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CORRIGE DU DEVOIR A LA MAISON N° 4
EXERCICE 1 :
1.a.
1. b. Parmi les conducteurs de motos, 20 % sont des abonnés donc :
(A)P
M
= 0,2
2. a. Les évènements M, C et V forment une partition de l’univers donc : P(A) = P(A M) + P(A C) + P(A V)
= P(M) x PM(A) + P(C) x PC(A) + P(V) x PV(A)
= 0,1 x 0,2 + 0,5 x 0,2 + 0,4 x 0,6
= 0,28
La probabilité que le conducteur ait souscrit un abonnement est bien de 0,28.
b.
0,071
14
1
0,28
0,02
P(A)
M)P(A
(M)P
A
Sachant que le conducteur est un abonné, la probabilité que son
véhicule soit une moto est environ 0,071.
3. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de véhicules d’abonnés. On répète 4 fois de façon
indépendante la même expérience aléatoire a deux issues, le succès étant l’évènement A avec P(A) = 0,28.
Donc X suit la loi binomiale B(4 ; 0,28)
a. P(X = 2) =
2
4
x0,282 x 0,722 0,244
On peut aussi calculer la probabilité avec la calculatrice avec BinomialPd(2,4,0.28) ou binomFdp(4,0.28,2) )
La probabilité que deux des véhicules soient des véhicules d’abonnés est d’environ 0,244 .
b. P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0,724 0,731
La probabilité qu’au moins un véhicule soit celui d’ un abonné est d’environ 0,731.
4. a. 4 x 0,8 = 3,20 Le tarif pour un camion avec abonnement est de 3,20€
Donc P (S = 3,20) = P(A C) = P(C) x PC(A) = 0,5 x 0,2 = 0, 1
La probabilité que le conducteur paie exactement 3,20 € est 0,1.
b. 2 x 0,8 = 1,6 : le tarif pour une moto avec abonnement est 1,60 €
3,50 x 0,8 = 2,80 : le tarif pour une voiture avec abonnement 2,80 €
La loi de probabilité de S est donnée dans le tableau ci-dessous :
c. E(S) = 1,60 x 0,02 + 2 x 0,08 + 2,80 x 0,16 + 3,50 x 0,24 + 3,20 x 0,1 + 4 x 0,4 = 3,40
Quand un grand nombre de véhicules se présente au péage, la somme payée en moyenne par véhicule est donc
de 3,40 €.
Tarif si en €
1,60
2
2,80
3,50
3,20
4
P (S = si)
P(M
A) =
0,02
P(M
A
) =
0,08
P(V
A) =
0,16
P(V
A
) =
0,24
P(C
A)
= 0,1
P(C
A
) =
0,4

EXERCICE 2 :
1. a. Le premier sondage est positif donc la probabilité que le 2ème le soit est 0,6 donc P(V2) = 0,6
Sachant que le 2e est positif, la probabilité que le 3e le soit est 0,6 donc
)(VP3V
2
= 0,6
Ainsi P (V2 V3) = P(V2) x
)(VP3V
2
= 0,6 x 0,6 = 0,36
b. P(A) = P (V2 V3) = 0,36
2. a. Le premier sondage est positif donc la probabilité que le 2ème ne le soit pas est 1 - 0,6 = 0,4
donc P(
2
V
) = 0,4
Sachant que le 2e est négatif, la probabilité que le 3e le soit aussi est 0,9 donc
)V(P 3
v2
= 0,9
Ainsi P(
2
V
3
V
) = P(
2
V
) x
)V(P 3
v2
= 0,4 x 0,9 = 0,36
b. P(B) = P(
2
V
3
V
) = 0,36
3. Les événements V3 et
3
V
forment une partition de l’univers donc :
P(
2
V
) = P(
2
V
V3) + P(
2
V
3
V
) donc P(
2
V
3
V
) = 0,4 – 0,36 = 0,04
Les événements V2 et
2
V
forment une partition de l’univers donc :
P3 = P(V3) = (V2 V3) + P(
2
V
V3) = 0,36 + 0,04 = 0,4
4.
5. Les événements Vn et
n
V
forment une partition de l’univers donc :
Pn+1 = P(Vn+1) = P(Vn+1 Vn) + P(Vn+1
n
V
)
= 0,6pn + 0,1 (1 – pn)
= 0,5pn + 0,1
6. a. Pour tout entier n ≥ 1 : un+1 = pn+1 – 0,2
= 0,5pn + 0,1 – 0,2
= 0,5pn – 0,1
= 0,5 (pn – 0,2)
= 0,5un
Ainsi (un) est une suite géométrique de raison 0,5 et de 1er terme u1 = p1 – 0,2 = 1 – 0,2 = 0,8
b. Pour tout entier n ≥ 1 : un = 0,8 x 0,5n-1 et un = pn – 0,2 donc pn = un + 0,2
= 0,8 x 0,5n-1 + 0,2
c.
1n
n0,5lim 
= 0 car 0 < 0,5 < 1 donc
n
nplim
= 0,2