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Intersection SN Guide B CHAPITRE 8
Corrigé
Nom : Groupe : Date : Fiche 8.2
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4
CHAPITRE 8 Intersection SN Guide B
Plus de En bref
Complément de la section En bref de la page 162 du manuel
1. Un triangle isocèle rectangle a une hypoténuse mesurant 7 cm.
Détermine l’aire de ce triangle rectangle.
On détermine la mesure d’une cathète :
a2 + b2 = c2
x2 + x2 = 72
2 s x2 = 49
x = 49
2
La mesure d’une cathète de ce triangle isocèle rectangle est de 49
2 cm.
On détermine l’aire de ce triangle rectangle :
Atriangle = b s h
2
Atriangle =
49
2 s 49 2
2
Atriangle = 12,25 cm2
L’aire de ce triangle rectangle est de 12,25 cm2.
2. Soit les triangles rectangles ABC et ADE
représentés dans le plan cartésien ci-contre.
Démontre qu’ils sont semblables :
a) par la condition minimale de similitude AA ;
Affirmation Justification
m  ACB = m  AED = 90° Ce sont deux triangles rectangles.
 ABC  ADE Ce sont des angles correspondants formés par
deux parallèles, BC et ED, et une sécante, AD.
Les triangles ABE et ADE sont semblables.
Deux triangles ayant deux angles homologues
isométriques sont nécessairement semblables
(condition minimale AA).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
11 12 x
7
y
A
B
C
(2, 5)
(2, 6)
E(2, 3) D(11, 3)
(5, 5)
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Intersection SN Guide B CHAPITRE 8
(suite)
b) par la condition minimale de similitude CAC.
Affirmation Justification
m AC = 1 unité Par la figure
m AE = 3 unités Par la figure
m  ACB = m  AED = 90° Ce sont deux triangles rectangles.
m BC = 3 unités Par la figure
m DE = 9 unités Par la figure
m AC
m AE = 1
3
m BC
m DE = 3
9 = 1 3
Dans les triangles semblables, les
côtés homologues ont des mesures
proportionnelles.
Les triangles ABC et ADE sont semblables. Deux triangles ayant un angle isométrique
compris entre des côtés homologues dont
les mesures sont proportionnelles sont
nécessairement semblables (condition
minimale CAC).
3. Résous les proportions suivantes.
a) x
2 
7
14 c) 4x 9 
4
x
b) x  1
3  16 d) 2x  6 8 
1
x
x
2
= 7
14
x
= 2 s 7
14
x = 1
4x2 = 36
x2
= 9
x = ±3
x – 1
3
= 16
x – 1 = 48
x = 49
2x2 + 6x = 8
2(x2 + 3x – 4) = 0
x2 + 4x – x – 4 = 0
x(x + 4) – 1(x + 4) = 0
(x + 4)(x – 1) = 0
x = –4 et x = 1
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CHAPITRE 8 Intersection SN Guide B
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(suite)
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CHAPITRE 8 Intersection SN Guide B
4. Détermine l’aire :
a) d’un carré dont la diagonale mesure 2 2 cm ;
On détermine la mesure d’un des côtés du carré à l’aide de la relation de Pythagore :
a2 + b2 = c2
x2 + x2 = (2 2)2
2 s x2 = 8
x2 = 4
x = 4
x = 2 cm
On détermine ensuite l’aire du carré : Acarré = c2 = 22 = 4 cm2.
L’aire du carré est de 4 cm2.
b) d’un losange dont le périmètre est de 32 cm et dont la petite diagonale mesure 10 cm.
La mesure d’un des côtés du losange est de 8 cm puisque son périmètre est de 32 cm
et qu’un losange possède quatre côtés isométriques.
On détermine la mesure de la moitié de la grande diagonale à l’aide de la relation
de Pythagore :
a2 + b2 = c2
52 + x2 = 82
25 + x2 = 64
x2 = 39
x = 39 cm
La mesure de la grande diagonale du losange est de 2 39 cm.
On détermine l’aire du losange :
Alosange = D s d
2
Alosange = 239 s10
2
Alosange z 62,45 cm2
L’aire du losange est d’environ 62,45 cm2.
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Intersection SN Guide B CHAPITRE 8
(suite)
5. Détermine l’aire du triangle rectangle ABC ci-contre.
Le segment AH est la hauteur relative à l’hypoténuse
du triangle ABC.
On détermine la mesure du segment AC
à l’aide de la relation de Pythagore :
a2 + b2 = c2
82 + b2 = 152
b2 = 161
b z 12,69 cm
La mesure du segment AC est d’environ
12,69 cm.
On détermine l’aire du triangle ABC :
Atriangle ABC = b s h
2
Atriangle ABC z 12,69 s8
2
Atriangle ABC z 50,78 cm2
L’aire du triangle ABC est d’environ 50,78 cm2.
6. Vrai ou faux ? Justifie ta réponse.
a) Deux losanges qui ont la même mesure de grande diagonale sont nécessairement isométriques.
Faux. Bien que deux losanges aient une même mesure de grande diagonale, ils peuvent
avoir une mesure de petite diagonale différente. Cela signifie automatiquement qu’ils ne
sont pas isométriques.
b) Deux hexagones réguliers sont toujours semblables.
Vrai. Pour que deux figures soient semblables, les angles homologues doivent être de même
mesure et les rapports des côtés homologues doivent être égaux. Un hexagone régulier a
toujours six angles de 120 degrés ; la première propriété est donc respectée. Comme les six
côtés d’un hexagone régulier sont isométriques, les rapports des côtés homologues de deux
hexagones réguliers sont donc tous égaux ; la seconde propriété est également respectée.
c) Pour que deux triangles rectangles soient semblables, il faut nécessairement qu’ils soient isocèles.
Faux. Deux triangles rectangles scalènes peuvent être semblables s’ils respectent une
des trois conditions minimales de similitude.
A
BC
H
8 cm
15 cm
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Intersection SN Guide B CHAPITRE 8
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Intersection SN Guide B CHAPITRE 8
Plus de Mise en pratique
Complément de la section Mise en pratique des pages 174 à 178 du manuel
1. Soit le triangle ABC ci-contre.
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle
Niveau de difficulté : faible
a) Donne les appellations possibles des rapports suivants.
1 b
c tan B 2 b a sin B ou cos C 3 c a sin C ou cos B
b) En te référant à la figure, détermine lequel de cos B et de sin B a la plus grande valeur. Justifie ta
réponse en comparant des rapports trigonométriques.
Le cosinus et le sinus d’un angle sont deux rapports qui comparent une cathète à l’hypoténuse
d’un triangle rectangle. Le rapport qui aura la plus grande valeur sera celui dont la mesure de
la cathète sera la plus grande. En observant l’angle B, on remarque que le côté adjacent est
plus long que le côté opposé. On peut donc affirmer que la valeur du cosinus de l’angle B
est supérieure à celle du sinus de ce même angle.
2. Pour lequel des triangles ci-dessous la valeur de sin A est-elle la plus grande ?
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle
Niveau de difficulté : faible
Pour le triangle ADE.
c
a
b
A
B
C
A
BC
3 cm
6 cm
A
F
G
8,2 cm
12,3 cm
A
H
I9 cm
17 cm
A
D
E3 cm
1,5 cm
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CHAPITRE 8 Intersection SN Guide B
3. Soit le triangle DEF ci-contre. Sachant que cos D  1
4,
détermine la mesure de EF.
Rapports trigonométriques dans le
triangle rectangle, recherche de mesures manquantes dans le triangle rectangle
Niveau de difficulté : moyen
On détermine la mesure du segment DE :
cos D =
m DF
m DE
4
m DE =
1
4
m DE = 16 cm
À l’aide de la relation de Pythagore, on détermine la mesure du segment EF :
a2 + b2 = c2
42 + b2 = 162
b = 162 – 42
b z 15,49 cm
La mesure du segment EF est d’environ 15,49 cm.
4. À partir de la figure ci-contre :
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle
Niveau de difficulté : moyen
a) démontre que l’égalité suivante est vraie : tan T s m ST  tan R s m RS ;
On exprime le rapport trigonométrique tan T pour le triangle QST :
tan T = m QS
m ST
On exprime le rapport trigonométrique tan R pour le triangle QRS :
tan R = m QS
m RS
On exprime la mesure du segment QS à partir de chacun de ces deux rapports
trigonométriques :
m QS = tan T sm ST
m QS = tan R sm RS
On peut alors poser l’égalité suivante :
tan T sm ST = tan R sm RS
D
E
F
4 cm
Q
R
S
T
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CHAPITRE 8 Intersection SN Guide B
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Intersection SN Guide B CHAPITRE 8
(suite)
b) détermine l’aire du triangle QRT, sachant que m QS  7 cm et que tan T  0,7.
On détermine la mesure du segment ST :
tan T = m QS
m ST
0,7 = 7
m ST
m ST = 7
0,7 = 10 cm
On détermine la mesure du segment RS :
(m QS)2 = m ST sm RS
m RS = (m QS)2
m ST = 72 10 = 4,9 cm
On détermine l’aire du triangle QRT :
A$QRT = b s h
2 = 14,9 s 7 2 = 52,15 cm2
L’aire du triangle QRT est de 52,15 cm2.
5. Sachant que cos 32° z 0,85 et que sin 32° z 0,53, détermine approximativement la valeur de
l’expression suivante : tan 32° + cos (32°)
sin 148°  2 s cos 58°.
Identités trigonométriques
Niveau de difficulté : moyen
tan 32° + cos (–32°)
sin 148° – 2 s cos 58°
= sin (32°)
cos 32° + cos (32°) sin 32° – 2 s sin 32°
= 0,53
0,85 + 0,85 0,53 – 2 s 0,53
z 1,17
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CHAPITRE 8 Intersection SN Guide B
6. Dans chacun des triangles suivants, détermine la valeur de x.
Rapports trigonométriques dans le triangle
rectangle, recherche de mesures manquantes dans le triangle rectangle
Niveau de difficulté : faible
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
7. Détermine la longueur de cette glissoire, sachant que les enfants doivent gravir une échelle de 3,5 m
pour accéder à son sommet et que l’angle formé par cette glissoire et le sol est de 46°.
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle
Niveau de difficulté : faible
48˚
x
12 cm
tan 48° = 12
x
x = 12
tan 48°
x z 10,80 cm
22˚
x
1,96 cm
sin 22° = x
1,96
x = 1,96 s sin 22°
x z 0,73 cm
57˚
x
22 cm
cos 57° = x
22
x = 2 s cos 57°
x z 11,98 cm
41˚
x
4,31 cm
sin 41° = x
4,31
x = 4,31 s sin 41°
x z 2,83 cm
61˚
x8,4 cm
tan 61° = 8,4
x
x = 8,4
tan 61°
x z 4,66 cm
x
5 cm
sin 45° = x
5
x = 5 s sin 45°
x z 3,54 cm
29˚
x
7,3 cm
cos 29° = 7,3
x
x = 7,3
cos 29°
x z 8,35 cm
68˚
x
21,5 cm
cos 68° = x
21,5
x = 21,5 s cos 68°
x z 8,05 cm
46˚
3,5 m
On détermine la longueur de cette glissoire :
sin 46° = 3,5
x
x = 3,5
sin 46°
x z 4,87 m
La longueur de cette glissoire est d’environ 4,87 m.
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Intersection SN Guide B CHAPITRE 8
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Nom : Groupe : Date : Fiche 8.4
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Intersection SN Guide B CHAPITRE 8
(suite)
8. L’observatoire de Kitt Peak, en Arizona, abrite les plus grands instruments astronomiques du monde.
Le télescope solaire McMath-Pierce fait partie du lot. Il a la forme d’un triangle rectangle, est constitué
d’une tour, haute de 33,5 m, et d’un long tube incliné. Ce tube s’enfonce dans le sol sur une distance
verticale de 48,5 m. L’angle formé par la tour et le tube est de 57°. À l’aide du schéma représentant
la situation, détermine la longueur du tube.
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle, recherche
de mesures manquantes dans un triangle rectangle
Niveau de difficulté : faible
Tour
33,5 m Tube
48,5 m
57˚
À partir de l’angle aigu dont on connaît la mesure, on identifie le rapport trigonométrique qui
met en relation le côté dont on cherche la mesure et on pose une égalité :
cos 57º = 82
x
On peut alors trouver la valeur de l’inconnue x :
x = 82 m
cos 57° z 150,56
La longueur du tube est d’environ 150,56 m.
Nom : Groupe : Date : Fiche 8.4
(suite)
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CHAPITRE 8 Intersection SN Guide B
9. À partir de la figure ci-contre, indique si les énoncés suivants
sont vrais ou faux. Justifie tes réponses.
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle, recherche de
mesures manquantes dans le triangle rectangle
Niveau de difficulté : faible
a) La mesure de l’angle XYZ est de 30°.
Vrai, puisque dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à un angle de 30° est la
moitié de celle de l’hypoténuse.
b) La valeur de cos X est de 1
2.
Vrai, cos X = 8
16 = 1 2.
c) La valeur de tan Y est supérieure à 1.
Faux. À l’aide de la relation de Pythagore, on peux déterminer que la mesure du segment YZ
est de 192 unités. Donc, tan Y = 8
192 z 0,58, ce qui est inférieur à 1.
10. Détermine la mesure de l’angle B dans chacun des triangles suivants.
Rapports trigonométriques dans
le triangle rectangle, recherche de mesures manquantes dans le triangle rectangle
Niveau de difficulté : moyen
a)
b)
X
Y
Z
16 cm
8 cm
A
B
C
15 cm
76 cm
tan B = 15
76
B = tan–1
15
76
B z 11,16°
A
B
C
8 cm
4 cm
tan
B
2
= 2
8
B
2 = tan–1
2
8
B
2 z 14,04°
B z 28,08°
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