Démontrer que si les angles d`un triangle ABC satisfont à la relation

Université de Liège
Examen d'admission
Trigonométrie et calcul numérique – Septembre 2004
Question 1
Démontrer que si les angles d’un triangle ABC satisfont à la relation
sin A= sin B+sinC
cosB+cosC
alors le triangle est rectangle en A.
Dans le triangle ABC on a évidemment : A+ B+C =π et 0 < A, B, C < π
Conditions d’existence :
cos B + cos C ≠ 0
⇔ cos B ≠ − cos C
⇔ B ≠ π −C
⇔
cos B ≠ cos(π − C )
⇔ π ≠ B+C
Dans le cas du triangle, cette condition équivaut à A≠0 qui est toujours vérifiée.
Solution :
Développons la relation qui est l’hypothèse et démontrons que la thèse est vérifiée.
En utilisant les relations de transformations de sommes en produits, l’hypothèse peut s’écrire :
2sin B+C cos B−C
2
2
sin A= sin B+sinC =
cosB+cosC 2cos B+C cos B−C
2
2
B−C π
≠ , relation vérifiée dans le
On peut simplifier haut et bas le second membre par cos B−C car
2
2
2
triangle puisque les angles sont inférieurs à π.
On a donc :
B+C
B+C
sin
sin
2
2
sin A =
⇔ sin(π − B + C ) =
B+C
B+C
cos
cos
2
2
B+C
B+C
sin
sin
B+C
B+C
2
2
⇔ sin( B + C ) =
⇔ 2 ⋅ sin
⋅ cos
=
B+C
B+C
2
2
cos
cos
2
2
On peut également simplifier chaque membre par sin B+C puisque B+C ≠0 et B+C ≠π pour un
2
2
2
triangle. Il vient alors :
B+C
1
B+C
=
⇔ 2 cos 2 
 =1
B+C
2
2


cos
2
1 + cos(B + C ) = 1 ⇔ cos(B + C ) = 0
2 cos
Cette équation admet comme solution : B +C =± π + k ⋅π
2
Pour le triangle ABC, la seule solution acceptable est B+C =π et donc A= π .
2
2
Question 2
Résoudre l’équation suivante :
sin 3 x ⋅ cos x − sin x ⋅ cos3 x =
2
8
Représentez les solutions sur le cercle trigonométrique.
Comme la formule ne contient que des sinus et cosinus, il n’y a pas de condition d’existence.
sin 3 x ⋅ cos x − sin x ⋅ cos3 x =
Il vient :
2
8
sin x ⋅ cos x ⋅ sin 2 x − cos 2 x =
2
8
Les formules de duplication donnent les deux relations suivantes :
sin x ⋅ cos x =
1
⋅ sin ( 2 x ) et sin 2 x − cos 2 x = − cos ( 2 x )
2
En remplaçant dans l’équation on trouve
1
2
− sin ( 2 x ) ⋅ cos ( 2 x ) =
2
8
Et s’il on applique une nouvelle fois la formule de duplication du sinus, il vient
sin ( 4 x ) = −
2
2
On a donc les 2 ensembles de solutions suivants :
π
+ 2 ⋅ k ⋅π
et
donc
x=−
5π
+ 2 ⋅ k ⋅π
4
et
donc
x=
4x = −
4
π
16
+k⋅
2
avec k ∈
4x =
7 ⋅π
16
π
5 ⋅π
π
+k⋅
16
2
13 ⋅ π
16
5 ⋅π
16
15 ⋅ π
16
avec k ∈
qui peuvent se représenter sur le cercle trigonométrique
comme ci-contre.
−
21⋅ π
16
29 ⋅ π
16
23 ⋅ π
16
π
16
Question 3
Soit un triangle rectangle ABC dont l’angle en A est droit. AB = 15 cm et AC = 8 cm. Calculer les
valeurs des angles aux sommets B et C ainsi que la longueur de l’hypoténuse. Calculer la hauteur du
triangle formé par le côté AC et les bissectrices intérieures des angles en A et C.
Sachant que cette hauteur est aussi le rayon du cercle inscrit au triangle, calculer l’aire et le
périmètre du triangle A’B’C’ dont les côtés sont situés à 1 cm de ceux du triangle ABC.
C’
Calcule des angles et de
l’hypoténuse du triangle ABC :
C
C1
tan B= 8 → B=28,0725°
15
8
D
tanC =15 → C =61,9275°
8
A1
A
15
B
2
B’
A’
2
BC = AB + AC = 152 +82 =17 cm
Soit D l’intersection des bissectrices en A et C. Dans le triangle ADC, on a :
A1=45°, C1= 61,9275° =30,9638°, D=180°−45°−30,9638°=104,0362°
2
sin D = sin A1 → CD= AC⋅sin A1 = 8⋅sin(45°) =5,8309 cm
sin D sin(104,0362°)
AC CD
La hauteur du triangle ADC relative à AC est alors donnée par :
h=DC⋅sinC1=5,8309⋅sin(30,9638°)=3 cm
Cette hauteur de 3 cm étant égale au rayon du cercle inscrit au triangle ABC, le triangle A’B’C’
aura un cercle inscrit de rayon égal à 4 cm. Le rapport des aires de ces cercles inscrits étant
conservé pour les triangles, on a :
2
rABC = S ABC
2
rA'B'C' S A'B'C'
32 = (8⋅15)/ 2
42 S A'B'C'
9 = 60
→ S A'B'C' = 60⋅16 =106,6667 cm2 .
16 S A'B'C'
9
De même, le rapport des périmètres des triangles est égal au rapport des rayons :
rABC = PABC
rA'B'C' PA'B'C'
3 = 8+15+17 → PA'B'C'= (8+15+17)⋅4 =53,3333 cm
4 PA'B'C'
3