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Informatique
TD/TP 2.2
Intégration numérique
Les principales capacités développées sont :
• comprendre un algorithme et expliquer ce qu’il fait,
• modifier un algorithme existant pour obtenir un résultat différent,
• concevoir un algorithme répondant à un problème précisément posé,
• expliquer le fonctionnement d’un algorithme,
• s’interroger sur l’efficacité algorithmique temporelle d’un algorithme.
1) Rappeler l'algorithme (en python) de calcul de la moyenne d'une liste L.
Méthode des rectangles
def rectangleg(f,a,b,N):
"""
paramètres d'entrées :
*f* : fonction à intégrer (cette fonction renvoie un nombre)
*a* et *b* : début et fin de l'intervalle d'intégration (flottants ou entiers)
*N* : nombre de partitions de l'intervalle d'intégration (entier)
sortie : intégrale numérique par la méthode des rectangles
"""
h=(b-a)/N
# pas des partitions
s=0
# initialisation de la somme
for k in range(N): # somme de l'aire des rectangles de toutes les partitions
s=s+h*f(a+k*h)
return s
2) Indiquer les points commun entre l'algorithme de la moyenne et
celui de la fonction rectangleg
3) Ecrire une fonction rectanglem qui effectue un calcul similaire à la
fonction rectangleg mais en prenant la valeur de la fonction au
milieu de chaque partition.
4) Tracer le tableau d'évolution des variables k, f(a+k*h) et s si on appelle la fonction rectangleg avec la
fonction cos pour l'intervalle [0; π] avec 2 partitions de l'intervalle (remarque : analytiquement on
obtient 0).
5) Calculer
′
= max ≤ ≤
∗
–
2
et conclure quant à la majoration de l'erreur faite à la
2
question précédente par cette expression.
6) Définir une fonction cosp admettant en entrée une variable x et qui renvoie en sortie:
0 sur l'intervalle
≤
cos(x) lorsque <
≤
< et <
< .
7) Proposer une instruction à écrire dans le programme principal qui permet de disposer de la fonction
cos.
8) Ecrire l'instruction qui permet de stocker, dans la variable int_cosp, l'intégrale numérique obtenue
par la fonction rectangleg avec 4 partitions sur l'intervalle [0,2π] (remarque : analytiquement on
obtient 2)
9) Tracer le tableau d'évolution des variables k, f(a+k*h) et s dans le cas de l'instruction précédente.
10) Montrer que l'erreur faite à la question précédente est inférieure à l'expression
= max ≤ ≤
′
∗
–
2
2
.
11) Quand s'impose une intégration numérique ? Proposer une solution plus rapide pour effectuer ce
calcul pour la fonction cosp. Le code de la solution n'est pas attendu.
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TD/TP 2.2
Intégration numérique
Méthode des trapèzes
12) Ecrire une fonction trapeze qui permet d'obtenir l'intégrale de f entre a et b pour N partitions.
13) Quel est l'intérêt et l'inconvénient de la fonction trapeze par rapport à la fonction rectangleg ?
Comparatif des méthodes
14) Créer une fonction tracer qui admet comme argument f, a, b et N et qui trace les courbes intégrales
de la fonction f par les trois méthodes d'intégration. Observer l'effet de N sur l'évolution de la
précision de l'intégration.
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