i ' n, Count[tirages, i ' n] ' k}, {i, 0, n}];
ListPlot[h, Filling ( Axis, PlotRange ( All]
Out[30]=
In[31]:=
Out[34]=
k = 100 000;
n = 10;
tirages = Table[S[10], {k}];
h = Table[{i ' n, Count[tirages, i ' n] ' k}, {i, 0, n}] '' N
{{0., 0.00106}, {0.1, 0.00941}, {0.2, 0.04443}, {0.3, 0.11685}, {0.4, 0.20521},
{0.5, 0.24579}, {0.6, 0.2064}, {0.7, 0.11778}, {0.8, 0.0425}, {0.9, 0.0096}, {1., 0.00097}}
La limite est alors la loi de probabilité recherchée
Question 3 Quelle est la probabilité pour que le pourcentage de pile est compris entre .3 et .6
P(.3 ≤ Sn ≤ .6) = P(Sn ∈ {.3, .4, .5, .6})
= P(Sn = .3) + P(Sn = .4) + P(Sn = .5) + P(Sn = .6)
≈ h(.3) + h(.4) + h(.5) + h(.6)
7
P(.3 ≤ Sn ≤ .6) = P(Sn ∈ {.3, .4, .5, .6})
= P(Sn = .3) + P(Sn = .4) + P(Sn = .5) + P(Sn = .6)
≈ h(.3) + h(.4) + h(.5) + h(.6)
8
Slide 6 of 20 Aléatoire
Variable
Definition. Une variable aléatoire est une fonction de l’ensemble des évènements dans 0 (pour le moment).
9
Exemples
On tire n fois à pile ou face et on compte le pourcentage de fois que l’on obtient pile
In[35]:=
S[n_] := Count[ RandomInteger[1, {n}] , 1] ' n
S[10]
k = 100 000;
n = 10;
tirages = Table[S[n], {k}];
Histogram[tirages, {0.1}, "Probability", LabelingFunction ( Above]
3
Out[36]=
5
Out[40]=
10
Exemples
Slide 7 of 20
On tire deux dés et on s’intéresse à la somme des chiffres présent sur la face supérieure de ces dés.
In[41]:=
Out[46]=
S[n_] := RandomInteger[{1, 6}] + RandomInteger[{1, 6}]
k = 100 000;
n = 10;
tirages = Table[S[10], {k}];
h = Table[{i, Count[tirages, i] ' k}, {i, 0, 12}];
ListPlot[h, Filling ( Axis, PlotRange ( All]
11
Exemples
Slide 8 of 20
On tire à pile ou face et on s’arrète lorque l’on obtient pile. La variable aléatoire est le nombre de tirages réalisés
In[47]:=
S[n_] := Block[{i = 1}, While[RandomInteger[1] * 0, i ++]; Return[i]]
k = 100 000;
n = 10;
tirages = Table[S[10], {k}];
h = Table[{i, Count[tirages, i] ' k}, {i, 0, Max[tirages]}];
ListPlot[h, Filling ( Axis, PlotRange ( All]
Out[52]=
◼ ... donner d’autres exemples
12
Slide de
9 of 20
Loi
Probabilité
Definition. La loi de probabilité d’une variable aléatoire X sur un univers Ω est la fonction de 0 dans [0,1] définie par f(x)=p(X=x) .
Certains auteurs l’appellent également fonction de densité, ici nous réserverons le terme de fonction de densités aux variable aléatoires continues.
La loi de probabilité de la variable aléatoire somme de deux dés est définie par le tableau suivant
On peut expliquer les test obtenus précédemment
In[53]:=
Out[58]=
S[n_] := RandomInteger[{1, 6}] + RandomInteger[{1, 6}]
k = 100 000;
n = 10;
tirages = Table[S[10], {k}];
h = Table[{i, Count[tirages, i] ' k}, {i, 0, 12}];
ListPlot[h, Filling ( Axis, PlotRange ( All]
13
Slide 10
Loi
deof 20
probabilité
Diagramme de toutes les possibilités, et calcul de
# cas favorables
# cas possibles
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
f (x) = p (X = x)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
14
In[59]:=
univers = Tuples[Range[6], {2}]
n = Length[univers]
valeurs = Map[Total, univers]
densité = Table[Count[valeurs, i], {i, 2, 12}] ' n
Total[densité]
BarChart[densité, ChartLabels ( Range[11] + 1, LabelingFunction ( Above]
Out[59]=
{{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 1}, {2, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5},
{2, 6}, {3, 1}, {3, 2}, {3, 3}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 1}, {4, 2}, {4, 3}, {4, 4}, {4, 5},
{4, 6}, {5, 1}, {5, 2}, {5, 3}, {5, 4}, {5, 5}, {5, 6}, {6, 1}, {6, 2}, {6, 3}, {6, 4}, {6, 5}, {6, 6}}
Out[60]=
36
Out[61]=
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Out[62]=

1
36
Out[63]=
Out[64]=
1
,
1
18
,
1
12
,
1
9
,
5
36
,
1
6
,
5
36
,
1
9
,
1
12
,
1
18
,
1
36

15
Slide 11 of 20 de répartition
Fonction
Definition. La fonction de répartition d’une variable aléatoire X sur un univers Ω est la fonction de 0 dans [0,1] définie par F(x)=p(X≤x) .
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
f (x) = p (X = x)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
La fonction de répartition de la variable aléatoire somme de deux dés est définie par le tableau suivant
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
F (x) = p (X ≤ x)
1
36
3
36
6
36
10
36
15
36
21
36
26
36
30
36
33
36
35
36
12
36
36
=1
16
In[65]:=
répartition = Accumulate[densité]
BarChart[répartition, ChartLabels ( Range[11] + 1, LabelingFunction ( Above]
Out[65]=

1
36
Out[66]=
,
1
12
,
1
6
,
5
18
,
5
12
,
7
12
,
13
18
,
5
6
,
11
12
,
35
36
, 1
17
Slide 12 of 20
Propriétés
◼ Une loi de probabilité prend des valeurs entre 0 et 1
◼ La somme des valeurs de la loi de probabilité est égale à 1 : ∑N
i=1 f (xi ) = 1
◼ La fonction de partition est positive ou nulle, croissante, et sa plus grande valeur est 1
18
Slide 13 of 20
Espérance
L’espérance E(X) d’une variable aléatoire X correspond à la moyenne des valeurs que l’on obtiendrait en faisant une infinité de tirages. C’est la moyenne
des valeurs de la variable aléatoire pondérées par leur probabilité
N
E(X)=∑N
i=1 xi p(X = xi ) = ∑i=1 xi f (xi )
Exemple : somme de deux dés
In[67]:=
Out[67]=
In[68]:=
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
f (x) = p (X = x)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
univers
{{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 1}, {2, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5},
{2, 6}, {3, 1}, {3, 2}, {3, 3}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 1}, {4, 2}, {4, 3}, {4, 4}, {4, 5},
{4, 6}, {5, 1}, {5, 2}, {5, 3}, {5, 4}, {5, 5}, {5, 6}, {6, 1}, {6, 2}, {6, 3}, {6, 4}, {6, 5}, {6, 6}}
Map[Total, univers]
Mean[Map[Total, univers]]
Out[68]=
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Out[69]=
7
19
Slide 14 of 20 et Ecart-type
Variance
La variance Var(X) d’une variable aléatoire X correspond à la moyenne de carrés des distances à l’espérance E(X), que l’on obtiendrait en faisant une
infinité de tirages.
Var(X ) = E (X 'E(X ))2 
2
= ∑N
i=1 (xi ' E(X )) p(X = xi )
2
= ∑N
i=1 (xi ' E(X )) f (xi )
L’écart-type ( d’une variable aléatoire X est la racine carrée de la variance
Var (X )
(=
Exemple : somme de deux dés, calculer l’espérance, la variance et l’écart-type
In[70]:=
Out[70]=
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
f (x) = p (X = x)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
univers
{{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 1}, {2, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5},
{2, 6}, {3, 1}, {3, 2}, {3, 3}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 1}, {4, 2}, {4, 3}, {4, 4}, {4, 5},
{4, 6}, {5, 1}, {5, 2}, {5, 3}, {5, 4}, {5, 5}, {5, 6}, {6, 1}, {6, 2}, {6, 3}, {6, 4}, {6, 5}, {6, 6}}
20
In[71]:=
X = Map[Total, univers]
Ex = Mean[X]
Mean[(X , Ex) ^ 2]
Mean[(X) ^ 2]
Mean[(X) ^ 2] , Mean[(X)] ^ 2
Variance[X]
Out[71]=
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Out[72]=
7
35
Out[73]=
6
329
Out[74]=
6
35
Out[75]=
6
Out[76]=
6
21
Slide 15 of 20
Propriétés
Théorème de König :
Var(X ) = EX 2 ' E (X )2
22
Slide 16 of 20de variables aléatoires
Somme
Le problème est, à partir de deux variables aléatoires discrètes X et Y, indépendantes, de déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire S=X+Y.
Pour simplifier, on supposera que X et Y sont à valeurs dans 3.
La loi de probabilité de S est alors
x
P(S=x)=P ⋃ (X = i ⋂ Y = x 6 i)
i=0
ces évènements sont disjoints donc
x
=∑i=0
P(X=i ⋂Y=x-i) X et Y sont indépendantes donc
x
=∑i=0 P(X=i)P(Y=x-i) par définition de f et g
x
=∑i=0
f (i) g(x 6 i)
x
Définition. La convolution discrète de deux fonction f et g est la fonction f7g(x)=∑i=0
f (i) g(x 6 i)
23
Slide 17 of 20
Propriétés
Théorème. La loi de probabilité de la somme X+Y de deux variables aléatoires discrètes X et Y, indépendantes, de
loi de probabilité respectivement f et g est la convolution discrète
x
f*g(x)==∑i=0
f (i) g(x ' i)
Théorème. L’espérance de la somme X+Y de deux variables aléatoires discrètes X et Y, est la somme des
espérances de X et de Y.
Théorème. La variance de la somme X+Y de deux variables aléatoires discrètes X et Y, indépendantes, est la
somme des variances de X et de Y
Corrolaire. La variance de la moyenne X =
variable aléatoire X est Var(X) =
82
n
1
n
∑ni=1 Xi de n variables aléatoires discrètes Xi , de même loi qu’une
24
Slide 18 of 20
Estimation
sans biais de la variance
Lorsque l'on estime la variance à partir d'un échantillon de taille n, la variance utilisée est un peu différente de la définition. En effet, appliquer la définition
sur un échantillon produit un biais du fait que c'est le même échantillon qui sert à estimer la moyenne E(x) et la variance.
Exemples
In[77]:=
Out[78]=
n = 20;
liste = RandomInteger[9, n]
Mean[(liste , Mean[liste]) ^ 2]
Mean[liste ^ 2] , Mean[liste] ^ 2
n Mean[(liste , Mean[liste]) ^ 2] ' (n , 1)
Variance[liste]
{6, 8, 7, 2, 5, 1, 9, 8, 8, 5, 2, 6, 3, 7, 9, 4, 1, 8, 5, 7}
2619
Out[79]=
400
2619
Out[80]=
400
2619
Out[81]=
380
2619
Out[82]=
380
25
Slide 19 of 20
Estimation
sans biais de la variance
Si l'on désigne par x =
1
n
∑ni=1 xi et Vn =
1
n
1
∑ni=1 (xi ' x)2= n ∑ni=1 xi2 ' x2 , on peut montrer que E(Vn) =
Preuve
2
En effet on a E(Vn ) = 19n ∑ni=1 Exi2  6 E(x )
Pour le premier terme
19n ∑ni=1 Exi2  = 19n ∑ni=1 EX 2  = EX 2  = E (X )2 + V(X )
Pour le second, on remarque tout d’abord que E(x)=E(X) et que V (x) =
2
1
n
V (X ) on déduit que
1
n
E(x ) = E(x)2 + V(x) = E(x)2 + V(X )
On en déduit donc que E(Vn ) =
n61
n
V(X )
Estimateur sans biais de la variance
L'estimateur sans biais de la variance est Vn61 =
Preuve. En effet, E(Vn61 ) =
n
V
n61 n
n
n n61
E(Vn ) =
V(X)=V(X)
n61
n61 n
=
1
n61
2
∑ni=1 Xi 6 X  .
n'1
Var(X).
n
26
Slide 20 of 20
Définitions
◼ Une variable aléatoire est dite
centrée
si son espérance est nulle.
Remarque. Si X est une variable aléatoire d’espérance E(X) alors X-E(X) est centrée
◼ Une variable aléatoire est dite
réduite
si son écart type est égal à 1.
Remarque. Si X est une variable aléatoire de variance 8 2 alors
◼ Une variable aléatoire réduite et centrée est dite
X
8
est réduite
standardisée
Remarque. Si X est une variable aléatoire d’espérance E(X) et de variance 8 2 alors
X 6E(X )
8
est réduite