1. Applications linéaires 2. Polynômes à coefficients dans R ou C 3

Mathématiques
2010 - 2011 Quinzaine no10 – Applications linéaires. Polynômes Lycée J.-B. Say
PCSI
1. Applications linéaires
ÏGénéralités : définition, exemples divers, noyau et image d’une application linéaire, équations linéaires.
ÏLe théorème du rang et ses applications : théorème du rang, application au cas où dim(E)=dim(F)< +∞, caracté-
risation des automorphismes en dimension finie.
ÏL(E,F),L(E)et GL(E) : l’espace vectoriel L(E,F), l’algèbre (L(E),+,·,◦) (règles de calcul), le groupe linéaire.
ÏProjecteurs et symétries : projecteurs et projections, symétries.
2. Polynômes à coefficients dans Rou C
ÏL’algèbre K[X] : définition des polynômes formels, la structure d’algèbre commutative sur K[X], degré et valua-
tion d’un polynôme, définition de l’indéterminée X, les sev Kn[X], dimension et base canonique (1, X,...,Xn), toute
famille de polynômes de degrés étagés de K[X] est libre, composition P(Q(X)), polynômes pairs ou impairs.
ÏPolynômes dérivés : définition, polynômes dérivés successifs, dérivations successives de (X−a)n, formulaire (avec
la formule de Leibniz), formule de Taylor.
ÏArithmétique des polynômes, acte I : la division sur K[X] : définition, exemples, algorithme de la division eucli-
dienne, exemples de calculs de restes et de quotients, divisibilté d’un polynôme par X−a.
ÏArithmétique des polynômes, acte II : les racines : multiplicité d’une racine, relations coefficients-racines.
ÏArithmétique des polynômes, acte III : décomposition en produit de facteurs irréductibles sur K: polynômes irré-
ductibles sur K, le théorème de D’Alembert-Gauss, description des irréductibles de R[X] et C[X], décomposition en
produit d’irréductibles sur K=Rou C.
3. Questions de cours
Question de cours 1.
Projections et projecteurs d’un K-ev.
ÏDonner la définition d’un projecteur d’un K-ev E.
ÏOn suppose que E=F⊕G.Donner la définition de
la projection de Esur Fparallélement à G.
ÏProuver que toute projection de Eest un projecteur
de E.
ÏProuver que tout projecteur pde Eest la projection
de Esur Im(p) parallélement à Ker(p).
Question de cours 2.
Caractérisation des sous-groupes de (Z,+) : énoncé et
preuve.
Question de cours 3.
Formule de Leibniz pour les polynômes : énoncé et
preuve.
Question de cours 4.
Prouver que l’ensemble des nombres premiers est in-
fini.
Question de cours 5.
Définition d’une racine de multiplicité md’un poly-
nôme Pnon nul. Caractérisation à l’aide des dérivées
successives de P(sans peuve). Application à la dé-
composition en produit de polynômes irréductibles
du polynôme P=(X+1)7−X7−1 dans R[X] et C[X]
sachant que jest racine multiple de P.
Question de cours 6.
Définition d’une famille de polynômes de degrés éta-
gés. Prouver que toute famille de polynômes de degrés
étagés est libre.
Question de cours 7.
Forumle de Taylor pour les polynômes : énoncé et
preuve.
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Quinzaine no10 – Applications linéaires. Polynômes Lycée J.-B. Say PCSI 2010 - 2011
4. Méthodes à maîtriser
ÏEtudier l’injectivité d’une application linéaire revient à calculer son noyau.
ÏSavoir énoncer et appliquer le théorème du rang.
ÏEn dimension finie, f∈L(E) est un automorphisme si et seulement si f est injectif, si et seulement si f est surjectif.
ÏPenser aux familles de polynômes de degrés étagés : elles permettent de prouver facilement que certaines familles
de polynômes sont des bases de Kn[X].
ÏSavoir calculer des restes et des quotients de polynômes dans la division euclidienne sur K[X].
ÏSavoir caractériser les racines multiples d’un polynôme au moyen de ses dérivées successives.
ÏDans le cas d’une équation (différentielle, fonctionnelle, etc.), on pourra commencer rechercher le degré d’une
éventuelle solution Pnon nulle.
ÏSavoir passer de la décomposition sur Cde P∈R[X] à sa décomposition sur R[X].
5. Prochainement dans nos salles
ÏL’analyse réelle : nombres réels, suites, limites, continuité, dérivation, intégration.
ÏLe retour de l’algèbre linéaire : matrices, dualité, déterminants et systèmes linéaires.
ÏBack to real analysis : développement limités, suites remarquables, courbes planes.
ÏAlgèbre bilinéaire.
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