CORRIGE DU DEVOIR A LA MAISON N° 4 EXERCICE 1 : 1.a. 1. b. Parmi les conducteurs de motos, 20 % sont des abonnés donc : PM (A) = 0,2 2. a. Les évènements M, C et V forment une partition de l’univers donc : P(A) = P(A M) + P(A C) + P(A V) = P(M) x PM(A) + P(C) x PC(A) + P(V) x PV(A) = 0,1 x 0,2 + 0,5 x 0,2 + 0,4 x 0,6 = 0,28 La probabilité que le conducteur ait souscrit un abonnement est bien de 0,28. b. PA (M) P(A M) 0,02 1 0,071 Sachant que le conducteur est un abonné, la probabilité que son P(A) 0,28 14 véhicule soit une moto est environ 0,071. 3. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de véhicules d’abonnés. On répète 4 fois de façon indépendante la même expérience aléatoire a deux issues, le succès étant l’évènement A avec P(A) = 0,28. Donc X suit la loi binomiale B(4 ; 0,28) 4 a. P(X = 2) = x0,282 x 0,722 2 0,244 On peut aussi calculer la probabilité avec la calculatrice avec BinomialPd(2,4,0.28) ou binomFdp(4,0.28,2) ) La probabilité que deux des véhicules soient des véhicules d’abonnés est d’environ 0,244 . b. P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0,724 0,731 La probabilité qu’au moins un véhicule soit celui d’ un abonné est d’environ 0,731. 4. a. 4 x 0,8 = 3,20 Le tarif pour un camion avec abonnement est de 3,20€ Donc P (S = 3,20) = P(A C) = P(C) x PC(A) = 0,5 x 0,2 = 0, 1 La probabilité que le conducteur paie exactement 3,20 € est 0,1. b. 2 x 0,8 = 1,6 : le tarif pour une moto avec abonnement est 1,60 € 3,50 x 0,8 = 2,80 : le tarif pour une voiture avec abonnement 2,80 € La loi de probabilité de S est donnée dans le tableau ci-dessous : Tarif si en € 1,60 2 2,80 3,50 3,20 4 P (S = si) P(M A) = P(M A ) = P(V A) = P(V A ) = P(C A) P(C A ) = 0,02 0,08 0,16 0,24 = 0,1 0,4 c. E(S) = 1,60 x 0,02 + 2 x 0,08 + 2,80 x 0,16 + 3,50 x 0,24 + 3,20 x 0,1 + 4 x 0,4 = 3,40 Quand un grand nombre de véhicules se présente au péage, la somme payée en moyenne par véhicule est donc de 3,40 €. EXERCICE 2 : 1. a. Le premier sondage est positif donc la probabilité que le 2ème le soit est 0,6 donc P(V2) = 0,6 Sachant que le 2e est positif, la probabilité que le 3e le soit est 0,6 donc PV2 (V3 ) = 0,6 Ainsi P (V2 V3) = P(V2) x PV2 (V3 ) = 0,6 x 0,6 = 0,36 b. P(A) = P (V2 V3) = 0,36 2. a. Le premier sondage est positif donc la probabilité que le 2ème ne le soit pas est 1 - 0,6 = 0,4 donc P( V2 ) = 0,4 Sachant que le 2e est négatif, la probabilité que le 3e le soit aussi est 0,9 donc Pv (V3 ) = 0,9 2 Ainsi P( V2 V3 ) = P( V2 ) x Pv (V3 ) = 0,4 x 0,9 = 0,36 2 b. P(B) = P( V2 V3 ) = 0,36 3. Les événements V3 et V3 forment une partition de l’univers donc : P( V2 ) = P( V2 V3) + P( V2 V3 ) donc P( V2 V3 ) = 0,4 – 0,36 = 0,04 Les événements V2 et V2 forment une partition de l’univers donc : P3 = P(V3) = (V2 V3) + P( V2 V3) = 0,36 + 0,04 = 0,4 4. 5. Les événements Vn et Vn forment une partition de l’univers donc : Pn+1 = P(Vn+1) = P(Vn+1 Vn) + P(Vn+1 Vn ) = 0,6pn + 0,1 (1 – pn) = 0,5pn + 0,1 6. a. Pour tout entier n ≥ 1 : un+1 = pn+1 – 0,2 = 0,5pn + 0,1 – 0,2 = 0,5pn – 0,1 = 0,5 (pn – 0,2) = 0,5un Ainsi (un) est une suite géométrique de raison 0,5 et de 1er terme u 1 = p1 – 0,2 = 1 – 0,2 = 0,8 b. Pour tout entier n ≥ 1 : un = 0,8 x 0,5n-1 et un = pn – 0,2 donc pn = un + 0,2 = 0,8 x 0,5n-1 + 0,2 c. li m 0,5n 1 = 0 car 0 < 0,5 < 1 donc li m pn = 0,2 n n