2 va de POISSON

1
Loi de POISSON
Variable aléatoire qui suit une Loi de POISSON (définition)..............................2
Exercices 1, 2, 3. ...................................................................................................3
Solutions des exercices 1, 2...................................................................................4
Solution de l’exercice 3.........................................................................................5

2
Variable aléatoire qui suit une Loi de POISSON (définition)
Le paramètre
Un réel positif
)
0
(
>
>>
>
λ
λ
est fixé, c’est le paramètre.
Définition
La variable aléatoire X suit la Loi de Poisson de paramètre
λ
lorsque :
1) les valeurs possibles de X sont tous les entiers positifs ou nul
{
{{
{
}
}}
}
N,.........1k,k,...,3,2,1,0
=
==
=
+
++
+
2) la probabilité pour que X soit égale à k si k est un entier positif ou nul est
λ
λ−
−−
−
=
==
==
==
=e
!k
k
)kX(P
L’espérance mathématique L’espérance mathématique de X est :
λ=
==
=)X(E
La variance La variance de X est :
λ=
==
=)X(V
Remarque
λ=
==
==
==
=)X(E)X(V
N’oublions pas
0
:
>
>>
>
λ
L’écart type L’écart type de X est :
λσσ =
==
==
==
=)X(;)X(V)X(

3
Exercices 1, 2, 3.
Exercice 1
X suit une loi de POISSON, l’espérance mathématique de X est égale à 2, quel
est le paramètre de la Loi de POISSON suivie par X ? Donner la variance et
l’écart type de cette variable aléatoire.
Exercice 2
Y est une variable aléatoire qui suit la Loi de POISSON de paramètre
5
,
1
.
1) Donner l’espérance mathématique, la variance et l’écart type de Y.
2) Calculer la probabilité pour que Y soit égala à 0.
3) Calculer la probabilité pour que Y soit au moins égale à 1.
4) Calculer la probabilité pour que Y soit égale à 1.
5) Calculer la probabilité pour que Y soit égale à 2.
6) Calculer la probabilité pour que Y soit au plus égale à 2.
7) Calculer la probabilité pour que Y soit au plus égale à 3.
8) Calculer la probabilité pour que Y soit au moins égale à 2.
9) Calculer la probabilité pour que Y soit au moins égale à 3.
10) Calculer la probabilité pour que Y soit au moins égale à 3 et à moins de 6.
Exercice 3
Au réel
0
que
tel
>
>>
>
λ
λ
on associe une variable aléatoire
λ
X qui suit la loi de
Poisson de paramètre
λ
.
On note
)
(
f
:
f
λ
λ
→
→→
→
la fonction définie sur l’intervalle
]
]]
]
[
[[
[
∞
∞∞
∞
+
++
+
,0 par :
).2X(P)(f
≤
≤≤
≤
=
==
=
λ
λ
1) Exprimer la fonction
)
(
f
:
f
λ
λ
→
→→
→
à l’aide de fonctions usuelles.
2) Etudier la fonction f.
3) Donner la limite à l’infini de cette fonction.

4
Solutions des exercices 1, 2.
Solution de l’exercice 1
X suit une Loi de POISSON, donc son espérance mathématique est égale à son
paramètre comme elle vaut 2, le paramètre de la Loi de POISSON suivie par X
est
.
2
:
=
==
=
λ
Si X suit une Loi de POISSON alors sa variance est égale à son espérance
mathématique
2
)
X
(
V
:
=
==
=
.L’écart type est 2)X(: =
==
=σ .
Solution de l’exercice 2
Y est une variable aléatoire qui suit la Loi de POISSON de paramètre
5
,
1
.
1) 5,1)Y(5,1)Y(V5,1)Y(E =
==
==
==
==
==
= σ .
2) La probabilité pour que Y soit égale à 0 223,0
5,1
e)0Y(P: ≈
≈≈
≈
−
−−
−
=
==
==
==
=.
3) La probabilité pour que Y soit au moins égale à 1
777
,
0
)
0
Y
(
P
1
:
≈
≈≈
≈
=
==
=
−
−−
−
.
4) La probabilité pour que Y soit égale à 1 335,0
5,1
e5,1)1Y(P: ≈
≈≈
≈
−
−−
−
=
==
==
==
=
5) La probabilité pour que Y soit égale à 2 251,0
5,1
e
!2
2
5,1
)2Y(P: ≈
≈≈
≈
−
−−
−
=
==
==
==
=
6) La probabilité pour que Y soit au plus égale à 2 :
809
,
0
)
2
Y
(
P
)
1
Y
(
P
)
0
Y
(
P
)
2
Y
(
P
=
==
=
=
==
=
+
++
+
=
==
=
+
++
+
=
==
=
=
==
=
≤
≤≤
≤
7) La probabilité pour que Y soit au plus égale à 3
934
,
0
)
3
Y
(
P
)
2
Y
(
P
:
=
==
=
=
==
=
+
++
+
≤
≤≤
≤
.
8) La probabilité pour que Y soit au moins égale à 2 :
442
,
0
)
1
Y
(
P
)
0
Y
(
P
1
)
2
Y
(
P
=
==
=
=
==
=
−
−−
−
=
==
=
−
−−
−
=
==
=
≥
≥≥
≥
.
9) La probabilité pour que Y soit au moins égale à 3:
191
,
0
)
2
Y
(
P
)
1
Y
(
P
)
0
Y
(
P
1
)
3
Y
(
P
=
==
=
=
==
=
−
−−
−
=
==
=
−
−−
−
=
==
=
−
−−
−
=
==
=
≥
≥≥
≥
.
10) La probabilité pour que Y soit au moins égale à 3 et à moins de 6:
187
,
0
)
5
Y
(
P
)
4
Y
(
P
)
3
Y
(
P
)
5
Y
3
(
P
=
==
=
=
==
=
+
++
+
=
==
=
+
++
+
=
==
=
=
==
=
≤
≤≤
≤
≤
≤≤
≤
.

5
Solution de l’exercice 3
Solution de l’exercice 3
Au réel
0
que
tel
>
>>
>
λ
λ
on associe une variable aléatoire
λ
X qui suit la loi de
Poisson de paramètre
λ
.
On note
)
(
f
:
f
λ
λ
→
→→
→
la fonction définie sur l’intervalle
]
]]
]
[
[[
[
∞
∞∞
∞
+
++
+
,0 par :
).2X(P)(f
≤
≤≤
≤
=
==
=
λ
λ
1) Expression de la fonction
)
(
f
:
f
λ
λ
→
→→
→
à l’aide de fonctions usuelles :
λ
λ
λλ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λλλ
λ
−
−−
−
+
++
++
++
+=
==
=
−
−−
−
+
++
+
−
−−
−
+
++
+
−
−−
−
=
==
=
=
==
=
+
++
+
=
==
=
+
++
+
=
==
=
=
==
=
e
2
2
1)(f
e
2
2
ee)(f
)2X(P)1X(P)0X(P)(f
2) Etude de la fonction f
(
((
( )
))
)
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λλ −
−−
−
−
−−
−=
==
=
−
−−
−
+
++
++
++
+−
−−
−
−
−−
−
+
++
+=
==
=e
2
2
e
2
2
1e1)('f
La fonction est décroissante.
λ
∞
∞∞
∞
+
++
+
0
)
(
'
f
λ
−
−−
−
f
01 ↓
↓↓
↓
3) La limite à l’infini de cette fonction.
0)(fLim
=
==
=
+∞
+∞+∞
+∞
→
→→
→
λ
λ
(Voir les propriétés de la fonction exponentielle :
)0e
2
2
1lim
:donc
2
2
1
e
limet
e
2
2
1
e
2
2
1
=
==
=
−
−−
−
+
++
++
++
+
+∞
+∞+∞
+∞→
→→
→
+∞
+∞+∞
+∞=
==
=
+
++
++
++
+
+∞
+∞+∞
+∞→
→→
→
+
++
++
++
+
=
==
=
−
−−
−
+
++
++
++
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ