II. Variable aléatoire

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II. Variable aléatoire
Une expérience
On lance n=10 fois une pièce et on compte le pourcentage de “pile” obtenu soit
Sn=#pile
n
.
In[1]:=
S!n"# :$Total!Table!RandomInteger!1#,%n&## ' n
In[2]:=
n$10
S!n#
Table!S!n#,%i, 0, 20&#
Out[2]=
10
Out[3]=
1
5
Out[4]=
3
5
,3
5
,1
2
,7
10
,3
5
,3
5
,3
10
,1
2
,7
10
,1
2
,3
5
,7
10
,3
5
,2
5
,3
5
,4
5
,1
10
,1
2
,3
5
,1
2
,1
2
S[n] est une fonction aléatoire qui peut prendre les valeurs
0, 1
10 ,1 5,3 10 ,2 5,1 2,3 5,7 10 ,4 5,9 10 , 1
On cherche alors à connaitre la loi de probabilité de
Sn?
C’est à dire
PSn=i
n
pour i=0,1..,n-1,n ?

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On répète l’expérience plusieurs fois ...
On réalise k=20 tirages de
Sn
In[5]:=
k$20;
n$10;
tirages $Table!S!n#,%k&# '' N
Out[7]=
{0.1,0.4,0.2,0.6,0.7,0.2,0.4,0.7,0.8,0.4,0.5,0.2,0.6,0.6,0.3,0.5,0.9,0.6,0.3,0.4}
Question 1 Quelle est le nombre de tirages pour lesquels on a obtenu autant de piles que de faces ? 4/5 de piles ... ?
In[8]:=
Count!tirages,.5#
Out[8]=
2
In[9]:=
Count!tirages,.8#
Out[9]=
1
In[10]:=
2

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Question 2 Comment représente-on un histogramme des résultats ?
In[11]:=
k$20;
n$10;
tirages $Table!S!10#,%k&#;
histogramme $Table!%i'n, Count!tirages, i 'n#&,%i, 0, n&#;
ListPlot!histogramme,Filling (Axis,PlotRange (All#
Out[15]=
On remarque que les graphes obtenus diffèrent sensiblement selon les tirages. remarquons toutefois que la somme des valeurs est toujours égale à k.
On définit loi empirique h comme l’histogramme normalisé h=
histogramme
k
3

In[16]:=
k$20;
n$10;
tirages $Table!S!10#,%k&#;
h$Table!%i'n, Count!tirages, i 'n#'k&,%i, 0, n&#;
ListPlot!h, Filling (Axis,PlotRange (All#
Out[20]=
On remarque que les graphes de la loi empirique obtenus diffèrent sensiblement selon les tirages mais que la somme des valeurs est maintenant toujours
égale à 1.
4

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Augmentons le nombre de tirages (k=100)
In[21]:=
k$100;
n$10;
tirages $Table!S!10#,%k&#;
h$Table!%i'n, Count!tirages, i 'n#'k&,%i, 0, n&#;
ListPlot!h, Filling (Axis,PlotRange (All#
Out[25]=
Les diagrammes obtenus varient moins
5