PRA1 : Probabilités PRA1 : Probabilités
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Master 1 MEEF - Parcours Mathématiques PRA1 : Probabilités Exercice à rendre pour le mardi 24 novembre 2015 On considère une pièce telle que la probabilité d’obtenir « pile » est p œ]0, 1[. On lance indéfiniment la pièce et on note Pk (respectivement Fk ) l’évènement « On a obtenu Pile au k-ième lancer » (respectivement « On a obtenu Face au k-ième lancer »). On suppose les lancers indépendants et on note X la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir, pour la première fois, la séquence Pile-Face. 1) Calculer, en le justifiant soigneusement, les probabilités 2) Soit n œ P([X = 2]), P([X = 3]) et P([X = 4]). N tel que n > 4. Expliciter l’évènement [X = n]. 3) En déduire la loi de X. (On pourra discuter suivant les valeurs de p.) 4) Justifier que X admet une espérance. Calculer E(X). Si la pièce est équilibrée, combien, en moyenne, faut-il de lancers pour obtenir, pour la première fois, la séquence Pile-Face ? Master 1 MEEF - Parcours Mathématiques PRA1 : Probabilités Exercice à rendre pour le mardi 24 novembre 2015 On considère une pièce telle que la probabilité d’obtenir « pile » est p œ]0, 1[. On lance indéfiniment la pièce et on note Pk (respectivement Fk ) l’évènement « On a obtenu Pile au k-ième lancer » (respectivement « On a obtenu Face au k-ième lancer »). On suppose les lancers indépendants et on note X la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir, pour la première fois, la séquence Pile-Face. 1) Calculer, en le justifiant soigneusement, les probabilités 2) Soit n œ P([X = 2]), P([X = 3]) et P([X = 4]). N tel que n > 4. Expliciter l’évènement [X = n]. 3) En déduire la loi de X. (On pourra discuter suivant les valeurs de p.) 4) Justifier que X admet une espérance. Calculer E(X). Si la pièce est équilibrée, combien, en moyenne, faut-il de lancers pour obtenir, pour la première fois, la séquence Pile-Face ?
