1. Applications linéaires 2. Polynômes à coefficients dans R ou C 3

Mathématiques
2010 - 2011
Quinzaine no 10 – Applications linéaires. Polynômes
Lycée J.-B. Say
PCSI
1. Applications linéaires
Ï Généralités : définition, exemples divers, noyau et image d’une application linéaire, équations linéaires.
Ï Le théorème du rang et ses applications : théorème du rang, application au cas où dim(E ) = dim(F ) < +∞, caractérisation des automorphismes en dimension finie.
Ï L (E , F ), L (E ) et GL(E ) : l’espace vectoriel L (E , F ), l’algèbre (L (E ), +, ·, ◦) (règles de calcul), le groupe linéaire.
Ï Projecteurs et symétries : projecteurs et projections, symétries.
2. Polynômes à coefficients dans R ou C
Ï L’algèbre K[X ] : définition des polynômes formels, la structure d’algèbre commutative sur K[X ], degré et valuation d’un polynôme, définition de l’indéterminée X , les sev Kn [X ], dimension et base canonique (1, X , . . . , X n ), toute
famille de polynômes de degrés étagés de K[X ] est libre, composition P (Q(X )), polynômes pairs ou impairs.
Ï Polynômes dérivés : définition, polynômes dérivés successifs, dérivations successives de (X − a)n , formulaire (avec
la formule de Leibniz), formule de Taylor.
Ï Arithmétique des polynômes, acte I : la division sur K[X ] : définition, exemples, algorithme de la division euclidienne, exemples de calculs de restes et de quotients, divisibilté d’un polynôme par X − a.
Ï Arithmétique des polynômes, acte II : les racines : multiplicité d’une racine, relations coefficients-racines.
Ï Arithmétique des polynômes, acte III : décomposition en produit de facteurs irréductibles sur K : polynômes irréductibles sur K, le théorème de D’Alembert-Gauss, description des irréductibles de R[X ] et C[X ], décomposition en
produit d’irréductibles sur K = R ou C.
3. Questions de cours
Question de cours 1.
Question de cours 4.
Projections et projecteurs d’un K-ev.
Prouver que l’ensemble des nombres premiers est infini.
Ï Donner la définition d’un projecteur d’un K-ev E .
Ï On suppose que E = F ⊕ G. Donner la définition de
la projection de E sur F parallélement à G.
Ï Prouver que toute projection de E est un projecteur
de E .
Ï Prouver que tout projecteur p de E est la projection
de E sur Im(p) parallélement à Ker(p).
Question de cours 2.
Question de cours 5.
Définition d’une racine de multiplicité m d’un polynôme P non nul. Caractérisation à l’aide des dérivées
successives de P (sans peuve). Application à la décomposition en produit de polynômes irréductibles
du polynôme P = (X + 1)7 − X 7 − 1 dans R[X ] et C[X ]
sachant que j est racine multiple de P .
Question de cours 6.
Caractérisation des sous-groupes de (Z, +) : énoncé et
preuve.
Définition d’une famille de polynômes de degrés étagés. Prouver que toute famille de polynômes de degrés
étagés est libre.
Question de cours 3.
Question de cours 7.
Formule de Leibniz pour les polynômes : énoncé et
preuve.
Forumle de Taylor pour les polynômes : énoncé et
preuve.
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Quinzaine no 10 – Applications linéaires. Polynômes
Lycée J.-B. Say PCSI 2010 - 2011
4. Méthodes à maîtriser
Ï Etudier l’injectivité d’une application linéaire revient à calculer son noyau.
Ï Savoir énoncer et appliquer le théorème du rang.
Ï En dimension finie, f ∈ L (E ) est un automorphisme si et seulement si f est injectif, si et seulement si f est surjectif.
Ï Penser aux familles de polynômes de degrés étagés : elles permettent de prouver facilement que certaines familles
de polynômes sont des bases de Kn [X ].
Ï Savoir calculer des restes et des quotients de polynômes dans la division euclidienne sur K[X ].
Ï Savoir caractériser les racines multiples d’un polynôme au moyen de ses dérivées successives.
Ï Dans le cas d’une équation (différentielle, fonctionnelle, etc.), on pourra commencer rechercher le degré d’une
éventuelle solution P non nulle.
Ï Savoir passer de la décomposition sur C de P ∈ R[X ] à sa décomposition sur R[X ].
5. Prochainement dans nos salles
Ï L’analyse réelle : nombres réels, suites, limites, continuité, dérivation, intégration.
Ï Le retour de l’algèbre linéaire : matrices, dualité, déterminants et systèmes linéaires.
Ï Back to real analysis : développement limités, suites remarquables, courbes planes.
Ï Algèbre bilinéaire.
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