Prépa-agreg 2007-2008 Suites et séries I Questions de cours 1 Soit (un ) une suite de nombres réels telle que limn→∞ (un+1 − un ) = 0. La suite (un ) est-elle convergente? √ 2 Étudier la suite (un ) définie par u0 ≥ −1 et la récurrence un+1 = 1 + un . 3 Énoncer et démontrer le théorème de Cesàro. 4 Énoncer et démontrer le théorème des séries alternées. 5 Soient (an ) et (bn ) deux suites réels telles que an ∼ bn quand n → ∞. P de nombres P Que peut-on dire des séries an et bn ? P An converge dans Md (C). 6 Montrer que la série n! P∞ zk 7 L’exponentielle complexe étant définie par ez = 0 k! , démontrer la formule a+b a b e =e e. n X P (−1)k . Montrer que la série un est conver8 Pour n ∈ N∗ , on pose un = 2−n k! k=1 gente et calculer sa somme. P nn n 9 Quel est le rayon de convergence de la série entière z ? n! 10 Donner un exemple d’une suite de fonctions continues qui converge simplement vers 0 sur [0; 1] mais pas uniformément. 11 Donner un exemple d’une suite de fonctions de classe C 1 sur [0; 1] qui converge uniformément vers une fonction non dérivable en 0. 12 Montrer que C 1 ([0; 1]) est complet pour la norme k . kC 1 définie par kf kC 1 = kf k∞ + kf 0 k∞ . Est-il complet pour la norme k . k∞ ? II Exercices Exercice 1 Soit (an )n∈N une suite de nombres positifs, et soit (un ) la suite définie par r q √ u n = a0 + a1 + · · · + an . 1 2 n+1 1 Étudier le cas où la suite (an ) est constante, puis celui où an = λ2 pour une certaine constante λ. 1/2n 2 Montrer que la suite (un ) est convergente si et seulement si supn an < ∞. Exercice 2 Soit f : R → C une fonction dérivable en 0, avec f (0) = 0. Déterminer n X k lim f . 2 n→∞ n k=0 Exercice 3 Soit c > 0 et soit f : [0; c] → [0; c] une fonction continue. On suppose qu’au voisinage de 0, on a f (x) = x − axα + o(xα ) , où a > 0 et α > 1. 1 Montrer que si x0 est assez petit, alors la suite (xn ) définie par xn+1 = f (xn ) converge vers 0. 2 On se place dans le cas du 1. Déterminer un réel β tel que xβn+1 − xβn ait une limite non nulle, et en déduire un équivalent simple de xn . 3 Traiter les cas f (x) = sin x et f (x) = Log(1 + x). Exercice 4 Soit (K, d) un espace métrique compact, et soit (fn ) une suite de fonctions continues, fn : K → R. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes. (1) La suite (fn ) est uniformément convergente. (2) Pour toute suite convergente (xn ) ⊂ K, la suite (fn (xn )) est convergente. Exercice 5 Soit (un ) une suite croissante de réels positifs tendant vers +∞ et vérifiant limn→∞ (un+1 − un ) = 0. Montrer que la suite (eiun ) est dense dans le cercle unité T. Exercice 6 Soit J un intervalle de R et soit f : J → J une fonction de classe C 1 . On suppose que f admet un point fixe α. Soit également u0 ∈ I, et soit (un ) la suite définie par un+1 = f (un ). 1 On suppose qu’on a |f 0 (α)| < 1. Montrer que si u0 est suffisament proche de α, alors la suite (un ) converge vers α avec |un − u0 | ≤ C k n , où C est une constante et k < 1 (convergence géométrique). 2 On suppose qu’on a |f 0 (α)| > 1. Montrer que la suite (un ) ne peut converger vers α que si elle est stationnaire. 3 On suppose que f est de classe C 2 , qu’on a f 0 (α) = 0, et que u0 est suffisament n proche de α au sens de 1. Montrer qu’on a une majoration du type |un − α| ≤ C k 2 , où C est une constante et k < 1 (convergence quadratique). 3 Exercice 7 (méthode de Newton) Soit I un intervalle de R et soit g : I → R une fonction de classe C 2 . On suppose que g possède un unique zéro α ∈ I, et qu’on a g 0 (α) 6= 0. 1 Montrer qu’il existe un intervalle fermé (non trivial) J ⊂ I contenant α, tel que g(x) g 0 (x) est bien défini sur J, l’intervalle J étant de plus stable par f . 2 Soit u0 ∈ J, et soit (un ) la suite définie par un+1 = f (un ). a Interpréter géométriquement la définition de un+1 . b Montrer que si u0 est suffisament proche de α, alors la suite (un ) converge vers α, et estimer la vitesse de convergence. √ 3 Étudier le cas où g(x) = x2 − 2 et I = [ 2; ∞[. f (x) = x − Exercice 8 Soit (fn )n∈N une suite de fonctions de classe C ∞ sur [0; 1]. On suppose (k) que pour tout k ∈ N, on a supn kfn k∞ < ∞. Montrer que (fn ) admet une sous-suite (gn ) qui converge uniformément vers une fonction f ∈ C ∞ ([0; 1]), et dont toutes les dérivées convergent uniformément vers les dérivées correspondantes de f . Exercice 9 Déterminer les rayons de convergence des séries entières P 2 (1 − n1 )n z n . Exercice 10 Déterminer la nature des séries P (−1)n (−1)n +nα (α > 0) et P P en sin n z n et √ sin 1 + n2 π 2 . Exercice 11. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , on peut écrire 1 1 n! e = pn + + + vn , n + 1 (n + 1)(n + 2) 1 où pn est un Pentier de même parité que n + 1 et vn = O( n2 ). En déduire la nature de la série sin(n!πe). Exercice P 12 Soit (un ) une suite décroissante de nombres positifs. Montrer que si la série un est convergente, alors un = o(1/n). Exercice 13 Pour x ∈ ] − 1; 1[, calculer ∞ X 0 n x2 . 1 − x2n+1 Exercice 14 (critères d’Abel) Soit (un ) une suite de fonctions définies surPun même ensemble X. Dans chacun des deux cas suivants, montrer que la série de un (x) converge uniformément sur X. 4 P a un (x) est de la forme an (x)bn , où les sommes partielles de la série an sont P uniformément bornées sur X, bn tend vers 0 et la série |bn+1 − bn | est absolument convergente. P b un (x) est de la forme a b (x), où la série an converge et il existe une constante n n P∞ C telle que |b0 (x)| + 0 |bn+1 (x) − bn (x)| ≤ C pour tout x ∈ X. Exercice 15 On note Log la détermination principale du logarithme dans C \ R− : si z = reiθ avec θ ∈ ] − π; π[, alors Log(z) = ln(r) + iθ. On rappelle que la fonction Log est holomorphe dans C \ R− , avec Log0 (z) = 1/z. 1 Quel est le développement en série entière de Log(1 − z) dans le disque unité D := {|z| < 1}? P zn 2a Montrer que la série converge uniformément sur tout compact de D\{1}. n 2b En déduire que pour tout point ζ ∈ T\{1}, on a ∞ X ζn n=1 n = −Log(1 − ζ) . 3 Pour x ∈ ]0 ; 2π[, établir les formules ∞ X cos (nx) n n=1 x = −Log 2 sin , 2 ∞ X sin (nx) n=1 n = π−x · 2 Exercice 16 (théorème d’Abel) P Soit S = P cn z n une série entière de rayon de convergence R ∈ ]0 ; +∞[. On suppose que la série cn ζ n converge pour un certain point ζ ∈ ∂D(0, R). 1 Montrer que la série S converge uniformément dans tout domaine du type ∆(ζ, C) = {z ∈ D(0, R); |z − ζ| ≤ C (R − |z|)}, où C < ∞. 2 OnP note f la somme de la série S dans le disque D(0, R). Montrer que f (rζ) tend n − vers ∞ 0 cn ζ quand r tend vers 1 . Exercice 17 La série X sin n n est-elle absolument convergente? Exercice 18 Dans tout l’exercice, (an ) est une suite décroissante de nombres positifs tendant vers 0. 5 P 1 Montrer que la série an sin(nt) converge simplement sur R, et uniformément sur tout intervalle [α; 2π − α], α > 0. P 2 Pour t ∈ R, on pose Rn (t) = k>n ak sin(kt). 2an+1 a Montrer qu’on a |Rn (t)| ≤ pour tout t ∈ ]0; π] et pour tout n. sin(t/2) 2πan+p b Montrer que si t ∈ ]0; π] et n, p ∈ N, alors |Rn (t)| ≤ tp sup kak + . t k≥n P 3 Montrer que la série an sin(nt) converge uniformément sur R si et seulement si an = o( n1 ). Exercice 19 (convergence d’un produit infini) P Soit (an ) une suite de nombres complexes, a = 6 −1. On supose que la série an est n Q absolumentQconvergente. Montrer que nk=0 (1 + ak ) admet une limite quand n → ∞, − et qu’on a ∞ 0 (1 + an ) 6= 0. On pourra commencer par observer que 1 + an ∈ C \ R pour n assez grand. Exercice 20 (comparaison série-intégrale 1) A Soit a ∈ N, etPsoit f : [a;R∞[→ R une fonction positive décroissante. n 1 Montrer que na f (k) − a f (t) dt admet uneR limite l ∈ R+ . En déduire que la P ∞ série f (n) est convergente P si et seulement si a f (t) dt < ∞. Pn 2 RMontrer que si la série f (n) est divergente, alors S := n a f (k) est équivalent P n n → ∞. Montrer que si f (n) est convergente et à Ra f (t) dt quand R ∞si f (X) = P ∞ o X f (t) dt quand X → ∞, alors Rn := k>n f (k) est équivalent à n f (t) dt. P B Déterminer un équivalent des restes ou des sommes partielles des séries n≥1 n1α P 1 (α > 0) et n≥2 nLog(n) β (β > 0). Exercice 21 (comparaison série-intégrale 2) A Soit a ∈ N, et soit f : [a; ∞[→ C une fonction de classe C 1 . 1 Montrer que pour tout entier n > a, on a Z n Z n n X f (k) = f (t) dt + {t}f 0 (t) dt , k=a+1 a a où {t} est la partieR décimale de t, i.e. {t} = t − E(t). P ∞ 2 Montrer Rque si a |f 0 (t)| dt < ∞, alors la série f (n) est de même nature que ∞ l’intégrale a f (t) dt. P cos(Logn) P sin √n P 1 , et (θ ∈ R). B Déterminer la nature des séries n n n1+iθ 6 Exercice 22 Déterminer des équivalents de quand n → ∞. Pn 0 k α (α ≥ 0) et P k>n α e−k (α > 0) n X n2 Logn n2 nLogn Exercice 23 Montrer qu’on a kLogk = − + + O(Logn) quand 2 4 2 k=1 n → ∞. Exercice 24 (série harmonique) Le but de l’exercice est d’obtenir un développement asymptotique de n X 1 Hn = . k k=1 1 Montrer que Hn − Log(n) admet une limite γ ∈ R+ . 2 On pose un = Hn − Log(n) − γ. Déterminer un équivalent simple de un − un−1 , et en déduire un équivalent de un . 1 1 1 − +o 3 Montrer qu’on a Hn = Log(n) + γ + . 2 2n 12n n2 Exercice 25 Soit (un ) une suite de nombres strictement positifs. P 0 Rappeler la règle classique portant sur uun+1 permettant de décider si la série un n est convergente. = 1 − naα + o( n1α ), où a > 0 et α > 0, α 6= 1. Déterminer 1 On suppose qu’on a uun+1 P n la nature de la série un . P a = 1 − 2 On suppose qu’on a uun+1 + α pour tout n ∈ N, où la série αn est n n n P absolument convergente et a > 0, a 6= 1. Déterminer la nature de un . Exercice 26 Soit (an ) une suite de nombres complexes une limite l ∈ C. Padmettant an n 1 Quel est le rayon de convergence la série entière z ? n! P an de n 2 Déterminer limx→+∞ e−x ∞ x . 0 n! P −n Exercice 27 Pour x ∈ R, on pose f (x) = ∞ cos(n2 x). Montrer que f est de 0 e classe C ∞ et que le rayon de convergence de sa série de Taylor en 0 est nul. Exercice 28 Soit f : R → R une fonction développable en série entière au voisinage de 0, avec f (0) 6= 0. Montrer à la main que 1/f est développable en série entière au voisinage de 0. P n2 p π Exercice 29 Montrer que f (x) = ∞ est équivalent à 21 1−x quand x tend 0 x − vers 1 . On pourra comparer à une intégrale. 7 Exercice 30 Pour x ∈ ] − 1; 1[, on pose f (x) = ∞ X n=1 xn . 1 − xn 1 Montrer que f est bien définie, et qu’elle est de classe C ∞ sur ] − 1; 1[. quand x → 1− . 2 Montrer que f (x) est équivalent à Log(1−x) 1−x 3 Pour n ∈ N, on note d(n) la somme des diviseurs de n. Montrer qu’on a ∞ X f (x) = d(n)xn . n=1 Exercice 31 Pour x ≥ 0, on pose f (x) = ∞ X e− 0 √ nx n3/2 . 1 Montrer que f est continue sur [0; ∞[ et de classe C ∞ sur ]0; ∞[. 2 Étudier la dérivabilité de f en 0. Exercice 32 (lemme de Kronecker) Soit (an ) une suite croissante de réels positifs tendant P xnvers +∞, et soit (xn ) une suite est convergente. Montrer que de nombres complexes. On suppose que la série an Pn 1 0 xk tend vers 0. an Exercice 33 Soit (X, k . k) un espace vectoriel normé. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes. (1) (X, k . k) est complet. (2) Toute série absolument convergente à termes dans X est convergente. Exercice 34 (points de discontinuité des fonctions croissantes) 1 Montrer que si f : R → R est une fonction croissante, alors l’ensemble des points de discontinuité de f est dénombrable. 2a Soit a ∈ R. Quelle est la fonction croissante bornée “la plus simple” ayant a pour seul point de discontinuité? 2b Soit D ⊂ R un ensemble dénombrable. Montrer qu’il existe une fonction croissante f : R → R dont l’ensemble des points de discontinuité est exactement D. Mini-problèmes Problème 1 (nombre de rotation) Soit f : R → R une fonction continue croissante, telle que f (x + 1) = f (x) + 1 pour tout x ∈ R. Pour n ∈ N, on pose f n = f ◦ · · · ◦ f . Le but de l’exercice est de 8 n montrer que f n(x) admet une limite pour tout x ∈ R, et que cette limite est de plus indépendante de x. 1a Soient m, n ∈ N. En notant a la partie entière de f n (0), montrer qu’on a f m (0) + a ≤ f m+n (0) ≤ f m (0) + a + 1. 1b Soit (un ) une suite de nombres réels vérifiant ∀n, m ∈ N un + um − 1 ≤ un+m ≤ un + um + 1 . Montrer que la suite ( unn ) est convergente. On pourra commencer par montrer que si p, q ∈ N∗ , alors | upqpq − uqq | ≤ 1q . n 1c Montrer que la suite ( f n(0) ) est convergente. 2 Soient x, y ∈ R, et soit k ∈ N tel que |x − y| ≤ k. Montrer que pour tout n ∈ N, on a |f n (x) − f n (y)| ≤ k. 3 Conclure. Problème 2 (3-cycles et n-cycles) Soit E un segment de R (i.e. un intervalle compact), et soit f : E → E une application continue. On pose f 0 = id et f n = f ◦ · · · ◦ f pour n ∈ N∗ . On dit qu’un point x ∈ E est périodique de période n ∈ N∗ pour f si f n (x) = x et f k (x) 6= x pour tout k ∈ {1; . . . ; n − 1}. 1 On définit une relation ≺ entre segments de I de la façon suivante: I ≺ I 0 si et seulement si I ⊂ f (I 0 ). On prendra garde au fait que contrairement à ce que suggère la notation, la relation ≺ n’est pas transitive. a Montrer que si I ≺ I 0 , alors on peut trouver un segment J ⊂ I 0 tel que f (J) = I. b Soit n ∈ N∗ , et soient I0 , . . . , In−1 des segments de E tels que I0 ≺ In−1 ≺ · · · ≺ I1 ≺ I0 (si n = 1, il faut simplement lire I0 ≺ I0 ). Montrer que f n admet un point fixe x0 tel que f k (x0 ) ∈ Ik pour tout k ∈ {0; . . . ; n − 1}. 2 Soient a ∈ E tel que a < f (a) < f 2 (a) et f 3 (a) = a. On pose I0 = [a; f (a)] et I1 = [f (a); f 2 (a)]. a Vérifier qu’on a I0 ≺ I1 ≺ I0 et I0 ≺ I0 . b Montrer que f possède un point fixe et un point 2-périodique. c Soit n ≥ 4. Montrer que f n possède un point fixe x ∈ I0 tel que f k (x) ∈ I1 pour tout k ∈ {1; . . . n − 1}. Montrer ensuite que x est périodique de période n. 3 Montrer que si f possède un point périodique de période 3, alors f possède un point périodique de période n pour tout n ∈ N∗ . Problème 3 (sommabilité au sens d’Abel et de Cesàro) 9 Soit (an ) une suite de nombres complexes. On dit que la série au sens de Cesàro, avec pour somme l ∈ C, si P xn est sommable n 1 X lim Ak = l , n→∞ n − 1 k=0 Pk P où Ak = i=0 ai . On la série xn est sommable au sens d’Abel, avec pour Pdit que somme l, si la série an xn converge pour tout x ∈ [0; 1[ et si lim x→1− ∞ X an x n = l . 0 P A Que peut-on dire de général concernant la convergence de la série an et sa sommabilité au sens d’Abel ou de Cesàro? P B On suppose que la série aP n est sommable au sens de Cesàro. n 1 Pour n ∈ N, on pose T = n 0 Ak . Montrer que pour tout x ∈ [0; 1[, les séries P P n n Tn x et an x sont convergentes avec ∞ X an xn = (1 − x)2 0 2 Montrer que ∞ X Tn xn . 0 P an est sommable sens d’Abel, avec la même somme. P C On suppose que la série an est sommable au sens d’Abel. P 1 Montrer que si les an sont réels positifs, la série an est convergente. P∞ alors n 2a Pour x ∈ [0, 1[, on pose f (x) = 0 an x . Montrer que pour tout entier n ∈ N, on a n n X X 1 |kak | + ak − f (x) ≤ (1 − x) sup |ak | . 0 1 − x k>n 0 P 2b En déduire que si an = o(1/n), alors la série an est convergente (théorème de Tauber). D Le but de cette partie est de montrer que dans C2b, on peut remplacer la condition “an =Po(1/n)” par “an = O(1/n)” (théorème de Littlewood ). On suppose donc que la série an est et on cherche à montrer P sommable au sens d’Abel, avec an = O(1/n),P n que la P série an converge. Pour x ∈ [0; 1[, on pose f (x) = ∞ 0 an x . On pose aussi n + An = 0 ak . Enfin, on note a : R → C la fonction définie par a(t) = an pour t ∈ [n; n + 1[. 1 Vérifier que pour tout n ∈ N∗ , on a Z ∞ An−1 = n a(nt)g(e−t ) dt , 0 où g est la fonction indicatrice de l’intervalle [1/e; 1]. 10 2 Montrer que la fonction x 7→ g(x)−x est intégrable sur ]0; 1[. En déduire que pour x(1−x) tout ε > 0, on peut trouver un polynôme Q = Qε tel que Z ∞ |g(e−t ) − Q(e−t )| dt < ε t 0 avec de plus Q(0) = 0 et Q(1) = 1. 3a Montrer que pour tout s > 0, la fonction u 7→ a(u)e−su est intégrable sur R+ , et qu’on a Z ∞ 1 − e−s f (e−s ) . a(u)e−su du = s 0 R∞ 3b En déduire la limite limn→∞ n 0 a(nt)Q(e−t ) dt, pour tout polynôme Q vérifiant Q(0) = 0. 4 Démontrer le résultat souhaité. Problème 4 (convolution discrète; séries produits) A Si a = (a(n))n∈N et b = (b(n))n∈N sont deux suites de nombres complexes, on définit une suite a ∗ b par la formule n X a(k)b(n − k) . a ∗ b(n) = k=0 P Autrement dit, a ∗ b(n) est le terme général de la “série produit” des séries a(n) P et b(n). 1 Montrer que l’opération ∗ est bilinéaire, commutative P∞ et associative. 2 Montrer que si la suite a admet une limite l et si 0 |b(n)| < ∞, alors a ∗ b(n) → P b(n). l× ∞ 0 1 3 Montrer que si la suite a tend vers 0 et si la suite b est bornée, alors n+1 a∗b(n) → 0. 1 0 En déduire que si les suites a et b admettent des limites l et l , alors n+1 a∗b(n) → ll0 . P P P B Soient an et bn deux séries numériques, et soit cn la série produit. En cas de convergence, on note A, B, C les sommes de ces séries. 0 Dans quels cas peut-on à coup sûr écrire C = AB? 1 Utiliser P A pour établir les résultats P suivants. P a Si an est convergente et si bn est absolument convergente, alors cn est convergente et C = AB (théorème de Mertens). P P P b Si an et bn sont convergentes, alors cn est sommable au sens de Cesàro, avec pour somme AB. P P P C On garde les notations de B. Montrer que si les trois séries an , bn et cn sont convergentes, alors C = AB. Problème 5 (séries de Dirichlet) 11 Dans ce qui suit, S est une série de Dirichlet, c’est à dire une série de fonctions de la forme X S(z) = an e−λn z , où les an sont des nombres complexes, et (λn ) est une suite strictement croissantes de nombres positifs tendant vers +∞. Si z ∈ C et si la série S(z) converge, on note f (z) la somme de cette série. 1a Soit z0 ∈ C. Montrer que si la série S(z0 ) est absolument convergente, alors la série S(z) converge normalement dans le demi-plan {Re(z) ≥ Re(z0 )}. 1b Montrer qu’il existe un unique nombre xa ∈ [−∞ ; +∞] tel que la série S(z) converge absolument pour Re(z) > xa et ne converge pas absolument pour Re(z) < xa . On dit que xa est l’abscisse de convergence absolue de la série S. 2a Montrer que pour a, b ∈ R, a < b, et pour w = x + iy ∈ C, avec x ≥ 0, on a |w| −aw − e−bw ≤ e−ax − e−bx . e x 2b Soit z0 ∈ C. On suppose que la série S(z0 ) converge. Déduire de a que la série S(z) converge uniformément dans tout secteur angulaire du type Σα = {z; |arg(z − z0 )| ≤ α} , où α < π/2 . 2c Montrer qu’il existe un unique xc ∈ [−∞ ; +∞] tel que la série S(z) converge pour Re(z) > xc et diverge pour Re(z) < xc . On dit que xc est l’abscisse de convergence de la série S. 3 Montrer que f est holomorphe dans {Re(z) > xc }. n 4 Montrer qu’on a xc ≤ xa ≤ xc + µ, où µ = limn→∞ Log . λn 5 On prend λn = n pour tout n. Montrer qu’on a xa = xc = lim Logn|an | . Quel résultat connu retrouve-t-on en appliquant 2b? 6 Déterminer xa et xc dans les cas suivants. a an = 1, λn = Log n. b an = (−1)n , λn = Logn c an = (−1)n , λn = LogLog n. α d an = e−n , λn = nβ (α ≥ 0 , β > 0). Exercice (inégalité de Carleman) A1 Montrer que si a1 , . . . , an sont des nombres positifs, alors n √ 1 X n a1 . . . an ≤ √ kak . n n n! k=1 A2 Montrer que ∀n ∈ N∗ n+1 √ ≤ e. n n! 12 B Déduire de A que pour toute suite de nombres positifs (an )n≥1 , on a ∞ X √ n a1 . . . an ≤ e n=1 ∞ X an . n=1 N X 1 √ quand N → ∞. C1 Trouver un équivalent simple de n n! n=1 C2 En déduire que la constante C = e est la meilleure possible dans l’inégalité démontrée en B. Problème 6 (théorème de Borel) 1 Soit ϕ une fonction de classe C ∞ sur R, à support contenu dans [−1; 1]. Soient également n, i deux entiers positifs tels que n ≥ 2i, et soit ε ∈ ]0 ; 1]. On pose n ψ(x) = x ϕ(x/ε). Montrer qu’il existe une constante Ci , dépendant de i mais n! indépendante de n et ε, telle que kψ (i) k∞ ≤ Ci εn/2 . Calculer aussi ψ k (0) pour tout k ∈ N. 2 Soit (an ) une suite de nombres complexes. Montrer qu’il existe une fonction f ∈ C ∞ (R) telle que f (n) (0) = an pour tout n ≥ 0. Problème 7 (zéros des fonctions C ∞ ) 1 Soit (ϕk ) une suite de fonctions de classe C ∞ sur Rn , à supports compacts. Montrer petits, alors la formule f (x) = P∞ que si les λk > 0 sont choisis suffisamment ∞ 0 λk ϕk (x) définit une fonction de classe C . 2 Montrer que tout ouvert de Rn est réunion dénombrable de boules ouvertes. 3 Montrer que si B ⊂ Rn est une boule ouverte, alors on peut trouver une fonction positive ϕ ∈ C ∞ (Rn ) telle que ϕ(x) > 0 pour tout x ∈ B et ϕ ≡ 0 en dehors de B. 4 Soit F un fermé de Rn . Montrer qu’il existe une fonction f ∈ C ∞ (Rn ) telle que F = f −1 (0). Problème 8 (théorème d’extension de Tietze) Soit (X, d) un espace métrique, et soit C un fermé de X. Le but du problème est d’établir le résultat suivant: toute fonction continue f : C → [0; 1] peut se prolonger en une fonction continue F : X → [0; 1]. 1 Soient A, B ⊂ X deux fermés disjoints. Montrer qu’il existe une fonction continue ϕ : X → [0; 1] telle que ϕ ≡ 0 sur A et ϕ ≡ 1 sur B. 2 Soit f : C → [0; 1] continue. a Montrer qu’il existe une fonction continue f1 : X → [0; 1/3] telle que f1 (z) = 0 si z ∈ C et f (z) ≤ 1/3, et f1 (z) = 1/3 si z ∈ C et f (z) ≥ 2/3. b Montrer qu’on a 0 ≤ f (z) − f1 (z) ≤ 2/3 pour tout z ∈ C. 13 3 Soit à nouveau f : C → [0; 1] continue. Montrer qu’on peut construire une suite de fonctions continues (fn )n≥1 , fn : X → R, vérifiant les propriétés suivantes: n−1 (i) 0 ≤ fn (x) ≤ 31 32 pour tout n x ∈ X; P (ii) 0 ≤ f (z) − nk=1 fk (z) ≤ 23 pour tout z ∈ C. 4 Démontrer le résultat souhaité. Problème 9 (formule de Stirling) √ 1 Montrer qu’il existe uneP constante C telle que n! ∼ C nn ne−n quand n → ∞. n On pourra étudier la série (Log(un+1 ) − Log(un )), où un = n!e 1 . n+ 2 n Rπ 2 Pour n ∈ N, on pose In = 02 cosn t dt. a Trouver une relation de récurrence entre In et In−2 . b En déduire d’une part une formule explicite pour I2k et I2k+1 , et d’autre part un équivalent simple de In quand n → ∞. √ 3 Démontrer la formule de Stirling: n! ∼ nn e−n 2πn quand n → ∞. Problème 10 (formule d’Euler, sinus, fonction Gamma) A Montrer sans le logarithme complexe que pour tout nombre complexe z, utiliser z n z on a e = lim 1 + . n→∞ n ! n Y x2 1− B1 Montrer que pour tout x ∈ R, on a sin x = lim x kπ 2 tan2 n→∞ (2n + 1) 2n+1 k=1 B2 En déduire le développement du sinus en produit infini : ∞ Y x2 sin x = x 1− 2 2 . π n n=1 Z ∞ tx−1 e−t dt. Justifier la définition. 0 n Rn 1 Soit x > 0. Pour n ∈ N, calculer l’intégrale 0 1 − nt tx−1 dt. En déduire qu’on a nx n! Γ(x) = lim . n→∞ x(x + 1) . . . (x + n) 2 Montrer que Γ(x) 6= 0 pour tout x > 0, et qu’on a ∞ Y x −x/k 1 γx e , = xe 1+ Γ(x) k k=1 P où γ est la constante d’Euler, γ = limn→∞ ( n1 k1 − Logn). C Pour x > 0, on pose Γ(x) = 14 3 Montrer que pour tout x ∈ ]0; 1[, on a la formule des compléments: π Γ(x)Γ(1 − x) = . sin πx ∞ ∞ X X 1 (−1)n Problème 11 Pour x ∈ R, on pose ζ(x) = et α(x) = , lorsque ces x x n n n=1 n=1 séries convergent. 1a Quels sont les domaines de définition de ζ et α? 1b Montrer que ζ et α sont de classe C ∞ . 2 Montrer que si x > 1, alors α(x) = (1−21−x )ζ(x). En déduire un équivalent simple de ζ(x) quand x → 1+ . 3 Montrer qu’on a x 2−x−1 ζ(x + 1) ≤ α(x) ≤ x (1 − 2−x−1 )ζ(x + 1) pour tout x > 1. En déduire la limite de α(x) quand x → 0+ . Problème 12 (familles sommables) Si (ai )i∈I est une famille d’élements de [0; ∞] indexée par un ensemble I, on pose ( ) X X ai = sup ai ; F ⊂ I, F fini . i∈I i∈F 0 Que devient cette définition lorsque I = N? 1 Établir les résultats suivants. X X X a Additivité : (ai + bi ) = ai + bi . i∈I i∈I i∈I X XX b Si (Ik )k∈K est une partition de I, alors ai = ai . c Fubini : XX i∈I j∈J ai,j = X ai,j = X i∈I k∈K i∈Ik ai,j . j∈J i∈I (i,j)∈I×J d Changement de variable : X i∈I X ai = X aσ(i) pour toute bijection σ : I → I. i∈I P 2 On ditPqu’une famille de nombres complexes (ai )i∈I est sommable si i∈I |ai | < ∞. Définir i∈I ai pour une famille sommable (ai )i∈I , et énoncer les résultats attendus. ∞ X 1 . Problème 13 Pour x > 1, on pose ζ(x) = nx n=1 1 Déterminer limx→1+ ζ(x) et trouver un équivalent simple de ζ(x) quand x → 1+ . On pourra comparer à une intégrale. 2 On note (pn )n≥1 la suite des nombres premiers (rangés par ordre croissant). 15 −1 ∞ Y 1 a Montrer qu’on a ζ(x) = 1− pour tout x > 1. p n n=1 P 1 b En déduire que la série est divergente. pn Problème 14 (séries entières universelles) 1 Soit P : [0; 1] → R une fonction continue telle que P (0) = 0. Soient également N ∈ N et ε > 0. Montrer qu’il existe un polynôme R tel que ∀x ∈ [0; 1] |P (x) − xN R(x)| ≤ ε . 2 Soit (Pn )n∈N une suite de polynômes à coefficients réels, avec Pn (0) = 0. Montrer qu’il existe une suite de polynômes (Qn )n∈N telle que (i) val(Qn ) > deg(Qn−1 ) si n ≥ 1;P (ii) ∀n ∈ N ∀x ∈ [0; 1] |Pn (x) − n0 Qk (x)| ≤ 2−n . P 3 Montrer qu’il existe une série entière n≥1 an xn vérifiant la propriété suivante: pour toute fonction continue f : [0; 1] → R, il existe une suite strictement croissante Pnk n d’entiers (nk ) telle que la suite de sommes partielles Snk (x) = n=1 an x converge uniformément vers f . Problème 15 (suites équiréparties) On dit qu’une suite (un )n≥1 d’éléments de [0; 1] est équirépartie si pour tout intervalle [a; b] ⊂ [0; 1], on a lim n→∞ 1 card {i ∈ {1; . . . ; n}; ui ∈ [a; b]} = b − a . n A Soit (un )n≥1 une suite dans [0; 1]. On note E l’ensemble des fonctions mesurables bornées f : [0; 1] → R vérifiant Z b n 1X lim f (uk ) = f (t) dt. n→∞ n a k=1 Soit maintenant f : [0; 1] → R une fonction mesurable bornée. Montrer que dans chacun des cas suivants, on peut conclure que f ∈ E. a f est limite uniforme d’une suite d’éléments de E. b f est limite simple d’une suite croissante d’éléments de E et d’une suite décroissante déléments de E. B Montrer que pour une suite (un ) ⊂ [0; 1], les propriétés suivantes sont équivalentes. (i) (un ) est équirépartie. 16 (ii) Pour toute fonction continue f : [0; 1] → R, on a Z b n 1X lim f (uk ) = f (t) dt . n→∞ n a k=1 (iii) Pour tout entier m ∈ Z \ {0}, on a n 1 X 2iπmuk = 0. e lim n→∞ n k=1 C Soit θ ∈ [0; 1]. Montrer que la suite ({nθ})n≥1 est équirépartie si et seulement si θ 6∈ Q. Problème 16 (séries de Hardy) Dans ce problème, on étudie la convergence de la série paramètre α > 0. P sin(π√n) nα en fonction du A Que dire si α > 1? B Traiter le cas 1 2 < α < 1 en comparant avec une intégrale. √ iπ n+1 C1 Montrer qu’on a e −e √ iπ n √ √ iπeiπ n π 2 eiπ = √ − 8n 2 n n +O 1 n3/2 quand n → ∞. C2 Traiter le cas α = 21 . D Traiter enfin le cas α < 21 , en écrivant √ sin(π n) √ n = √ sin(π n) 1 . 1 nα n 2 −α Problème 17 (théorème de Weierstrass) Le but du problème est de donner une preuve un peu exotique du théorème de Weierstrass (toute fonction continue f : [0; 1] → R peut s’approcher uniformément par des fonctions polynomiales). A1 On définit une suite de polynômes (Pn ) par P0 = 0 et 1 Pn+1 (x) = Pn (x) + (x − Pn2 (x)) . 2 Montrer que pour tout x ∈ [0; 1], on a Pn (x) ≥ 0 et n √ √ 1√ 0 ≤ x − Pn (x) ≤ x 1 − x . 2 √ En déduire que Pn (x) tend vers x uniformément sur [0; 1]. A2 Montrer qu’il existe une suite de polynômes qui converge uniformément vers |x| sur [−1; 1]. 17 B Pour a ∈ [0; 1], on note φa : [0; 1] → R la fonction x 7→ |x − a|. Montrer que toute fonction continue affine par morceaux f : [0; 1] → R est combinaison linéaire de fonctions φa . C Démontrer le théorème de Weierstrass en utilisant ce qui précède. Problème 18 (limites simples de fonctions continues) Dans tout l’exercice, (E, d) est un espace métrique complet et (fn )n∈N est une suite de fonctions continues, fn : E → R, convergeant simplement vers une fonction f : E → R. Le but du problème est de montrer que l’ensemble des points de continuité de f est dense dans E. 1 Pour ε > 0, on pose Oε = {x ∈ E; ∃V voisinage de x tel que ∀y, z ∈ V |f (y) − f (z)| ≤ ε} . T Montrer que chaque Oε est ouvert, et que si un point x ∈ X appartient à p∈N∗ O1/p , alors x est un point de continuité de f . 2 Soient ε > 0 et n ∈ N fixés. On pose F = {x ∈ E; ∀p, q ≥ n |fp (x) − fq (x)| ≤ ε} . Montrer qu’on a F̊ ⊂ O3ε . S S 3 Soit (Fn )n∈N une suite de fermés de E telle que n Fn = E. Montrer que n F̊n est dense dans E. 4 Démontrer le résultat souhaité. Problème 19 (une fonction continue nulle-part dérivable) Soit ϕ : R → R la fonction 2-périodique telle que ϕ(x) = |x| pour tout x ∈ [−1; 1]. On définit f : R → R par ∞ X f (x) = 2−n ϕ(8n x) . n=0 1 Montrer que f est continue. 2 Soit x ∈ R, et soit m ∈ N. a Montrer qu’on peut choisir εm ∈ {−1; 1} de sorte qu’en posant hm = ε2m 8−m , il n’y ait pas d’entier entre 8m x et 8m (x + hm ). ϕ(8n x) − ϕ(8n (x + hm )) b Pour n ∈ N, on pose dm,n = . Calculer dn,m pour n > m, hm montrer qu’on a |dn,m | ≤ 8n pour n < m, et calculer |dm,m |. 3 Montrer que la fonction f n’est dérivable en aucun point. Problème 20 (unicité du développement trigonométrique) Le but du problème est d’établir le résultat si une fonction f : R → C est P suivant: la somme d’une série trigonométrique an eint (i.e. la série converge en tout point vers f (t)), alors les coefficients an sont déterminés de manière unique. 18 A Soit (cn )n∈Z une suite de nombres complexes telle que limn→+∞ (cn eint +c−n e−int ) = 0 pour tout t ∈ R. Montrer qu’on a lim|n|→∞ cn = 0. (On pourra commencer par R 2π montrer, en considérant 0 sin(nk t)2 dt, qu’il n’existe aucune suite d’entiers (nk ) telle que sin(nk t) → 0 pour tout t ∈ R.) B Pour une fonction F : R → C et pour t ∈ R, on pose F [2] (t) = lim+ h→0 F (t + h) + F (t − h) − F (t) h2 lorsque cette limite existe. 0 Que vaut F [2] (t) lorsque la fonction F est deux fois dérivable au point t? 1 Soit F : R → R continue. On suppose que F [2] (t) existe en tout point et qu’on a F [2] (t) ≥ 0 pour tout t ∈ R. a Montrer que si u : R → R est une fonction affine et si ε > 0, alors la fonction t 7→ F (t) − u(t) + εt2 ne possède pas de maximum local. b Montrer que F est convexe. 2 Montrer que si F : R → C est une fonction continue telle que F [2] (t) existe en tout point et F [2] ≡ 0, alors F est une fonction affine. C Soit ϕ : R → C une fonction dePclasse C 1 , et soit (αn ) une suiteR de nombres complexes. On suppose que la série Pαn est convergente, et qu’on a R |ϕ0 (t)| dt < ∞. Montrer que la série de fonctions αn ϕ(nx) converge uniformément sur R. D (cn )n∈Z une suite de nombres complexes. On suppose que la série trigonométrique PSoitint cn e converge en tout point vers 0, autrement dit que pour tout t ∈ R, on a lim N →∞ 1 Montrer que la série P cn n6=0 n2 N X cn eint = 0 . n=−N eint converge uniformément sur R. On pose X cn eint . F (t) = − 2 n n6=0 2 Montrer que pour t ∈ R et h > 0, on peut écrire F (t + h) + F (t − h) − 2F (t) X nh int = cn e ϕ , 2 h 2 n6=0 où la fonction ϕ est à déterminer. 3 Montrer que la fonction F est constante. 4 Montrer que tous les cn sont nuls. E Conclure. Problème 21 (convergence inconditionnelle) 19 A Soit X un espace de Banach, et soit (xn )n∈N une suite de points de X. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes. P (1) Pour toute bijection σ : N → N, la série xσ(n) est P convergente. (2) Pour tout ε > 0, on peut trouver N ∈ N tel que k n∈J xn k < ε pour tout ensemble fini J ⊂ N vérifiant min(J) > N . P (3) Pour toute suite strictement croissante d’entiers (nk ), la série xnk est convergente. P Lorsque ces propriétés sont vérifiées, on dit que la série xn est inconditionnellement convergente. P B On suppose que X est de dimension finie. P Montrer que la série xn est inconditionnellement convergente si et seulement si ∞ kx k < ∞. n 0 C On suppose que X = H est un espace de Hilbert. 1 Pour tout ensemble fini J ⊂ N, on pose ∆J = {−1; 1}J , et on note |J| le nombre d’éléments de J. Montrer que si (xn )n∈J est une suite finie d’éléments de H, alors 2 X 1 X X ε x = kxn k2 . n n 2|J| ε∈∆ n∈J n∈J J P 2 Montrer Pque si 2 xn est une série inconditionnellement convergente à termes dans H, alors ∞ 0 kxn k < ∞. 3 On suppose que de dimension infinie. Montrer que pour toute suite (λn )n∈N ⊂ PH∞ est 2 λ [0; ∞[ telle que P n < ∞, il existe une suite xn ⊂ H telle que kxn k = λn pour 0 tout n et la série xn est inconditionnellement convergente.