Propriété Une fonction DERIVABLE sur un intervalle I est

CONTINUITE. DERIVATION. FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
I) Continuité et applications
1°) Notion de continuité
Définition 1
Une fonction f définie sur un intervalle ouvert I est dite CONTINUE EN a avec a dans I ssi
lim f ( x ) = f ( a )
x→a
Exemple : f(x) =x2- 3x +2
Nous savons que f admet une limite en 1 et que
lim f(x) = 0
x→ 1
donc
lim f ( x ) = f ( 1 )
x→1
or, f(1) = 0
et f est
continue en 1
Définition 2
On dit que f est continue sur un intervalle ouvert I ssi elle est continue en tout point de cet intervalle
Exemples : Les fonctions polynôme sont continues sur R, les fonctions rationnelles, irrationnelles,
trigonométriques, et la fonction valeur absolue sont continues sur chaque intervalle qui compose leur
ensemble de définition.
Propriété
Une fonction DERIVABLE sur un intervalle I est CONTINUE sur I
Propriété
Soit u et v des fonctions continues sur un intervalle I.
• u + v , u x v et un sont continues sur I
1
u
• ── et ── sont continues sur les intervalles où eles sont définies.
v
v
Exemples : La fonction f : x → x2 + 2x + 3 est continue sur R
x–2
La fonction f : x → ───
est continue sur ]–∞ ; 1 [ et continue sur ]1 ; +∞ [
x –1
1
Exercice d’application : Dans un plan muni d’un repère orthonormal (O ; i , j) tracer la représentation graphique de la
fonction définie sur R par
Si x < -2 alors f(x)= -2x-5
Si x ≥ -2 alors f(x)= x +1
Puis montrer que f est continue sur R.
Résolution de l’exercice
f étant définie par une fonction affine sur l’intervalle ] -∞ ; - 2[ et sur l’intervalle ] – 2 ;+∞ [
f est continue sur
R \ {-2} . De plus lim f( x ) = -1
et lim f ( x ) = -1
avec f( -2 ) = - 1
x → -2
x → -2
x< -2
x> -2
donc lim f ( x ) = f( -2 ) càd f continue en – 2 . On en déduit que f est continue sur R.
x→-2
Contre – exemples
a)La fonction g est définie sur ]-1 ;5] mais n’est pas continue en 2.
b) La fonction h n’est pas continue en 3 car elle
n’est pas définie en 3.
4
6
3
5
2
4
1
3
0
-1
-1
0
1
2
2
3
1
-2
0
-3 -2 -1 0 1 2
-1
-3
c) La fonction partie entière de x notée E (livre p 66)
2
3 4 5 6
7 8 9
Exercice : f est la fonction
1.
2.
définie sur R par
f(x ) = 1 – x
f(x ) = 2x –5
f(x ) = x
si x < 2
si 2≤ x < 3
si x ≥ 3
Tracer la courbe de f . Emettre une conjecture sur la continuité de f
f est – elle continue sur R ?
2°) Propriété des fonctions continues et strictement monotones sur un intervalle
Théorème des valeurs intermédiaires (admis)
Soit une fonction f définie et continue sur un
intervalle I
Et a,b deux réels de I avec a<b.
f(a)
m
y=m
Pour tout réel m compris entre f( a ) et f( b )
a
( c’est-à-dire tel que f( a ) ≤ m ≤f( b )
ou tel que f( b ) ≤ m ≤ f( a ) )
b
f(b)
3 solutions
De f (x ) = m
il existe au moins un réel c dans [a ;b]
tel que f( c ) = m.
3
Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
x0
m
m
x0
Si f est une fonction CONTINUE ET STRICTEMENT MONOTONE sur un intervalle I ouvert, semi- ouvert, borné ou non
alors
f ( I) est un intervalle et
l’équation f( x ) = m où m dans f ( I ) a une UNIQUE SOLUTION x0 dans I
ETUDE ET APPLICATIONS
LES INTERVALLES OUVERTS, SEMI–OUVERTS, BORNES OU NON
Voici des exemples d’intervalles bornés :
[ -1 ; 4] est un intervalle fermé et borné. [ -1 ; 4[ est semi – ouvert et borné tout comme ] -1 ;4]. ]-1 ;4[ est ouvert et borné.
Voici des exemples d’intervalles non bornés ( ils sont au moins semi – ouverts ) .
[-3 ; +∞[ est un intervalle semi-ouvert non borné ( à droite ) ] -3 ; + ∞ [ est ouvert non borné .
] - ∞ ; 4] est un intervalle semi-ouvert non borné ( à gauche) ] - ∞ ; 4 [ est ouvert non borné . et puis R .
Exercices : f est une fonction continue ET MONOTONE déterminer dans chaque cas l’image f( I ) de I puis dire
si l’équation f ( x ) = m admet une unique solution dans I.
x
1
3
2
f( x )
-∞
0
x
-√2
12
f( x )
f ( ]-∞ ;-√2]) = [-4 ;0[
V
F
-∞
x
a) f ( x ) = 0 F
b) f ( x ) = - 2 V
+∞
+∞
f( x )
-4
f ( [1 ;3]) = [-5 ;2]
a) f ( x ) = 0
b) f ( x ) = 3
6
+∞
f( x )
-5
x
-14
f([6 ;12])=[-14 ;+∞[
a) f ( x ) = 0
b) f ( x ) = 5
V
V
0
f®=R+*
a) f ( x ) = 0 F
b) f ( x ) = 3 V
CONSEQUENCES
Conséquence 1 : Résolution d’une équation du type f( x ) = 0
Soit f est une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle [a ;b] avec f(a) x f(b) <0.
Alors on écrit :
f est continue et strictement croissante de l’intervalle [a ; b] à valeurs dans [f( a ) ; f( b )]
qui contient 0 donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires , l’équation f(x)=0 admet
une unique solution x0 dans [a ;b].
Exercice : Réécrire la conséquence ci – dessus avec f décroissante strictement.
4
Soit f est une fonction continue et strictement décroissante sur un intervalle [a ;b] avec f(a) x f(b) <0.
Alors on écrit :
f est continue et strictement décroissante de l’intervalle [a ; b] à valeurs dans [f( b ) ; f( a )]
qui contient 0 donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires , l’équation f(x)=0 admet
une unique solution x0 dans [a ;b].
Exemple : voir p 69 .
REMARQUE TRES IMPORTANTE A PROPOS DE LA CONTINUITE :
Les flèches des tableaux de variations indiquent la CONTINUITE et la STRICTE MONOTONIE de la fonction
sur l’intervalle considéré.
Etude détaillée d’un exemple
Soit f la fonction polynôme définie sur I=[0 ;1] par
f(x)= x3 + x - 1 . Ce polynôme n’admet pas de racines
évidentes dans I , on va donc essayer de trouver la solution de
f(x)= 0 à l’aide d’une autre méthode.
Sur la courbe ci-contre on voit que l’équation f(x)=0 admet
bien une solution dans I.
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
Dans un premier temps on va donc démontrer l’existence de
la solution. Pour cela on étudie les variations de f sur I.
f ’(x)= 3x2 + 1 donc f ’(x) > 0 sur I .
Le tableau de variation est donc
x
0
f ’(x)
xo
1
+
1
f(x)
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
f étant continue et strictement croissante sur
l’intervalle [0 ;1] à valeurs dans l’intervalle [-1 ;1]
qui contient 0 alors d’après le théorème de la
bijection l’équation f(x)=0 admet une unique
solution dans [0 ;1]
0
-1
Maintenant que l’on a démontré l’existence et l’unicité de la solution de l’équation f(x)= 0
on va donné à l’aide de la calculatrice un encadrement de cette solution à 10-2 près. En effet on a :
0 < xo <1
Il existe deux méthodes pour déterminer un encadrement de x0 : le balayage et la
dichotomie.
5
Le balayage
On va diviser l’intervalle I en 10 intervalles de longueur 0.1 , on dit que l’on effectue un balayage avec un pas de 0.1.
On obtiendra alors une valeur approchée de xo à 10-1 près :
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
f(x)
-1
-0.89
-0.79
-0.67
-0.53
-0.37
-0.18
0.04
-
0.31
0.62
1
+
On fait le même travail dans un autre tableau pour trouver l’encadrement de x0 à 10-2 près.
x
0,6
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
0.66
0.67
0.68
f(x)
-0.18
-0.16
-0.14
-0.11
-0.09
-0.07
-0.05
-0.02
-0.005 0.01
-
0.69
0.7
0.04
+
0,68 < x0 < 0,69
Conclusion :
Pratique : Comment rédiger sur la copie
On démontre dans un premier temps l’existence et l’unicité de la solution dans l’intervalle du type
( le plus souvent) [n ; n+1]
puis on utilise sa calculatrice et on écrit : comme f( a ) x f( a’ ) ≈ - …
càd f( a ) x f( a’ ) < 0 alors
a < x0 < a’ .
La dichotomie
Le principe c’est de diviser l’intervalle en deux à chaque fois en cherchant « de quel côté » se trouve x0.
Dans notre exemple on a I = [0 ; 1] .Le centre de I est 0.5
0
0.5
1
Or f(0.5)= -0.375 donc x0∈[0.5 ;1] .
x0
Ensuite on va couper en deux l’intervalle [0.5 ; 1] Son centre est
0
0.5
0.75
0.75. Or f(0.75)=0.17 donc x0∈[0.5 ;0.75]
1
x0
Donc en définitive 0.5 < x0 < 0.75 . Et ainsi de suite : f( (0.5+0.75)/2)= f( 0.625)=-0.13.
D’où 0.625<x0< 0.75. On voulait un encadrement d’ordre 10-2, or f( 0.6875) = 0.12 ce qui donne
0.625 <x0< 0.6875
On trouve finalement
0.6796875 < x0< 0.6875 soit à 10-2 près
0,68 < x0 < 0,69
Remarque : le plus astucieux c’est d’utiliser les deux méthodes.
6
PROGRAMMATION DE LA CALCULATRICE POUR LA DICHOTOMIE
Exercice
7
II)Nombre dérivé
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. a un élément de I. h est un réel quelconque tel que a + h dans I
f est DERIVABLE en a ssi f vérifie l’une des trois conditions équivalentes suivantes
1.
f ( a + h ) – f( a )
lim 
h→0
h
=l
où
l est un réel
2.
f ( x ) – f( a )
lim 
x→a
x– a
=l
où
l est un réel
3.
f( a + h ) = f( a ) + h . l
+ h φ ( h ) où lim φ ( h ) = 0
h→0
Remarque :
Le réel l trouvé ci – dessus est le nombre dérivé de f en a noté f ’ ( a )
Applications :
a)Utilisation pour calculer une limite
sinx
Déterminer la limite en 0 des fonctions f(x)= 
x
cosx - 1
et g(x)= 
x
sinx
sin x – sin 0
lim ——— = lim ——————— = ( sin)’( 0) = cos 0 = 1
x→ 0 x
x→ 0
x–0
cos x – 1
cos x – cos 0
lim ————— = lim ——————— = ( cos)’( 0) = - sin 0 = 0
x→ 0
x
x→ 0
x–0
b) Prouver la dérivabilité d’une fonction en un point
On considère la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par f(x) = x √ x . Montrer que f est dérivable en 0.
f( x ) – f( 0 )
lim —————— = lim √ x = 0 donc f est dérivable en 0 et f ’( 0 ) = 0.
x→ 0
x–0
x→ 0
8
c) Dérivabilité et continuité
Si une fonction est DERIVABLE sur un intervalle I alors elle est CONTINUE sur I .
ATTENTION la réciproque est fausse
soit a dans I. Si f dérivable en a alors f( a + h ) = f( a ) + h . f ’( a ) + h φ ( h )
où lim φ ( h ) = 0
Démonstration :
h→0
donc lim f( a + h ) = f( a ) càd lim f (x ) = f( a ) et f est continue en a .
h→0
x →0
Contre – ex : Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = |x|
f est continue en 0 mais n’est pas dérivable en 0
9
III) Fonction dérivée
Définition :
Une fonction f dérivable en tout point d’un intervalle I est dérivable sur I.On note f ’ la fonction dérivée de f sur I.
1°) Formulaires des fonctions usuelles
f désigne une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .
f
Df
f’
Df’
a
R
0
x
1
ax + b
a
x2
2x
ax2
2ax
x3
3x2
ax3
3ax2
xn n∈N*
nxn-1
1
-
x2
2
-
x3
n
-
xn+1
1

2√x
R
1

x
1

x2
1
 n∈N*
xn
R*
√x
R+
cosx
R
-sinx
R
sinx
R
cosx
R
tanx
R\{ (2k+1)π/2}
1 + tan2x
R\{ (2k+1)π/2}
R*
R*
R*
R*
R*
R+*
ex
e
x
R
R
R*+
1
—
x
ln x
10
R*+
2°) Opérations sur les fonctions dérivables :rappel des formules usuelles complément sur la dérivation.
Dans ce paragraphe les fonctions u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
OPERATIONS
Somme
(U + V)’ = U’ + V’
EXEMPLES : Dans chaque cas calculer la dérivée de la fonction
donnée sur I.
1
Soit f la fonction définie sur [1 ;18] par f( x ) = x3 + 
x
1
f ’(x)= 3x2 - 
x2
Soit f la fonction définie sur R par f( x ) = 5 x6
Produit par un réel
f ’(x)=30 x5
(aU)’= aU’
Soit f la fonction définie sur R par f( x ) = (x6 + x ) ( 2x5 + 1 )
Produit
(UV)’= U’V + UV’
Méthode : U( x ) = x6 + x
U’( x ) = 6x5 + 1
V( x ) = 2x5 + 1
U’( x ) = 10x4
f ’( x )= (6x5 + 1)( 2x5 + 1) + (x6 + x)( 10x4 )
f ’( x )= 22 x10 +18 x5 +1
Soit f la fonction définie sur R par f( x ) = (x4 + x3 - 5 )2
Carré
(U2)’ = 2U’.U
U( x ) = x4 + x3 - 5
U’( x ) = 4x3 + 3 x2
f ’( x )= 2(4x3 + 3 x2)( x4 + x3 - 5)
f ’( x )= 2 x2 (4x + 3)( x4 + x3 - 5)
Soit f la fonction définie sur R par f( x ) = (x2 + 3x + 4 )3
U( x ) = x2 + 3x + 4
U’( x ) = 2x + 3
Puissance entière
(Un)’ = n U’.Un-1
f ’( x )= 3 (2x + 3)( x2 + 3x + 4 )2
Inverse (U ≠ 0 sur I)
1
U’
(  )’ = - 
U
U2
1
Soit f la fonction définie sur R par f( x ) = 
x2 + 1
U( x ) = x2 + 1
U’( x ) = 2x
- 2x
f ’( x )= 
(x2 + 1)2
(U ≠ 0 sur I)
1
nU’
1
Soit f la fonction définie sur R par f( x ) = 
(x4 + x2)5
11
(  )’ = - 
Un
Un–1
U( x ) = x4 + x2
U’( x ) =
- 2x
f ’( x )= 
(x2 + 1)2
Quotient(V≠ 0 sur I)
U
(  )’ =
V
U’V – UV’

V2
3x + 1
Soit f la fonction définie sur R par f( x ) = 
x2 + 2
Méthode : U( x ) = 3x + 1
U’( x ) = 3
V( x ) = x2 + 2
V’( x ) = 2x
(3x2 + 6) - (3x + 1 )( 2x )
f ’( x )= —————————————
(x2 + 2 )2
-3x2 – 2x + 6
f ’( x) = ——
( x2 + 2 ) 2
Racine carrée(U>0 sur I)
Soit f la fonction définie sur [3 ; 10] par f(x)=
U
U’
= 
2√ U
COMPOSEE
Soit g une fonction dérivable sur un
intervalle J. Soit u une fonction
dérivable sur un intervalle I, telle que
u(I)⊂J.Alors la fonction f définie par
f(x) = g(u(x)) est dérivable sur I et
pour tout x de I,
x2 - x - 2
U( x ) = x2 – x – 2
U’( x ) = 2x – 1
2x – 1
f ’( x )= ———————
2 √( x2 - x - 2 )
Soit f la fonction définie sur R par f( x ) = cos (x2 + 3x + 4 )
f '( x ) = -( 2 x + 3) sin (x2 + 3x + 4 )
Remarque :
f ’(x) = u’( x ) x g’(u(x))
4°) Dérivées successives
Définition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Sa fonction dérivée f ’ est appelée fonction dérivée première ou d’ordre 1 de f
Lorsque f ’ est dérivable sur I, sa fonction dérivée est notée f ’’ et est appelée dérivée seconde de f. Par itération, pour tout
entier naturel n ≥ 2, on définit la dérivée n ième de f comme étant la dérivée de la fonction dérivée d’ordre n – 1: f(n) = ( f(n-1))’.
Exemple : f(x)= sin2 x avec x∈ R. Calculer la dérivée seconde de f.
f ’( x )= 2 cos 2x
et f ’’( x )= - 4 sin2x = - 4 f ( x )
IV)Interprétation graphique du nombre dérivé : tangente à une courbe .
1°) Tangente à une courbe et nombre dérivé
a)Equation d’une tangente
12
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un élément de I.C est la courbe de f dans un repère (O ; i , j) .
Si f ’ est la fonction dérivée de f sur I alors
le nombre dérivé de f en a est f ’(a) et
Le coefficient directeur de la tangente à C
au point d’abscisse a est aussi
f ’( a )
f ’( a )
A
f( a )
1
1
a
Conséquence
L’équation réduite de la tangente à C au point A d’abscisse a c’est - à - dire au point de
coordonnées (a ; f ( a )) est
y=f’(a).(x-a) + f(a)
Exercices
13
Exemple :
1°) Représenter graphiquement la fonction f définie sur [-4 ; 2]
par f(x)= x2 + 2x - 4 .On note C la courbe obtenue.
2°) Calculer la dérivée f’ de f.
3°) Montrer qu’une équation de la tangente T à C au point
d’abscisse 1 est y = 4x - 5 .
4°) Tracer T .
1°)
2°) f ’(x)= 2x + 2
3°) Equation de la tangente T au point d’abscisse 1 :
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
-2
-1
1
2
3
4
5
-3
-4
-5
-6
y = f ’(1)(x - 1) + f(1)
soit y = 4 (x - 1) - 1 Soit encore y = 4x - 5
Exercice 1
Soit la fonction f définie sur [-2 ; 4] par
f(x)= x3 /3- 1.5.x2+3x. On note C sa courbe ci-contre .
1°) Calculer la dérivée f’ de f.
2°) Déterminer une équation de la tangente T à C au point
d’abscisse 0.
3°) Tracer T .
4°) Déterminer une équation de la tangente à C aux points
de la courbe où elle est parallèle à la droite d’équation
y=x+1.
10
5
0
-2
-1
1
-5
2
3
4
-10
Corrigé : 1°) f ’( x ) = x2 – 3x + 3 2° ) y = f ’(0) x + f( 0 ) soit y = 3x
4°) On cherche les points dont l’abscisse vérifie l’équation f ’( x ) = 1
c’est – à – dire x2 – 3x + 2 = 0
1 est solution évidente l’autre solution est 2 ; les points cherchés sont les points A( 1, 11/6) et B( 2 ; 8/3)
Equation réduite de la tangente TA : y = x + 5/6 de la tangente TB : y = x + 2/3
Exercice 2
Soit f la fonction définie sur [-2 ; ¼] par f ( x ) = x3 - 3x
dont la courbe C est donnée ci-contre.
1°) Tracer la tangente à C au point d’abscisse -1.
Quel est sa particularité ?
2°) Donner une équation de la tangente T à C au point O.
puis étudier algébriquement la position relative de C et T.
3
2
1
0
-2
-1,5
-1
-0,5
0
-1
-2
-3
Corrigé : 1°) f’( - 1 ) = 0 la tangente est donc HORIZONTALE au point d’abscisse -1 .
2°) y = -3x On doit donc étudier le signe de f( x ) - ( - 3x) = x3 On en déduit que C est au dessus de T si x>0 et en
dessous si x< 0.
Remarques :
14
Une équation de la tangente au point d’abscisse 0, s’écrit y = f ’(0) x + f(0)
La tangente à la courbe en un point d’abscisse a est horizontale ssi f ’(a) = 0
Exercice 3
Soit f la fonction définie sur [-2 ;2]
dont la courbe C est donnée ci-contre.
50
45
40
1°) Déterminer le nombre dérivé de f en 2.
2°) Donner une équation de la tangente à C au point
d’abscisse 2.
35
30
25
20
15
10
Corrigé : 1°) f ’ ( 2 ) = + 25/+0.5 = 50
Car f ’( 2 ) est le COEFFICIENT
DIRECTEUR DE LA TANGENTE AU
POINT D’ABSCISSE 2.
2°) y = 50 x - 8 5
5
0
-1
-5
0
1
2
-10
-15
V) Les fonctions trigonométriques
1°) cosinus et sinus d’un nombre réel
Le radian
On appelle par convention sens positif ou direct le sens inverse des aiguille d’une montre.
→ →
On travaille dans le repère ( O, OI, OJ)
Orientation du plan
On dit que le plan est orienté lorsque tous les cercles du plan sont orientés dans le même sens .
Dans la suite nous supposerons toujours que le plan est orienté dans le sens positif
Définition
Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O et de rayon 1 orienté positivement.
La mesure d’un angle peut – être en degrés mais aussi en radians.
15
3
On a la correspondance suivante : π radians correspondent à 180 degrés.
On en déduit le tableau suivant
Radians
π
π


6
4
π

3
π

2
2π

3
3π

4
5π

6
Degrés
Longueur d’un arc orienté sur le cercle trigonométrique
On considère le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
M
La longueur de
L’arc AM est
Egal à l’angle au
α rad
LAM = α
centre
α
O
A
Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique
Soit x un réel positif et soit M le point d’abscisse x sur l’axe
des réels.
Imaginons que l’on enroule la droite des réels autour du
cercle trigonométrique comme le montre le schéma ci contre
alors
x en longueur sur la droite des réels va devenir x en
longueur parcouru sur le cercle.
x
x
M
Or x en longueur sur le cercle correspond à l’angle x radian.
La même chose peut –être faite pour les réels négatifs.
x
A
On en déduit :
A tout point de la droite des réels d’abscisse x
on peut faire correspondre
un point M du cercle trigonométrique
tel que l’angle au centre AOM soit égal à x radian.
RAPPEL
C
16
x
BC
Sin x = ───
AC
Donc si AC = 1
cosx = AB et sin x = BC
On en déduit que pour tout réel x si M est un point du cercle trigonométrique alors
x M = cos x
y M = sin x
M
sin x
x
O
cos x
Propriétés
Pour tout réel x on a les propriétés fondamentales suivantes
-1 ≤ cosx ≤ 1 et –1 ≤ sinx≤ 1
cos2x + sin2x = 1
VOIR LE CERCLE TRIGONOMETRIQUE ET LES VALEURS REMARQUABLES
2°)Fonctions cosinus et sinus
Fonction cosinus
PROPRIETES
•
cos(x + 2π) = cosx
17
La fonction cosinus est PERIODIQUE de période 2π
On peut réduire l’intervalle d’étude à un intervalle d’amplitude 2π.On choisit [-π ;π] .
•
cos(-x) = cosx
La fonction cosinus est PAIRE.
Il suffit donc d’ étudier la fonction cosinus sur [0 ; ;π].
π/2
SIGNE
sur [0 ; π]
cosx ≥ 0 si x ∈ [ 0 ; π/2]
Cos x –
π
cosx ≤ 0 si x ∈ [π/2 ; π]
0
Cos x +
TABLEAU
DE
VARIATION
x
π
0
1
cosx
-1
COURBE
Pour tracer la courbe de la fonction cosinus : On la trace sur [0 ; π] puis on utilise la symétrie d’axe (Oy) (parité) et la
translation de vecteur 2πi .La courbe s’appelle une sinusoïde.
1
0,5
0
-0,5
-1
FONCTIONS
période : 2π/a
cos( a x + b)
(a≠0)
LIMITES
cos x – 1
lim ───────── = 0
x→0
x
Fonction sinus
PROPRIETES
•
sin(x + 2π) =
sinx
La fonction sinus est PERIODIQUE de période 2π .
18
On peut réduire l’intervalle d’étude à un intervalle d’amplitude 2π.On choisit [-π ;π] .
•
sin(-x) =
- sinx
La fonction sinus est IMPAIRE
Il suffit donc d’ étudier la fonction sinus sur [0 ; ;π].
SIGNE
sur [0 ; π]
Sin x +
0
π
TABLEAU
DE VARIATION
x
sinx ≥ 0 si x ∈ [ 0 ; π]
0
π/2
π
1
sinx
0
COURBE
0
Pour tracer la courbe de la fonction sinus :on la trace sur [0 ; π] puis on utilise la symétrie de centre O (parité) et la
translation de vecteur 2 πi.La courbe s’appelle une sinusoïde.
1
0,5
0
-0,5
-1
FONCTIONS
sin ( a x + b) : période
LIMITES
sin x
lim ───────── = 1
x→0
x
: 2π/a
(a≠0)
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