PRA1 : Probabilités PRA1 : Probabilités

Master 1 MEEF - Parcours Mathématiques
PRA1 : Probabilités
Exercice à rendre pour le mardi 24 novembre 2015
On considère une pièce telle que la probabilité d’obtenir « pile » est pœ]0,1[.On lance indéfiniment la pièce
et on note Pk(respectivement Fk) l’évènement « On a obtenu Pile au k-ième lancer » (respectivement « On
a obtenu Face au k-ième lancer »). On suppose les lancers indépendants et on note Xla variable aléatoire
égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir, pour la première fois, la séquence Pile-Face.
1) Calculer, en le justifiant soigneusement, les probabilités P([X= 2]),P([X= 3]) et P([X= 4]).
2) Soit nœNtel que n>4.Expliciterl’évènement[X=n].
3) En déduire la loi de X. (On pourra discuter suivant les valeurs de p.)
4) Justifier que Xadmet une espérance. Calculer E(X).
Si la pièce est équilibrée, combien, en moyenne, faut-il de lancers pour obtenir, pour la première fois, la
séquence Pile-Face ?
Master 1 MEEF - Parcours Mathématiques
PRA1 : Probabilités
Exercice à rendre pour le mardi 24 novembre 2015
On considère une pièce telle que la probabilité d’obtenir « pile » est pœ]0,1[.On lance indéfiniment la pièce
et on note Pk(respectivement Fk) l’évènement « On a obtenu Pile au k-ième lancer » (respectivement « On
a obtenu Face au k-ième lancer »). On suppose les lancers indépendants et on note Xla variable aléatoire
égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir, pour la première fois, la séquence Pile-Face.
1) Calculer, en le justifiant soigneusement, les probabilités P([X= 2]),P([X= 3]) et P([X= 4]).
2) Soit nœNtel que n>4.Expliciterl’évènement[X=n].
3) En déduire la loi de X. (On pourra discuter suivant les valeurs de p.)
4) Justifier que Xadmet une espérance. Calculer E(X).
Si la pièce est équilibrée, combien, en moyenne, faut-il de lancers pour obtenir, pour la première fois, la
séquence Pile-Face ?