Suites et séries

Pr´epa-agreg 2007-2008
Suites et s´eries
I Questions de cours
1Soit (un) une suite de nombres r´eels telle que limn→∞(un+1 −un) = 0. La suite
(un) est-elle convergente?
2´ Etudier la suite (un) d´efinie par u0≥ −1 et la r´ecurrence un+1 =√1 + un.
3´ Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme de Ces`aro.
4´ Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme des s´eries altern´ees.
5Soient (an) et (bn) deux suites de nombres r´eels telles que an∼bnquand n→ ∞.
Que peut-on dire des s´eries Panet Pbn?
6Montrer que la s´erie PAn
n!converge dans Md(C).
7L’exponentielle complexe ´etant d´efinie par ez=P∞
0
zk
k!, d´emontrer la formule
ea+b=eaeb.
8Pour n∈N∗, on pose un= 2−n
n
X
k=1
(−1)k
k!. Montrer que la s´erie Punest conver-
gente et calculer sa somme.
9Quel est le rayon de convergence de la s´erie enti`ere Pnn
n!zn?
10 Donner un exemple d’une suite de fonctions continues qui converge simplement
vers 0 sur [0; 1] mais pas uniform´ement.
11 Donner un exemple d’une suite de fonctions de classe C1sur [0; 1] qui converge
uniform´ement vers une fonction non d´erivable en 0.
12 Montrer que C1([0; 1]) est complet pour la norme k.kC1d´efinie par kfkC1=
kfk∞+kf0k∞. Est-il complet pour la norme k.k∞?
II Exercices
Exercice 1 Soit (an)n∈Nune suite de nombres positifs, et soit (un) la suite d´efinie
par
un=ra0+qa1+··· +√an.
1

2
1´ Etudier le cas o`u la suite (an) est constante, puis celui o`u an=λ2n+1 pour une
certaine constante λ.
2Montrer que la suite (un) est convergente si et seulement si supna1/2n
n<∞.
Exercice 2 Soit f:R→Cune fonction d´erivable en 0, avec f(0) = 0. D´eterminer
lim
n→∞
n
X
k=0
fk
n2.
Exercice 3 Soit c > 0 et soit f: [0; c]→[0; c] une fonction continue. On suppose
qu’au voisinage de 0, on a
f(x) = x−axα+o(xα),
o`u a > 0 et α > 1.
1Montrer que si x0est assez petit, alors la suite (xn) d´efinie par xn+1 =f(xn)
converge vers 0.
2On se place dans le cas du 1. D´eterminer un r´eel βtel que xβ
n+1 −xβ
nait une limite
non nulle, et en d´eduire un ´equivalent simple de xn.
3Traiter les cas f(x) = sin xet f(x) = Log(1 + x).
Exercice 4 Soit (K, d) un espace m´etrique compact, et soit (fn) une suite de fonc-
tions continues, fn:K→R. Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.
(1) La suite (fn) est uniform´ement convergente.
(2) Pour toute suite convergente (xn)⊂K, la suite (fn(xn)) est convergente.
Exercice 5 Soit (un) une suite croissante de r´eels positifs tendant vers +∞et
v´erifiant limn→∞(un+1 −un) = 0. Montrer que la suite (eiun) est dense dans le
cercle unit´e T.
Exercice 6 Soit Jun intervalle de Ret soit f:J→June fonction de classe C1.
On suppose que fadmet un point fixe α. Soit ´egalement u0∈I, et soit (un) la suite
d´efinie par un+1 =f(un).
1On suppose qu’on a |f0(α)|<1. Montrer que si u0est suffisament proche de α,
alors la suite (un) converge vers αavec |un−u0| ≤ C kn, o`u Cest une constante et
k < 1 (convergence g´eom´etrique).
2On suppose qu’on a |f0(α)|>1. Montrer que la suite (un) ne peut converger vers
αque si elle est stationnaire.
3On suppose que fest de classe C2, qu’on a f0(α) = 0, et que u0est suffisament
proche de αau sens de 1. Montrer qu’on a une majoration du type |un−α| ≤ C k2n,
o`u Cest une constante et k < 1 (convergence quadratique).

3
Exercice 7 (m´ethode de Newton)
Soit Iun intervalle de Ret soit g:I→Rune fonction de classe C2. On suppose
que gposs`ede un unique z´ero α∈I, et qu’on a g0(α)6= 0.
1Montrer qu’il existe un intervalle ferm´e (non trivial) J⊂Icontenant α, tel que
f(x) = x−g(x)
g0(x)
est bien d´efini sur J, l’intervalle J´etant de plus stable par f.
2Soit u0∈J, et soit (un) la suite d´efinie par un+1 =f(un).
aInterpr´eter g´eom´etriquement la d´efinition de un+1.
bMontrer que si u0est suffisament proche de α, alors la suite (un) converge vers
α, et estimer la vitesse de convergence.
3´ Etudier le cas o`u g(x) = x2−2 et I= [√2; ∞[.
Exercice 8 Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions de classe C∞sur [0; 1]. On suppose
que pour tout k∈N, on a supnkf(k)
nk∞<∞. Montrer que (fn) admet une sous-suite
(gn) qui converge uniform´ement vers une fonction f∈ C∞([0; 1]), et dont toutes les
d´eriv´ees convergent uniform´ement vers les d´eriv´ees correspondantes de f.
Exercice 9 D´eterminer les rayons de convergence des s´eries enti`eres Pensin nznet
P(1 −1
n)n2zn.
Exercice 10 D´eterminer la nature des s´eries P(−1)n
(−1)n+nα(α > 0) et Psin √1 + n2π2.
Exercice 11. Montrer que pour tout n∈N∗, on peut ´ecrire
n!e=pn+1
n+ 1 +1 (n+ 1)(n+ 2) +vn,
o`u pnest un entier de mˆeme parit´e que n+ 1 et vn=O(1
n2). En d´eduire la nature
de la s´erie Psin(n!πe).
Exercice 12 Soit (un) une suite d´ecroissante de nombres positifs. Montrer que si la
s´erie Punest convergente, alors un=o(1/n).
Exercice 13 Pour x∈]−1; 1[, calculer ∞
X
0
x2n
1−x2n+1 .
Exercice 14 (crit`eres d’Abel)
Soit (un) une suite de fonctions d´efinies sur un mˆeme ensemble X. Dans chacun des
deux cas suivants, montrer que la s´erie de Pun(x) converge uniform´ement sur X.

4
aun(x) est de la forme an(x)bn, o`u les sommes partielles de la s´erie Pansont
uniform´ement born´ees sur X,bntend vers 0 et la s´erie P|bn+1 −bn|est absolument
convergente.
bun(x) est de la forme anbn(x), o`u la s´erie Panconverge et il existe une constante
Ctelle que |b0(x)|+P∞
0|bn+1(x)−bn(x)| ≤ Cpour tout x∈X.
Exercice 15 On note Log la d´etermination principale du logarithme dans C\R−:
si z=reiθ avec θ∈]−π;π[, alors Log(z) = ln(r) + iθ. On rappelle que la fonction
Log est holomorphe dans C\R−, avec Log0(z)=1/z.
1Quel est le d´eveloppement en s´erie enti`ere de Log(1 −z) dans le disque unit´e
D:= {|z|<1}?
2a Montrer que la s´erie Pzn
nconverge uniform´ement sur tout compact de D\{1}.
2b En d´eduire que pour tout point ζ∈T\{1}, on a
∞
X
n=1
ζn
n=−Log(1 −ζ).
3Pour x∈]0 ; 2π[, ´etablir les formules
∞
X
n=1
cos (nx)
n=−Log 2 sin x 2,
∞
X
n=1
sin (nx)
n=π−x 2·
Exercice 16 (th´eor`eme d’Abel)
Soit S=Pcnznune s´erie enti`ere de rayon de convergence R∈]0 ; +∞[. On suppose
que la s´erie Pcnζnconverge pour un certain point ζ∈∂D(0, R).
1Montrer que la s´erie Sconverge uniform´ement dans tout domaine du type
∆(ζ, C) = {z∈D(0, R); |z−ζ| ≤ C(R− |z|)},
o`u C < ∞.
2On note fla somme de la s´erie Sdans le disque D(0, R). Montrer que f(rζ) tend
vers P∞
0cnζnquand rtend vers 1−.
Exercice 17 La s´erie Xsin n
nest-elle absolument convergente?
Exercice 18 Dans tout l’exercice, (an) est une suite d´ecroissante de nombres positifs
tendant vers 0.

5
1Montrer que la s´erie Pansin(nt) converge simplement sur R, et uniform´ement sur
tout intervalle [α; 2π−α], α > 0.
2Pour t∈R, on pose Rn(t) = Pk>n aksin(kt).
aMontrer qu’on a |Rn(t)| ≤ 2an+1
sin(t/2) pour tout t∈]0; π] et pour tout n.
bMontrer que si t∈]0; π] et n, p ∈N, alors |Rn(t)| ≤ tp sup
k≥n
kak+2πan+p
t.
3Montrer que la s´erie Pansin(nt) converge uniform´ement sur Rsi et seulement si
an=o(1
n).
Exercice 19 (convergence d’un produit infini)
Soit (an) une suite de nombres complexes, an6=−1. On supose que la s´erie Panest
absolument convergente. Montrer que Qn
k=0(1+ak) admet une limite quand n→ ∞,
et qu’on a Q∞
0(1 + an)6= 0. On pourra commencer par observer que 1 + an∈C\R−
pour nassez grand.
Exercice 20 (comparaison s´erie-int´egrale 1)
ASoit a∈N, et soit f: [a;∞[→Rune fonction positive d´ecroissante.
1Montrer que Pn
af(k)−Rn
af(t)dt admet une limite l∈R+. En d´eduire que la
s´erie Pf(n) est convergente si et seulement si R∞
af(t)dt < ∞.
2Montrer que si la s´erie Pf(n) est divergente, alors Sn:= Pn
af(k) est ´equivalent
`a Rn
af(t)dt quand n→ ∞. Montrer que si Pf(n) est convergente et si f(X) =
oR∞
Xf(t)dtquand X→ ∞, alors Rn:= Pk>n f(k) est ´equivalent `a R∞ nf(t)dt.
BD´eterminer un ´equivalent des restes ou des sommes partielles des s´eries Pn≥1
1
nα
(α > 0) et Pn≥2
1
nLog(n)β(β > 0).
Exercice 21 (comparaison s´erie-int´egrale 2)
ASoit a∈N, et soit f: [a;∞[→Cune fonction de classe C1.
1Montrer que pour tout entier n > a, on a
n
X
k=a+1
f(k) = Zn
a
f(t)dt +Zn
a{t}f0(t)dt ,
o`u {t}est la partie d´ecimale de t, i.e. {t}=t−E(t).
2Montrer que si R∞
a|f0(t)|dt < ∞, alors la s´erie Pf(n) est de mˆeme nature que
l’int´egrale R∞
af(t)dt.
BD´eterminer la nature des s´eries Pcos(Logn)
n,Psin √n net P1
n1+iθ (θ∈R).