2 va de POISSON

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Loi de POISSON
Variable aléatoire qui suit une Loi de POISSON (définition) .............................. 2
Exercices 1, 2, 3. ................................................................................................... 3
Solutions des exercices 1, 2................................................................................... 4
Solution de l’exercice 3......................................................................................... 5
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Variable aléatoire qui suit une Loi de POISSON (définition)
Le paramètre
Un réel positif λ (λ > 0) est fixé, c’est le paramètre.
Définition
La variable aléatoire X suit la Loi de Poisson de paramètre λ lorsque :
1) les valeurs possibles de X sont tous les entiers positifs ou nul
{ 0,1,2,3,..., k, k + 1,......... } = N
2) la probabilité pour que X soit égale à k si k est un entier positif ou nul est
P( X = k ) =
λk − λ
e
k!
L’espérance mathématique L’espérance mathématique de X est :
E (X) = λ
La variance
La variance de X est :
V (X ) = λ
Remarque
V(X) = E (X) = λ
N’oublions pas : λ > 0
L’écart type
L’écart type de X est :
σ( X ) = V ( X ) ; σ( X ) = λ
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Exercices 1, 2, 3.
Exercice 1
X suit une loi de POISSON, l’espérance mathématique de X est égale à 2, quel
est le paramètre de la Loi de POISSON suivie par X ? Donner la variance et
l’écart type de cette variable aléatoire.
Exercice 2
Y est une variable aléatoire qui suit la Loi de POISSON de paramètre 1,5 .
1) Donner l’espérance mathématique, la variance et l’écart type de Y.
2) Calculer la probabilité pour que Y soit égala à 0.
3) Calculer la probabilité pour que Y soit au moins égale à 1.
4) Calculer la probabilité pour que Y soit égale à 1.
5) Calculer la probabilité pour que Y soit égale à 2.
6) Calculer la probabilité pour que Y soit au plus égale à 2.
7) Calculer la probabilité pour que Y soit au plus égale à 3.
8) Calculer la probabilité pour que Y soit au moins égale à 2.
9) Calculer la probabilité pour que Y soit au moins égale à 3.
10) Calculer la probabilité pour que Y soit au moins égale à 3 et à moins de 6.
Exercice 3
Au réel λ tel que λ > 0 on associe une variable aléatoire X λ qui suit la loi de
Poisson de paramètre λ .
On note f : λ → f (λ) la fonction définie sur l’intervalle ]0 , + ∞[ par :
f (λ) = P(X λ ≤ 2).
1) Exprimer la fonction f : λ → f (λ) à l’aide de fonctions usuelles.
2) Etudier la fonction f.
3) Donner la limite à l’infini de cette fonction.
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Solutions des exercices 1, 2.
Solution de l’exercice 1
X suit une Loi de POISSON, donc son espérance mathématique est égale à son
paramètre comme elle vaut 2, le paramètre de la Loi de POISSON suivie par X
est : λ = 2.
Si X suit une Loi de POISSON alors sa variance est égale à son espérance
mathématique : V (X) = 2 .L’écart type est : σ(X ) = 2 .
Solution de l’exercice 2
Y est une variable aléatoire qui suit la Loi de POISSON de paramètre 1,5 .
1) E (Y) = 1,5 V (Y ) = 1,5 σ(Y ) = 1,5 .
2) La probabilité pour que Y soit égale à 0 : P(Y = 0) = e −1,5 ≈ 0,223 .
3) La probabilité pour que Y soit au moins égale à 1 : 1 − P(Y = 0) ≈ 0,777 .
4) La probabilité pour que Y soit égale à 1 : P(Y = 1) = 1,5e −1,5 ≈ 0,335
1,52 −1,5
e
≈ 0,251
5) La probabilité pour que Y soit égale à 2 : P(Y = 2) =
2!
6) La probabilité pour que Y soit au plus égale à 2 :
P(Y ≤ 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) = 0,809
7) La probabilité pour que Y soit au plus égale à 3 : P(Y ≤ 2) + P(Y = 3) = 0,934 .
8) La probabilité pour que Y soit au moins égale à 2 :
P(Y ≥ 2) = 1 − P(Y = 0) − P(Y = 1) = 0,442 .
9) La probabilité pour que Y soit au moins égale à 3:
P(Y ≥ 3) = 1 − P(Y = 0) − P(Y = 1) − P(Y = 2) = 0,191 .
10) La probabilité pour que Y soit au moins égale à 3 et à moins de 6:
P(3 ≤ Y ≤ 5) = P(Y = 3) + P(Y = 4) + P(Y = 5) = 0,187 .
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Solution de l’exercice 3
Solution de l’exercice 3
Au réel λ tel que λ > 0 on associe une variable aléatoire X λ qui suit la loi de
Poisson de paramètre λ .
On note f : λ → f (λ) la fonction définie sur l’intervalle ]0 , + ∞[ par :
f (λ) = P(X λ ≤ 2).
1) Expression de la fonction f : λ → f (λ) à l’aide de fonctions usuelles :
f (λ) = P(X λ = 0) + P(X λ = 1) + P(X λ = 2)
f (λ ) = e − λ + λ e − λ +
λ2 − λ
e
2

λ2  − λ

f (λ ) = 1 + λ +
e

2 


2) Etude de la fonction f

 λ2 
λ2  − λ
f ' (λ) = (1 + λ )e − λ −  1 + λ +
e
= −  e − λ

 2 
2 


 
La fonction est décroissante.
λ
0
+∞
−
f ' (λ )
f
1
↓
0
3) La limite à l’infini de cette fonction.
Lim λ
f (λ) = 0 (Voir les propriétés de la fonction exponentielle :
→ +∞
λ2
1+ λ +
2

eλ
2 et lim
 1 + λ + λ e − λ =
= +∞ donc :
λ → +∞

2
λ
2 
e
λ


1+ λ +
2

λ2  − λ

lim λ → +∞ 1 + λ +
e
= 0)

2 

