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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.2
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.2
(suite)
Plus de En bref
b) par la condition minimale de similitude CAC.
Complément de la section En bref de la page 162 du manuel
Affirmation
1. Un triangle isocèle rectangle a une hypoténuse mesurant 7 cm.
Détermine l’aire de ce triangle rectangle.
On détermine la mesure d’une cathète :
a2 + b2 = c2
2
2
x +x =7
2
2 s x2 = 49
x = 49
2
Par la figure
m AE = 3 unités
Par la figure
m  ACB = m  AED = 90°
Ce sont deux triangles rectangles.
m BC = 3 unités
Par la figure
m DE = 9 unités
Par la figure
1
m AC
=
3
m AE
Dans les triangles semblables, les
côtés homologues ont des mesures
proportionnelles.
La mesure d’une cathète de ce triangle isocèle rectangle est de 49 cm.
3
1
m BC
= =
9
3
m DE
On détermine l’aire de ce triangle rectangle :
Les triangles ABC et ADE sont semblables.
2
bsh
Atriangle =
2
Atriangle =
Justification
m AC = 1 unité
49
49
s
2
2
2
Deux triangles ayant un angle isométrique
compris entre des côtés homologues dont
les mesures sont proportionnelles sont
nécessairement semblables (condition
minimale CAC).
Atriangle = 12,25 cm2
L’aire de ce triangle rectangle est de 12,25 cm2.
2. Soit les triangles rectangles ABC et ADE
représentés dans le plan cartésien ci-contre.
Démontre qu’ils sont semblables :
y
7
6
5
Intersection
4
3
2
3. Résous les proportions suivantes.
A(2, 6)
C
B (5, 5)
x
E(2, 3)
7
a) 2 14
(2, 5)
D (11, 3)
a) par la condition minimale de similitude AA ;
Affirmation
4
4x2 = 36
x2 = 9
14
x = ±3
x=1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x
Justification
SN
m  ACB = m  AED = 90°
 ABC
4x
c) 9 x
x= 2s7
1
0
x
7
=
2
14
Ce sont deux triangles rectangles.
Ce sont des angles correspondants formés par
deux parallèles, BC et ED, et une sécante, AD.
 ADE
Deux triangles ayant deux angles homologues
isométriques sont nécessairement semblables
(condition minimale AA).
x 1
16
3
x–1
= 16
3
d)
2x 6 1
x
8
2x2 + 6x = 8
2(x2 + 3x – 4) = 0
x – 1 = 48
x2 + 4x – x – 4 = 0
x = 49
x(x + 4) – 1(x + 4) = 0
(x + 4)(x – 1) = 0
x = –4 et x = 1
4
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
5
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Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
Les triangles ABE et ADE sont semblables.
b)
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-2
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Groupe :
Date :
Fiche 8.2
Nom :
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Fiche 8.2
(suite)
(suite)
4. Détermine l’aire :
A
5. Détermine l’aire du triangle rectangle ABC ci-contre.
Le segment AH est la hauteur relative à l’hypoténuse
du triangle ABC.
a) d’un carré dont la diagonale mesure 2 2 cm ;
8 cm
On détermine la mesure d’un des côtés du carré à l’aide de la relation de Pythagore :
H
B
a 2 + b2 = c2
C
15 cm
x2 + x2 = (2 2)2
On détermine la mesure du segment AC
à l’aide de la relation de Pythagore :
2 s x2 = 8
SN
x2 = 4
a2 + b2 = c2
x= 4
8
x = 2 cm
2
Guide B
On détermine ensuite l’aire du carré : Acarré = c2 = 22 = 4 cm2.
L’aire du carré est de 4 cm2.
+ b2 = 152
b2 = 161
b z 12,69 cm
On détermine l’aire du triangle ABC :
Atriangle ABC = b s h
2
Atriangle ABC z
12,69 s8
2
Atriangle ABC z 50,78 cm2
L’aire du triangle ABC est d’environ 50,78 cm2.
La mesure du segment AC est d’environ
12,69 cm.
b) d’un losange dont le périmètre est de 32 cm et dont la petite diagonale mesure 10 cm.
La mesure d’un des côtés du losange est de 8 cm puisque son périmètre est de 32 cm
et qu’un losange possède quatre côtés isométriques.
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On détermine la mesure de la moitié de la grande diagonale à l’aide de la relation
de Pythagore :
2
2
2
2
2
2
a +b =c
5 +x =8
6. Vrai ou faux ? Justifie ta réponse.
a) Deux losanges qui ont la même mesure de grande diagonale sont nécessairement isométriques.
Faux. Bien que deux losanges aient une même mesure de grande diagonale, ils peuvent
avoir une mesure de petite diagonale différente. Cela signifie automatiquement qu’ils ne
sont pas isométriques.
b) Deux hexagones réguliers sont toujours semblables.
Vrai. Pour que deux figures soient semblables, les angles homologues doivent être de même
25 + x2 = 64
2
mesure et les rapports des côtés homologues doivent être égaux. Un hexagone régulier a
x = 39 cm
toujours six angles de 120 degrés ; la première propriété est donc respectée. Comme les six
x = 39
La mesure de la grande diagonale du losange est de 2 39 cm.
On détermine l’aire du losange :
Alosange =
Dsd
2
Alosange =
2 39 s10
2
côtés d’un hexagone régulier sont isométriques, les rapports des côtés homologues de deux
hexagones réguliers sont donc tous égaux ; la seconde propriété est également respectée.
c) Pour que deux triangles rectangles soient semblables, il faut nécessairement qu’ils soient isocèles.
Faux. Deux triangles rectangles scalènes peuvent être semblables s’ils respectent une
Alosange z 62,45 cm2
des trois conditions minimales de similitude.
L’aire du losange est d’environ 62,45 cm2.
6
CHAPITRE 8 Intersection
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Intersection
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Date :
Fiche 8.4
Nom :
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Date :
Fiche 8.4
(suite)
Plus de Mise en pratique
3. Soit le triangle DEF ci-contre. Sachant que cos D 14 ,
Complément de la section Mise en pratique des pages 174 à 178 du manuel
détermine la mesure de EF.
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle
Niveau de difficulté : moyen
b
c
C
1 b
c
2 b
a
tan B
B
a
3 c
a
sin B ou cos C
E
F
On détermine la mesure du segment DE :
Niveau de difficulté : faible
a) Donne les appellations possibles des rapports suivants.
4 cm
Rapports trigonométriques dans le
triangle rectangle, recherche de mesures manquantes dans le triangle rectangle
A
1. Soit le triangle ABC ci-contre.
D
cos D =
m DF
m DE
4 = 1
4
m DE
sin C ou cos B
m DE = 16 cm
b) En te référant à la figure, détermine lequel de cos B et de sin B a la plus grande valeur. Justifie ta
réponse en comparant des rapports trigonométriques.
À l’aide de la relation de Pythagore, on détermine la mesure du segment EF :
Le cosinus et le sinus d’un angle sont deux rapports qui comparent une cathète à l’hypoténuse
a2 + b2 = c2
d’un triangle rectangle. Le rapport qui aura la plus grande valeur sera celui dont la mesure de
42 + b2 = 162
b = 162 – 42
la cathète sera la plus grande. En observant l’angle B, on remarque que le côté adjacent est
b z 15,49 cm
plus long que le côté opposé. On peut donc affirmer que la valeur du cosinus de l’angle B
La mesure du segment EF est d’environ 15,49 cm.
est supérieure à celle du sinus de ce même angle.
2. Pour lequel des triangles ci-dessous la valeur de sin A est-elle la plus grande ?
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Niveau de difficulté : faible
B
3 cm
C
Intersection
6 cm
A
E
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Niveau de difficulté : moyen
F
8,2 cm
1,5 cm
3 cm
D
A
12,3 cm
a) démontre que l’égalité suivante est vraie : tan T s m ST tan R s m RS ;
17 cm
T
S
R
On exprime le rapport trigonométrique tan T pour le triangle QST :
G
I
A
Q
4. À partir de la figure ci-contre :
H
9 cm
A
tan T =
m QS
m ST
On exprime le rapport trigonométrique tan R pour le triangle QRS :
Pour le triangle ADE.
tan R =
m QS
m RS
SN
On exprime la mesure du segment QS à partir de chacun de ces deux rapports
trigonométriques :
m QS = tan T sm ST
m QS = tan R sm RS
tan T sm ST = tan R sm RS
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Intersection
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9
10
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
On peut alors poser l’égalité suivante :
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-4
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.4
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.4
(suite)
b) détermine l’aire du triangle QRT, sachant que m QS 7 cm et que tan T 0,7.
(suite)
6. Dans chacun des triangles suivants, détermine la valeur de x.
Rapports trigonométriques dans le triangle
rectangle, recherche de mesures manquantes dans le triangle rectangle Niveau de difficulté : faible
On détermine la mesure du segment ST :
tan T =
m QS
m ST
0,7 =
7
m ST
a)
12 cm
e)
tan 48° = 12
sin 22° =
x
x = 12
tan 48°
x
48˚
1,96 cm 22˚
x z 10,80 cm
x
0,7
SN
b)
On détermine la mesure du segment RS :
cos 57° =
(m QS)2 = m ST sm RS
Guide B
10
x
22
41˚
4,31 cm
c)
2
L’aire du triangle QRT est de 52,15 cm2.
g)
tan 61° = 8,4
x
8,4 cm
x
5 cm
x = 8,4
tan 61°
61˚
d)
5. Sachant que cos 32° z 0,85 et que sin 32° z 0,53, détermine approximativement la valeur de
7,3 cm
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sin 148°
Identités trigonométriques Niveau de difficulté : moyen
cos (–32°)
– 2 s cos 58°
sin 148°
h)
x=
5
7,3
cos 29°
x
68˚
cos 68° =
x
21,5
x = 21,5 s cos 68°
x z 8,35 cm
x z 8,05 cm
7. Détermine la longueur de cette glissoire, sachant que les enfants doivent gravir une échelle de 3,5 m
pour accéder à son sommet et que l’angle formé par cette glissoire et le sol est de 46°.
= sin (32°) + cos (32°) – 2 s sin 32°
sin 32°
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Niveau de difficulté : faible
= 0,53 + 0,85 – 2 s 0,53
0,53
On détermine la longueur de cette glissoire :
sin 46° = 3,5
z 1,17
x=
3,5 m
Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
11
12
CHAPITRE 8 Intersection
x
3,5
sin 46°
x z 4,87 m
La longueur de cette glissoire est d’environ 4,87 m.
46˚
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21,5 cm
x
29˚
l’expression suivante : tan 32° + cos ( 32°) 2 s cos 58°.
sin 45° = x
x z 3,54 cm
x
cos 29° = 7,3
x
0,85
x = 4,31 s sin 41°
x z 2,83 cm
x = 5 s sin 45°
x z 4,66 cm
cos 32°
x
4,31
x
A$QRT = b s h = 14,9 s 7 = 52,15 cm2
tan 32° +
sin 41° =
x
x z 11,98 cm
57˚
On détermine l’aire du triangle QRT :
f)
x = 2 s cos 57°
22 cm
2
2
m RS = (m QS) = 7 = 4,9 cm
2
x = 1,96 s sin 22°
x z 0,73 cm
m ST = 7 = 10 cm
m ST
x
1,96
SN
Guide B
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Date :
Fiche 8.4
Nom :
Groupe :
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Fiche 8.4
(suite)
(suite)
9. À partir de la figure ci-contre, indique si les énoncés suivants
8. L’observatoire de Kitt Peak, en Arizona, abrite les plus grands instruments astronomiques du monde.
sont vrais ou faux. Justifie tes réponses.
Le télescope solaire McMath-Pierce fait partie du lot. Il a la forme d’un triangle rectangle, est constitué
d’une tour, haute de 33,5 m, et d’un long tube incliné. Ce tube s’enfonce dans le sol sur une distance
verticale de 48,5 m. L’angle formé par la tour et le tube est de 57°. À l’aide du schéma représentant
la situation, détermine la longueur du tube. Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle, recherche
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle, recherche de
mesures manquantes dans le triangle rectangle Niveau de difficulté : faible
8 cm
16 cm
Z
a) La mesure de l’angle XYZ est de 30°.
de mesures manquantes dans un triangle rectangle Niveau de difficulté : faible
Y
Vrai, puisque dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à un angle de 30° est la
moitié de celle de l’hypoténuse.
57˚
Tour
33,5 m
X
Tube
1
b) La valeur de cos X est de 2 .
Vrai, cos X =
48,5 m
8
1
= .
16
2
c) La valeur de tan Y est supérieure à 1.
Faux. À l’aide de la relation de Pythagore, on peux déterminer que la mesure du segment YZ
À partir de l’angle aigu dont on connaît la mesure, on identifie le rapport trigonométrique qui
met en relation le côté dont on cherche la mesure et on pose une égalité :
cos 57º =
est de 192 unités. Donc, tan Y =
8
z 0,58, ce qui est inférieur à 1.
192
82
x
10. Détermine la mesure de l’angle B dans chacun des triangles suivants.
On peut alors trouver la valeur de l’inconnue x :
Rapports trigonométriques dans
le triangle rectangle, recherche de mesures manquantes dans le triangle rectangle Niveau de difficulté : moyen
82 m
x=
z 150,56
cos 57°
a)
A
Intersection
La longueur du tube est d’environ 150,56 m.
tan B =
15 cm
C
SN
b)
B = tan–1 15
B
76 cm
15
76
76
B z 11,16°
B
tan B = 2
8 cm
B z 28,08°
A
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
13
14
4 cm
C
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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C-5
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Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
2
8
B
= tan–1 2
8
2
B
z 14,04°
2
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-6
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Groupe :
Date :
Fiche 8.4
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.4
(suite)
c)
A
cos B = 17
23
17 cm
C
(suite)
b)
B = cos
17
23
2
SN
B
cos B =
15 cm
7 cm
7
15
E
Guide B
B z 62,18°
7,5 cm
12 m
qui est schématisé par la figure ci-contre. Pour
réussir ce parcours, une personne doit se rendre du
point A au point D. Quelle est la distance parcourue
par une personne qui réussit tout le parcours ?
F
C
E
B
5m
25˚
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle,
33˚
recherche de mesures manquantes dans le triangle rectangle
On détermine la mesure du segment AC :
B
4
z 11,16 cm
sin 21°
12. Dans un centre d’escalade, on trouve un parcours
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle,
Les mesures manquantes sont celles des segments AB
et AC ainsi que celle de l’angle BAC.
37˚
4
m DF
m DF = m DE =
recherche de mesures manquantes dans le triangle rectangle Niveau de difficulté : moyen
A
Comme le triangle DEF est isocèle, les segments DE et DF sont
isométriques. On détermine la mesure des segments DE et DF :
sin 21° =
15
11. Résous chacun des triangles ci-dessous.
C
8 cm
B = cos–1 7
A
C
a)
Comme le triangle DEF est isocèle, les mesures des angles DEF et DFE sont
égales. On détermine la mesure de l’angle DEF et celle de l’angle DFE :
m  DEF = m  DFE = 180° – 42° = 69°
F
d)
Les mesures manquantes sont celles des angles DEF et DFE ainsi que
celles des segments DE et DF.
42˚
B z 42,34°
B
23 cm
–1
D
m AC = 7,5 s tan 37°
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On détermine la distance parcourue entre les
points A et B :
m AC z 5,65 cm
7,5
cos 37° =
m AB
m AB = 7,5
cos 37°
On détermine la mesure de l’angle BAC :
m  BAC = 180° – 90° – 37° = 53°
tan 25° = m CF
m CF = 5 s tan 25°
m CF z 2,33 m
m AB z 5,96 m
m AB z 9,39 cm
On détermine la distance entre les points C et F :
5
5
m AB
5
m AB =
cos 33°
cos 33° =
On détermine la mesure du segment AB :
A
D
Niveau de difficulté : moyen
m AC
tan 37° =
7,5
On détermine la distance entre les points B et C :
On détermine la distance entre les points C et D :
m BC = 12 – 3,25 – 2,33 z 6,42 m
5
cos 25° =
m CD
5
m CD =
cos 25°
On détermine la distance totale parcourue par
une personne qui réussit tout le parcours :
d z 5,96 + 5,52 + 6,42 z 17,9 m
m CD z 5,52 m
On détermine la distance entre les points B et E :
tan 33° =
La distance parcourue par une personne qui
réussit tout le parcours est d’environ 17,9 m.
m BE
5
m BE = 5 s tan 33°
m BE z 3,25 m
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Intersection
SN
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15
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Guide B
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Fiche 8.4
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Fiche 8.4
(suite)
13. Debout devant une église ancienne, tu observes une gargouille.
De l’endroit où tu te trouves, tu remarques que l’angle d’élévation du
point le plus bas de la gargouille est de 24° et que celui de son point
le plus élevé est de 47°. Quelle est la hauteur de la gargouille si tu te
trouves à une distance de 5,2 m du mur où elle est nichée ?
(suite)
15. Dans un camp de vacances, des enfants sont appelés à faire une activité d’hébertisme. Un des jeux
C
consiste à parcourir un trajet sur des billots de bois sans poser le pied à terre. La différence entre
la hauteur d’un billot et celle du suivant est toujours la même tout au long du parcours. De plus, la
distance entre deux billots est toujours de 30 cm. Sachant que la hauteur du premier billot est de
50 cm et que celle du sixième billot est de 72 cm, détermine la mesure de l’angle demandé dans
le schéma ci-dessous. Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle, recherche de mesures
a
c
D
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle, recherche
de mesures manquantes dans un triangle rectangle Niveau de difficulté : faible
B
24˚
b
47˚
5,2 m
manquantes dans le triangle rectangle
?
Niveau de difficulté : élevé
A
72 cm
50 cm
À partir de l’angle de 24°, on identifie le
rapport trigonométrique qui met en relation le
côté dont on cherche la mesure et on pose une
égalité :
tan 24° =
b
.
5,2
On trouve la valeur de l’inconnue b :
bTAN²sz 2,3 m
On trouve la valeur de l’inconnue c :
cTAN²sz 5,6 m
On peut alors calculer la hauteur de la
gargouille :
On détermine la différence de hauteur entre
chaque billot :
a = 5,6 m – 2,3 m = 3,3 m
72 – 50
= 4,4 cm
5
La hauteur de la gargouille est d’environ 3,3 m.
La différence de hauteur entre chaque billot
est donc de 4,4 cm.
tan  = 4,4
30
À partir de l’angle de 47°, on identifie le
rapport trigonométrique qui met en relation le
côté dont on cherche la mesure et on pose une
égalité :
tan 47° =
On détermine la mesure de l’angle demandé :
 = tan–1
4,4
30
 z 8,34°
La mesure de l’angle demandé est
d’environ 8,34°.
c
5,2
16. Dans un parc d’attractions, un wagon quitte le point A,
prend de la vitesse et gravit une distance verticale pour
se rendre au point D. Il refait ensuite le trajet dans le
sens inverse pour revenir au point A. La longueur du
manège entre les points B et C est de 60 m. Détermine
la distance totale parcourue par le wagon à la fin du trajet.
14. Deux poteaux sont distants de 50 m. À partir du sommet du plus petit poteau, l’angle d’élévation qui
Intersection
se rend jusqu’au sommet du plus grand poteau est de 5°. Sachant que la hauteur du petit poteau
est de 5,38 m, détermine celle du plus grand. Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle,
42 m
A
D
62˚
B
C
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle,
recherche de mesures manquantes dans le triangle rectangle
recherche de mesures manquantes dans le triangle rectangle Niveau de difficulté : moyen
Niveau de difficulté : moyen
On détermine la différence, en mètres, entre la hauteur du petit et du grand poteau :
tan 5° =
On détermine la distance entre les points A et B :
x
50
42
m AB
m AB = 42
sin 62°
sin 62° =
x = 50 s tan 5°
x z 4,37 m
ds
SN
d z 259,8 m
m AB z 47,57 m
La différence de hauteur entre les deux poteaux est donc d’environ 4,37 m.
On détermine la hauteur du grand poteau :
On détermine la distance entre les points C et D :
À la fin du trajet, le wagon aura parcouru une
distance totale d’environ 259,8 m.
42
m CD
42
m CD =
tan 62°
tan 62° =
La hauteur du grand poteau est donc d’environ 9,75 m.
m CD z 22,33 m
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
17
18
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
C-7
4/16/09 5:06:42 PM
Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
h z 5,38 + 4,37 z 9,75 m
On détermine la distance totale parcourue par
le wagon à la fin du trajet :
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-8
SN_GE-B_Ch8_DR_CORRa.indd 8
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.4
Nom :
Groupe :
Date :
(suite)
17. Sans utiliser la calculatrice, donne les deux rapports trigonométriques équivalant à ceux
indiqués ci-dessous.
sin 37°
(suite)
y
18. Soit le cercle de rayon 1 centré à l’origine ci-contre.
Relations entre les rapports trigonométriques d’angles complémentaires
A (0, y)
Valeurs trigonométriques remarquables
et supplémentaires Niveau de difficulté : moyen
1
Fiche 8.4
Niveau de difficulté : moyen
C (x, 0,46)
sin 37° = cos (90° – 37°) = cos 53°
D (x, 0,5)
B (0,91, y)
0,5
x
0,5
sin 37° = sin (180° – 37°) = sin 143°
SN
a) Complète les coordonnées des points A, B, C et D de ce cercle.
2 cos 48°
cos 48° = sin (90° – 48°) = sin 42°
A
Guide B
cos 48° = –cos (180° – 48°) = –cos 132°
3 tan 13°
0 + y2 = 1
B
(0,91)2 + y2 = 1
D
x2 + (0,5)2 = 1
y2 = 1
y2 = 0,171 9
x2 = 0,788 4
y=p1
y z p 0,41
x z p 0,89
x z p 0,87
y z 0,41
x z –0,89
x z 0,87
y=1
1
1
tan 13° =
=
tan (90° – 13°)
tan 77°
C
x2 + (0,46)2 = 1
x2 = 0,75
tan 13° = –tan (180° – 13°) = –tan 167°
b) Quelles sont les coordonnées des points images Aa, Ba, Ca et Da si on effectue une réflexion
d’axe x y ? Que remarques-tu au sujet des nouvelles coordonnées ?
Aa(1, 0), Ba(0,41, 0,91), Ca(0,46, –0,89) et Da(0,5, 0,87)
4
–
tan 158°
–
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–
Les coordonnées des abscisses et des ordonnées sont inversées pour chacun des points.
tan 158° = tan (180° – 158°) = tan 22°
tan 158° =
1
1
=
tan (90° – 22°)
tan 68°
19. On observe le déplacement du réflecteur
5 sin 117°
d’une roue de vélo sur un quart de tour.
Décris l’évolution du sinus et du cosinus
de l’angle formé par le réflecteur entre son
point de départ et sa nouvelle position.
sin 117° = sin (180° – 117°) = sin 63°
Réflecteur
Déplacement
Valeurs trigonométriques remarquables
sin 63° = cos (90° – 63°) = cos 27°
Niveau de difficulté : moyen
Pendant le déplacement, le réflecteur se déplace sur 90°. Le sinus de l’angle, qui est l’ordonnée,
6
–cos
141°
–
passe de 0, à 0°, pour augmenter graduellement jusqu’à atteindre 1, à 90°. Pour ce qui est
cos 39° = sin (90° – 39°) = sin 51°
du cosinus, qui est l’abscisse, il est de 1 au départ, à 0°, et diminue graduellement pour
cos 141° = cos (180° – 141°) = cos 39°
atteindre 0, à 90°.
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
19
20
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
4/16/09 5:06:42 PM
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
SN_GE-B_Ch8_DR_CORRa.indd 9
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.4
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.4
(suite)
S
20. Une tige télescopique qui permet de déployer une toile est représentée
par la figure ci-contre. La tige et la toile sont solidement ancrées au sol à
une distance de 3,4 m l’une de l’autre. La tige télescopique a une hauteur
de 2,5 m et elle peut s’allonger de 2,2 m. La toile s’attache à l’extrémité
de la tige et s’étire alors en conséquence pour être totalement déployée.
Détermine toutes les mesures possibles de l’angle que peut former le haut
de la toile avec le sol. Rapports trigonométriques dans le triangle
rectangle, recherche de mesures manquantes dans un triangle rectangle
21. Les points R et C appartiennent à un cercle de rayon 1. Les coordonnées de R sont ( 3 ,
) et celles
de C (0,2, ?). Détermine la coordonnée manquante de C ainsi que la mesure de l’angle au centre
qui intercepte l’arc CR. Relations entre les rapports trigonométriques d’angles complémentaires
2,2 m
B
et supplémentaires
2,5 m
T
Niveau de difficulté : moyen
(suite)
–1
a b
3,4 m
M
Niveau de difficulté : moyen
On détermine la coordonnée manquante
pour le point C :
On détermine la mesure de l’angle associé
au point R :
(0,2)2 + y2 = 1
sin R = 2 2
3
2
y = 0,96
On cherche la mesure des angles a et b.
y z 0,98
2,5
3,4
On détermine la mesure de l’angle associé
au point C :
b = tan-1 2,5 z 36,3°
sin C = 0,98
3,4
À partir des mesures des deux côtés connus du triangle TSM, on identifie le rapport
trigonométrique qui met en relation l’angle de mesure inconnue et on pose une égalité :
–1
R = cos-1 3
R z 70,5°
R z 109,5°
On peut alors déterminer la mesure de l’angle
qui intercepte l’arc CR :
arc CR = 109,5° – 78,5° = 31°
cos C = 0,2
–
tan a = 4,7
3
R = sin-1 2 2
R z (180° – 70,5°) z 109,5°
Les coordonnées de C sont (0,2, 0,98).
On trouve la valeur de l’inconnue b :
–
cos R = 1
3
y z ±0,98
À partir des mesures des deux côtés connus du triangle TBM, on identifie le rapport
trigonométrique qui met en relation l’angle de mesure inconnue et on pose une égalité :
tan b =
2
23
–
C = sin 1 (0,98)
C = cos 1 (0,2)
C z 78,5°
C z 78,5°
La mesure de l’angle au centre qui intercepte
l’arc CR est de 31°.
3,4
On trouve la valeur de l’inconnue a :
22. Soit le triangle RST rectangle en S.
a = tan-1 4,7 z 54,1°
3,4
Détermine la mesure de l’angle R si
L’angle formé par le haut de la toile et le sol se situe dans l’intervalle [36,3°, 54,1°].
sin T
2
3 sin R.
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Niveau de difficulté : moyen
Intersection
On simplifie l’expression pour n’avoir
qu’un seul angle :
SN
SN
Guide B CHAPITRE 8
21
22
Donc,
t
r
=6s
s
s
1
m  R = tan-1 6 z 9,5°
s
La mesure de l’angle R est d’environ 9,5°.
T
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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C-9
4/16/09 5:06:43 PM
Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
Intersection
tan R = 1
6
R
r
r
s
t a une valeur six fois plus grande que r.
On représente la situation par un schéma :
t
sin R =
y = 6r
cos R = 6 sin R
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
cos R = t
s
sin T = 6 sin R
S
On trouve la valeur de l’inconnue :
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-10
SN_GE-B_Ch8_DR_CORRa.indd 10
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.4
(suite)
23. L’art in situ est une démarche artistique qui consiste à prendre en compte le lieu où l’œuvre est
installée. Chaque été, une exposition d’art in situ est présentée dans un terrain boisé du village
de Val-David. L’activité consiste à créer des représentations artistiques en pleine nature, en prenant
bien soin d’intégrer l’environnement à l’œuvre, tout en respectant la nature. Cette année, on t’invite
à participer à l’exposition. Ton projet : un tronc d’arbre autour duquel s’enroule un serpent. Le tronc
d’arbre, de 8 cm de rayon, est cylindrique. Un ruban vert, représentant le serpent, fait trois fois le
tour du tronc de l’arbre. L’angle d’inclinaison du ruban est de 24°. Détermine sur quelle hauteur
le serpent s’enroulera autour du tronc d’arbre. Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle,
recherche de mesures manquantes dans un triangle rectangle Niveau de difficulté : élevé
SN
On représente la situation par un schéma et on identifie le côté dont on cherche la mesure :
Tronc d’arbre
Guide B
Ruban vert
Hauteur x
24°
On calcule la base du triangle, qui correspond à 3 fois la circonférence de l’arbre
3 s C = 3 s 2P s 8 z 150,8 cm
À partir de l’angle aigu dont on connaît la mesure, on identifie le rapport trigonométrique qui
met en relation le côté dont on cherche la mesure et on pose une égalité :
tan 24° =
x
150,8 cm
On trouve la valeur de l’inconnue x :
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x z tan 24º s 150,8 cm z 67,14 cm
Le serpent s’enroulera autour du tronc d’arbre sur une hauteur d’environ 67,14 cm.
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
23
4/16/09 5:06:43 PM
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
SN_GE-B_Ch8_DR_CORRb.indd 11
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.7
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.7
(suite)
Plus de Mise en pratique
2. Dans un triangle isocèle, un des angles mesure 102° et les côtés égaux mesurent 25 cm.
Quelle est la longueur du troisième côté ?
Complément de la section Mise en pratique des pages 187 à 190 du manuel
Loi des sinus, recherche de mesures dans un triangle quelconque Niveau de difficulté: moyen
Comme la somme des angles du triangle est égale à 180°, il ne peut pas y avoir un deuxième
angle de 102°. Les deux autres angles sont donc égaux, puisque le triangle est isocèle, et ils
mesurent 39° chacun. Le côté dont on cherche la longueur est opposé à l’angle de 102°.
1. Détermine la mesure du segment AB dans chacun des triangles suivants.
Loi des sinus, recherche de mesures dans un triangle quelconque Niveau de difficulté: faible
a)
B
x
25
=
sin 102° sin 39°
25 s sin 102°
x=
z 38,9
sin 39°
m  B = 180° – 80° – 50° = 50°
Puisque m  B = m  C = 50°, le triangle ABC est isocèle.
La mesure du segment AB est de 18 cm.
80˚
A
50˚
18 cm
Le troisième côté du triangle isocèle mesure environ 38,9 cm.
C
3. Visible à 80 km de distance, la croix lumineuse située sur le mont Royal fait partie du paysage
b) A
19˚
montréalais depuis 1924. Pour calculer sa hauteur, un arpenteur a pris une première mesure
et a obtenu un angle d’élévation de 44° pour le sommet de la croix. Après avoir reculé de 40 m,
il a mesuré un nouvel angle d’élévation et il a obtenu cette fois 23°. Quelle est la hauteur de la croix ?
m  C = 180° – 19° – 15° = 146°
Loi des sinus, recherche de mesures dans un triangle quelconque Niveau de difficulté: moyen
m AB
12
=
sin 146°
sin 19°
C
12 m
c)
C
m AB = 12 s sin 146° z 20,61 m
sin 19°
15˚
B
La mesure du segment AB est d’environ 20,61 m.
Intersection
m CH
50
Dans le triangle ABC, m  A = 180° – 44° = 136° et m  C = 180° – 136° – 23° = 21°.
m CH = 50 s sin 64° z 44,94 m
50 m
48 m
40
= m AC
sin 23°
sin 21°
40 s sin 23°
m AC =
sin 21°
m BH = 502 – 44,942 z 21,92 m
m AH = 482 – 44,942 z 16,86 m
B
64˚
m AB z 21,92 m + 16,86 m z 38,8 m
A
m AC z 43,61
La mesure du segment AB est d’environ 38,8 m.
SN
d) C
La mesure du segment AC est d’environ 43,61 m.
Dans le triangle rectangle formé par la croix, le sol et le segment AC, on peut utiliser le rapport
trigonométrique sinus pour trouver la hauteur h de la croix.
m AB
20
=
sin 38°
sin 110°
38˚
h z 43,61 s sin 44° z 30,3 cm
A
Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
27
28
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
C-11
4/27/09 10:36:19 AM
Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
h
43,61
La hauteur de la croix est d’environ 30 m.
La mesure du segment AB est d’environ 13,10 m.
110˚
B
sin 44° z
m AB = 20 s sin 38° z 13,10 m
sin 110°
20 cm
44˚
40 m
On trace CH, la hauteur relative au côté AB.
sin 64° =
A
23˚
B
C
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-12
SN_GE-B_Ch8_DR_CORRb.indd 12
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.7
Nom :
Groupe :
Date :
(suite)
4. Détermine la mesure de l’angle A dans chacun des triangles suivants.
(suite)
5. Résous chacun des triangles ci-dessous.
Loi des sinus, recherche de mesures dans un triangle quelconque Niveau de difficulté: faible
a)
A
C
Loi des sinus, recherche de mesures dans un triangle quelconque Niveau de difficulté: faible
a)
L’angle A est obtus.
2,4 cm
20˚
B
5,8 cm
140˚
2,4
= 5,8
sin 20°
sin A
5,8 s sin 20°
sin A =
= 0,826 5
2,4
B
C
m  C = 180° – 144° = 36°
m AC
= 32
sin 140° sin 36°
32 cm
m AC =
m  A = sin–1 (0,826 5) z 55,7°
ou m  A z 180° – 55,7° z 124,3°
4˚
SN
A
Puisqu’il est obtus, l’angle A mesure environ 124,3°.
Guide B
C
18 cm
B
32 s sin 4°
z 3,8 cm
sin 36°
29
18
=
sin 51°
sin A
18 s sin 51°
sin A =
= 0,428 4
29
29 cm
51˚
32 s sin 140°
z 35 cm
sin 36°
m BC
= 32
sin 4°
sin 36°
m BC =
b)
Fiche 8.7
A
m  A = sin–1 (0,428 4) z 28,8°
b)
L’angle A mesure environ 28,8°.
D
2,5 m
F
6m
62˚
E
6
= 2,5
sin 62°
sin E
sin E = 2,5 s sin 62° = 0,367 9
6
m  E = sin–1 (0,367 9) z 21,6°
m  D = 180° – 62° – m  E z 180° – 62° – 21,6° z 96,4°
c)
B
45˚
C
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30 mm
30
35
=
sin 45°
sin B
sin B = 35 s sin 45° = 0,824 9
30
m EF
6
=
sin 96,4°
sin 62°
m EF =
L’angle B est obtus ; donc m  B = 180° – 55,6° =
124,4°
35 mm
6 s sin 96,4°
z 6,75 m
sin 62°
et m  A = 180° – 45° – m  B
m  A = 180° – 45° – 124,4° = 10,6°
A
c)
L’angle A mesure environ 10,6°.
Q
P
d)
B
39 km
135˚
65 km
A
C
m  R = 180° – 108° = 72°
50˚
65
39
=
sin 135°
sin A
sin A = 39 s sin 135° = 0,424 3
65
58˚
m PR
= 28
sin 50°
sin 58°
28 mm
m PR = 28 s sin 50° z 25,3 mm
sin 58°
R
m PQ
28
=
sin 72°
sin 58°
m  A = sin–1 (0,424 3) z 25,1°
m PQ =
L’angle A mesure environ 25,1°.
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
29
30
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
28 s sin 72°
z 31,4 mm
sin 58°
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
4/27/09 10:36:20 AM
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
SN_GE-B_Ch8_DR_CORRb.indd 13
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.7
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.7
(suite)
6. Dans la figure ci-dessous, les segments AB et CD sont parallèles.
manquantes dans un triangle quelconque
(suite)
de l’autre côté de la vallée. De l’endroit où il se trouve, le randonneur
voit le premier alpiniste avec un angle d’élévation de 48° et le second
alpiniste avec un angle d’élévation de 51°. Si les deux alpinistes
sont à 8,3 m l’un de l’autre, quelle distance sépare le randonneur
du second alpiniste ?
Niveau de difficulté : moyen
A
C
20 cm
12 cm
B
30 cm
22˚
D
D
7. Un randonneur remarque deux alpinistes sur une paroi rocheuse
Loi des sinus, recherche de mesures
8,3 m
P
x
Loi des sinus, recherche de mesures dans un triangle quelconque
E
Niveau de difficulté : faible
a) Quelle est la mesure de l’angle B ?
51˚
m  B = m  D car les segments AB et CD sont parallèles, et deux droites parallèles coupées
par une sécante forment des angles correspondants isométriques.
48˚
O
On détermine la mesure de l’angle DPO :
m  DPO = 180º – (90º – 48º) = 138º
On trouve la mesure de l’angle D en utilisant la loi des sinus.
12
= 30
sin 22°
sin D
30 s sin 22°
sin D =
= 0,936 5
12
On remplace les mesures connues du triangle DPO dans la loi des sinus :
m  D = sin–1 (0,936 5) z 69,5°
On trouve la valeur de l’inconnue x :
m  B z 69,5°
x = 8,3 s sin 138°
L’angle B mesure environ 69,5°.
x z 106,12
8,3
x
=
sin 3°
sin 138°
sin 3°
La distance qui sépare le randonneur du second alpiniste est d’environ 106,12 m.
8. Est-ce que la loi des sinus peut être utilisée pour trouver une mesure manquante dans un triangle
rectangle ? Justifie ta réponse.
b) Quelle est la mesure de BE ?
Intersection
Loi des sinus Niveau de difficulté : faible
m  A = 180° – 22° – m  B z 180° – 22° – 69,5° z 88,5°
Voici un triangle rectangle. On pose les proportions de la loi des sinus.
a
b
=
sin A
sin B
m BE
= 20
sin 88,5°
sin 22°
m BE =
=
c
sin C
C
La valeur de sin B, c’est-à-dire sin 90°, est de 1. Les proportions
deviennent donc les suivantes :
20 s sin 88,5°
z 53,4
sin 22°
a
b
c
= =
sin A
1
sin C
La mesure du segment BE est d’environ 53,4 cm.
SN
En simplifiant les égalités précédentes, on obtient les
rapports trigonométriques suivants :
b
sin C =
B
c
A
c
b
La loi des sinus peut être utilisée dans un triangle. Les calculs sont équivalents au rapport
trigonométrique sinus dans le triangle rectangle.
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
31
32
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
C-13
4/27/09 10:36:20 AM
Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
sin A = a
b
a
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-14
SN_GE-B_Ch8_DR_CORRb.indd 14
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.7
Nom :
B
7,2 cm
Loi des cosinus, recherche de mesures
dans un triangle quelconque
78˚
9,5 cm
A
Fiche 8.7
(suite)
y
x
Niveau de difficulté : faible
Date :
(suite)
9. Détermine les six mesures manquantes
dans la figure suivante. Les sommets A,
F et C sont alignés.
Groupe :
10,4 cm
85˚
f
F
C
SN
h
6,3 cm
Soit f, la mesure de l’angle DFG.
On remplace les mesures connues du
triangle CDG dans la loi des cosinus et
on isole l’inconnue :
On remplace les mesures connues du
triangle DFG dans la loi des cosinus et
on isole l’inconnue :
11,12 = 6,32 + 5,82 – 2 s 6,3 s 5,8 s cos h
6,32 = 92 + 5,72 – 2 s 9 s 5,7 s cos f
h = cos
5,7 cm 5,8 cm
G
9 cm
g
Soit h, la mesure de l’angle CGD.
11,1 cm
–1
6,32 + 5,82 – 11,12
2 s 6,3 s 5,8
f = cos
–1
92 + 5,72 – 6,32
2 s 9 s 5,7
On trouve la valeur de l’inconnue h :
On trouve la valeur de l’inconnue f :
h z 133°
f z 44°
L’angle CGD mesure environ 133°.
L’angle DFG mesure environ 44°.
Guide B
v
13,5 cm
D
10. Deux maisons sont bâties sur un même lot et le terrain
E
Soit x, la mesure du segment AB.
Soit g, la mesure de l’angle FCG.
On remplace les mesures connues du
triangle ABF dans la loi des cosinus :
On remplace les mesures connues du
triangle FCG dans la loi des cosinus et
on isole l’inconnue :
x2 = 7,22 + 9,52 – 2 s 7,2 s 9,5 s cos 78°
On trouve la valeur de l’inconnue x :
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
–1
10,42 + 5,82 – 5,72
2 s 10,4 s 5,8
Le segment AB mesure environ 10,66 cm.
On trouve la valeur de l’inconnue g :
Soit y, la mesure du segment BC.
m AB = 24 m
m BM = 18,6 m
g z 25°
Dans le triangle ABC :
m  BFC = 180° – 78° = 102°
Soit v, la mesure du segment AE.
37,2
24
=
sin 70°
sin C
On remplace les mesures connues du
triangle BCF dans la loi des cosinus :
On remplace les mesures connues du
triangle AEF dans la loi des cosinus :
y2 = 7,22 + 10,42 – 2 s 7,2 s 10,4 s cos 102°
v2 = 9,52 + 13,52 – 2 s 9,5 s 13,5 s cos 85°
On trouve la valeur de l’inconnue y :
On trouve la valeur de l’inconnue v :
y z 13,83
v z 15,82
Le segment BC mesure environ 13,83 cm.
Le segment AE mesure environ 15,82 cm.
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
24 m
C
L’angle FCG mesure environ 25°.
On détermine la mesure de l’angle BFC :
41˚
M
g = cos
29˚
Loi des sinus et recherche de mesures dans un triangle quelconque
Niveau de difficulté: moyen
5,72 = 10,42 + 5,82 – 2 s 10,4 s 5,8 s cos g
x z 10,66
A
doit être partagé en deux parties au moyen d’une clôture.
La clôture divise la façade du terrain en son milieu, au point M
tel qu’illustré dans le schéma ci-contre. Quelle est la longueur
de clôture nécessaire ?
sin C =
B
37,2 m
Dans le triangle ABM :
m AM
18,6
z
sin 72,7° sin 41°
m AM z
18,6 s sin 72,7°
sin 41°
z 27,1
La longueur de la clôture est d’environ 27,1 m.
24 s sin 70°
= 0,606 3
37,2
m  C = sin–1 (0,606 3) z 37,3°
m  B z 180° – 70° – 37,3° z 72,7°
33
34
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.7
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.7
(suite)
(suite)
M
13. Détermine la mesure du segment LM sachant que
11. Dans un parc forestier, une tour d’observation d’une largeur de 4 m permet
?
le segment LO est parallèle au segment MN.
aux gardes de surveiller l’apparition d’incendies de forêt et aux visiteurs d’admirer
le panorama. Pour se rendre au sommet de la tour, on doit emprunter un premier
escalier incliné à 65°, puis un deuxième. L’angle formé par les deux escaliers est
de 105°. Quelle est la hauteur de la tour d’observation ?
Loi des sinus, loi des cosinus, triangles semblables
105˚
23,7 cm
Niveau de difficulté : faible
Recherche de mesures de côtés dans un triangle rectangle Niveau de difficulté: moyen
K
4m
O
N
À l’aide d’un tableau affirmation-justification, on démontre que les triangles KLO et KMN
sont semblables :
On abaisse une hauteur issue du sommet de l’angle de 105°. Ce segment mesure 4 m, soit la
largeur de la tour. Il partage le triangle quelconque en deux triangles rectangles.
Affirmation
Pour calculer la hauteur de la tour jusqu’au début du deuxième escalier, on utilise le rapport
trigonométrique tangente :
K=K
h1
 KLO
4
h1 = 4 s tan 65° z 8,58 m
 KMN
$ KLO ~ $ KMN
Pour calculer la hauteur de la deuxième section de la tour, on utilise le rapport
trigonométrique tangente :
tan 40° =
35˚
16,5 cm
65˚
tan 65° =
L
13 cm
Justification
L’angle est commun aux deux triangles.
Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles
correspondants isométriques.
Deux triangles ayant deux angles homologues isométriques sont nécessairement semblables (condition minimale AA).
h2
On détermine la mesure du segment LO :
4
On remplace les mesures connues du triangle KLO dans la loi des cosinus :
h2 = 4 s tan 40° z 3,36 m
m LO2 = 132 + 16,52 – 2 s 13 s 16,5 s cos 35°
La hauteur totale de la tour est égale à la somme des deux hauteurs :
On trouve la valeur de l’inconnue :
8,58 + 3,36 z 11,94
La tour d’observation a une hauteur d’environ 12 m.
m LO z 9,48 m
Intersection
Puisque les côtés homologues sont proportionnels dans les triangles semblables, on trouve
le rapport de similitude entre les triangles KLO et KMN :
C
12. Un joueur de hockey, dans le feu de l’action, réussit un superbe coup :
4,2 m
il effectue une passe parfaite par ricochet sur la bande. La rondelle a
parcouru une distance de 2,6 m avant de rebondir sur la bande pour
franchir une distance de 4,2 m avant d’atteindre le bâton de son coéquipier.
L’angle du ricochet est de 107°. Quelle était la distance initiale entre le
joueur et son coéquipier ? Loi des cosinus, recherche de mesures
k = 23,7 ÷ 9,48 z 2,5
A
107˚
On détermine la mesure du segment LM :
a
m KM = 2,5 s 13 = 32,5 cm
2,6 m
dans un triangle quelconque Niveau de difficulté : faible
m LM = 32,5 – 13 = 19,5 cm
B
SN
La mesure du segment LM est de 19,5 m.
On remplace les mesures connues du triangle ABC dans la loi des cosinus :
a2 = 4,22 + 2,62 – 2 s 4,2 s 2,6 s cos 107°
a z 5,55
La distance initiale entre le joueur de hockey et son coéquipier était d’environ 5,55 m.
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
35
36
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
On trouve la valeur de l’inconnue a :
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-16
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.7
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.7
(suite)
(suite)
14. En suivant les étapes ci-dessous, prouve qu’il est possible d’obtenir l’équation de la loi des cosinus en n’utilisant
b)
C
comme outils que la relation de Pythagore et les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.
La mesure que l’on cherche est b. On exprime alors toutes les
mesures du triangle ABC à l’aide de rapports trigonométriques
selon l’angle qui est opposé à ce segment : l’angle ABC.
CH
sin B a
BH
cos B a
CH a sin B
BH a cos B
B
On détermine la mesure de l’angle C :
50˚
30˚
C
D
b
a
24,8 mm
B
H
A
55,1 mm
c
SN
À l’aide de la relation de Pythagore, on donne l’expression algébrique qui permet de retrouver
la mesure du segment AC, dans le triangle AHC, selon les expressions précédentes :
sin 50°
x = m BD z 31,88 mm
A
Guide B
On remplace les mesures connues du triangle ABD dans la loi des
cosinus et on isole l’inconnue :
AC2 = CH2 = AH2
2
2
b = (a sin B) + (c – a cos B)
On isole le terme manquant dans la proportion de l’étape 3 et on
trouve la valeur de l’inconnue :
x = sSIN²
?
Loi des sinus, relation de Pythagore, valeurs trigonométriques remarquables Niveau de difficulté : moyen
On remplace les mesures connues du triangle BCD dans la loi des sinus :
24,8
x
sin 50° = sin 100°
62 mm
AH c a cos B
m  C = 180° – (50° + 30°) = 100°
2
31,882 = 622 + 55,12 – 2 s 62 s 55,1 s cos A
31,882 – 622 – 55,12
–2 s 62 s 55,1
b2 = a2 sin2 B + c2 – 2ac cos B + a2 cos2 B
m  A = cos
b2 = a2 sin2 B + a2 cos2 B + c2 – 2ac cos B
m  A z 30,9°
b2 = a2 (sin2 B + cos2 B) + c2 – 2ac cos B ou sin2 B + cos2 B = 1
La mesure de l’angle A est d’environ 30,9°.
2
2
–1
2
b = a + c – 2ac cos B
E
– la mesure de TR est de 125 cm ;
15. Détermine la mesure de l’angle A dans chacune des figures suivantes.
Loi des sinus, lois des cosinus,
– la mesure de ST est de 93 cm ;
recherche de mesures manquantes dans les triangles quelconques Niveau de difficulté : moyen
a)
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124˚
?
A
B
110 dm
86 dm
25˚
C
54˚
T
– la mesure de RS est de 64 cm.
D
96 dm
R
16. Détermine la mesure de tous les angles du triangle TES sachant que :
De cette façon, on obtient l’expression de la loi des cosinus.
S
Loi des cosinus, recherche de mesures dans un triangle quelconque Niveau de difficulté : moyen
On remplace les mesures connues du triangle BCD dans
la loi des cosinus :
On détermine la mesure de l’angle STR :
932 = 642 + 1252 – 2 s 64 s 125 s cos R
m  R = cos
m DB z 48,46
On remplace les mesures connues du triangle
TRS dans la loi des cosinus et on isole
l’inconnue :
La longueur du segment DB est d’environ 48,46 dm.
642 = 932 + 1252 – 2 s 93 s 125 s cos T
La mesure de l’angle ERS est d’environ 46,2°.
On remplace les mesures connues du triangle ABD dans
la loi des sinus :
m  T = cos–1
m DB2 = 1102 + 862 – 2 s 110 s 86 s cos 25°
On détermine la longueur du segment DB :
On remplace les mesures connues du triangle
TRS dans la loi des cosinus et on isole le
terme manquant :
96
(0,418 5)
932 – 642 + 1252
–2 s 64 s 125
m  R z 46,2°
m  RES = 180° – 46,2° – 54° = 79,8°
On détermine la mesure de l’angle ERS :
sin A = sSIN² z 0,418 5
On détermine la mesure de l’angle RES :
La mesure de l’angle STE est d’environ 29,8°.
On isole le terme manquant et on trouve sa valeur :
–1
m  T z 29,8°
48,46
96
sin A = sin 124°
m  A = sin
642 – 932 + 1252
–2 s 93 s 125
–1
m  A z 24,7°
On détermine la mesure de l’angle TES :
m  TES = 180° – 79,8° = 100,2°
On détermine la mesure de l’angle TSE :
m  TSE = 180° – 100,2° – 29,8° = 50°
Les mesures des angles STE, TES et TSE sont
respectivement de 29,8°, 100,2° et 50°.
La mesure de l’angle A est d’environ 24,7°.
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
37
38
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.7
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.8
(suite)
17. Jeanne et Simon se trouvent à l’orée d’une forêt (O). Ils doivent se rendre à
leur campement (C), mais ils ne sont pas d’accord sur le chemin à prendre.
Ils décident donc de se séparer et de faire la course pour voir qui arrivera le R
premier. Jeanne suit la route en bordure de la forêt et, au rocher rouge (R),
emprunte un sentier aménagé. Simon se rend au campement en ligne droite
en empruntant la piste. Voici un schéma de leurs trajets respectifs.
Plus de Mise en pratique
O
0,675 km
49˚
Complément de la section Mise en pratique des pages 197 à 199 du manuel
1. Calcule l’aire de chacun des triangles suivants.
Aire des triangles Niveau de difficulté: faible
0,925 km
Loi des cosinus, recherche de mesures dans un triangle quelconque
a) A
Niveau de difficulté : moyen
sin 20° =
20 dm
C
a) Quelle distance sépare le rocher rouge (R) du campement (C) ?
20˚
14 dm
C
hC
14
hC = 14 s sin 20°
B
A$ = b s h
2
On remplace les mesures connues dans la loi des cosinus et on isole l’inconnue :
A$ = 20 s 14 s sin 20°
m RC2 = 0,6752 + 0,9252 – 2 s 0,675 s 0,925 s cos 49°
A$ z 47,88 dm2
2
m RC z 0,701 km
La distance qui sépare le rocher rouge (R) du campement (C) est d’environ 0,701 km.
b) Si Jeanne court à une vitesse de 2,36 m/s et Simon à une vitesse de 1,53 m/s, lequel des deux
remportera la course ?
b)
D
sin 50° =
hE
2,2
hE = 2,2 ssin 50° z 1,685
Trajet de Jeanne :
3,4 km
Distance parcourue :
d = 0,675 + 0,701 = 1,376 km
50˚
F
2,2 km
Vitesse :
m DF z 2,22 – 1,6852 + 3,42 – 1,6852
m DF z 1,414 + 2,953 z 4,37
E
A$ = b s h
2
Intersection
v = 2,36 m/s s 3,6 = 8,496 km/h
A$ z
Temps mis pour parcourir la distance entre l’orée de la forêt (O) et le campement (C) :
4,37 s 1,685
2
A$ z 3,68 km2
1,376
t = 8,496 z 0,162 h z 9 min 43 s
Trajet de Simon :
Distance parcourue :
c)
M
52˚
d = 0,925 km
SN
Vitesse :
hO
9
hO = 9 s sin 52° z 7,09
7,5 cm
9 cm
v = 1,53 m/s s 3,6 = 5,508 km/h
Temps mis pour parcourir la distance entre l’orée de la forêt (O) et le campement (C) :
sin 52° =
N
m MN z 92 – 7,092 + 7,52 – 7,092
m MN z 5,544 + 2,45 z 7,99
O
bsh
2
A$ =
C’est Jeanne qui remportera la course. Elle arrivera au campement 22 s avant Simon.
A$ = 7,99 s 7,09
2
A$ z 28,32 cm2
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
39
40
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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C-17
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Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
0,925
t = 5,508 z 0,168 h z 10 min 5 s
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-18
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.8
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.8
(suite)
d)
G
40 cm
hG
Quelle est l’aire de ce triangle ?
25
Aire des triangles Niveau de difficulté: faible
hG = 25 s sin 66°
25 cm
114˚
F
sin (180° – 114°) =
(suite)
2. Les côtés d’un triangle équilatéral mesurent 40 cm.
40 cm
bsh
A$ =
2
H
A$ =
40 s 25 s sin 66°
2
La mesure de chacun des angles d’un triangle équilatéral est de 60°.
sin 60° = h
A$ z 456,77 cm2
40
SN
h = 40 s sin 60°
Guide B
e)
R
sin 65° =
4m
T
S
6,5 m
A$ =
bsh
2
A$ =
40 s 40 s sin 60°
z 692,82 cm2
2
L’aire de ce triangle est d’environ 692,82 cm2.
hR
4
hR = 4 s sin 65°
65˚
A$ =
3. Calcule l’aire de chacun des triangles suivants à l’aide de la formule de Héron.
6,5 s 4 s sin 65°
2
A$ z 11,78 m
Formule de Héron Niveau de difficulté: faible
a)
2
U
4 cm
W
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f)
P
110˚
R
35˚
3,1 cm
sin 35° =
Q
hP
A$ = 5,2(5,2 – 4)(5,2 – 3,4)(5,2 – 3)
A$ = 24,71 z 4,97 cm2
V
D
12 m
F
4m
E
15,6 m
p=
12 + 4 + 15,6
= 15,8
2
A$ = p(p – a)(p – b)(p – c) = 15,8(3,8)(11,8)(0,2)
3,1
A$ = 141,69 z 11,9 m2
hP = 3,1 s sin 35° z 1,78
2
4 + 3,4 + 3
= 5,2
2
A$ = p(p – a)(p – b)(p – c)
3,4 cm
3 cm
b)
m  Q = 180° – 145° = 35°
p=
2
m RQ z 3,1 – 1,78 s 2 z 5,08
A$ z 5,08 s 1,78
2
A$ z 4,52 cm2
c)
Y
5 km
p = 5 + 3 + 3,8 = 5,9
2
X
A$ = p(p – a)(p – b)(p – c) = 5,9(0,9)(2,9)(2,1)
3,8 km
3 km
A$ = 32,3379 z 5,69 km2
Z
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
41
42
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.8
Nom :
Groupe :
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(suite)
B
4. Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en
un point. Ce point est le centre du seul cercle inscrit au
triangle, et le cercle est tangent aux trois côtés du triangle.
Voici une formule où la mesure du rayon du cercle inscrit
sert à calculer l’aire du triangle : A$ PsR, où p est le demipérimètre du triangle et r, la mesure du rayon du cercle inscrit.
(suite)
5. Julien a fabriqué un très grand cerf-volant dont les dimensions
sont indiquées dans la figure ci-contre. Quelle est l’aire du cerf-volant ?
66˚
T
22,15 cm
p=
R
O
Aires des triangles, loi des sinus, rapports trigonométriques dans
S
42˚
A
3,2 m
4,5 m
3,2 + 3,2 + 4,5
= 5,45
2
3,2 m
3,2 m
A$ = p(p – a)(p – b)(p – c) = 5,45(2,25)(2,25)(0,95)
le triangle rectangle, formule de Héron, recherche de mesures
dans un triangle quelconque Niveau de difficulté: moyen
3,2 m
Formule de Héron Niveau de difficulté: faible
72˚
A$ = 26,211 z 5,12 m2
C
Acerf-volant = 2 s A$ z 10,24 m2
48,03 cm
a) Calcule l’aire du triangle ABC à l’aide de la formule ci-dessus.
m BC
48,03
=
sin 42°
sin 66°
À partir de l’angle OBR dont on connaît la
mesure et qui est formé par la bissectrice BO
dans le triangle BRO, on identifie le rapport
trigonométrique qui met en relation le côté OR,
dont on cherche la mesure, et on pose
une égalité :
On calcule le demi-périmètre du triangle ABC :
sin 33° = m OR
p = 48,03 + 50 + 35,18
m BC =
6. Détermine le périmètre et l’aire des polygones suivants.
48,03 s sin 42°
sin 66°
a)
m BC z 35,18 cm
A
18 m
47˚
B
23 m
2
22,15
m OR z 12,06 cm
Le rayon du cercle mesure environ 12,06 cm.
On calcule la mesure des deux autres côtés
du triangle ABC à l’aide de la loi des sinus :
m AB
= 48,03
sin 72°
sin 66°
p = 66,605 cm
sin 66°
C
D
On calcule l’aire du triangle ABC à l’aide de
la formule : A$ABC = p s r.
Dans le triangle rectangle ABC :
A$ABC = 66,605 s 12,06
A$ABC z 803,26 cm
m AB = 48,03 s sin 72°
Périmètre de ABCD :
Périmètre z 16,82 + 15,69 + 22,1 + 18 z 72,61
sin 47° = m BC
2
23
L’aire du triangle ABC est d’environ
803,26 cm2.
Le périmètre du quadrilatère ABCD est
d’environ 72,61 m.
m BC = 23 s sin 47° z16,82
Intersection
m AB z 50 cm
m  C = 90° – 47° = 43°
Aire du quadrilatère ABCD = A$ABC + A$ACD
sin 43° = m AB
23
Aire du triangle ABC :
A$ABC = b s h
m AB = 23 s sin 43° z15,69
b) Trouve maintenant l’aire du triangle ABC à l’aide de la formule de Héron. En comparant avec le
résultat trouvé en a, que remarques-tu ?
SN
On calcule l’aire du triangle à l’aide de la formule de Héron :
Dans le triangle ACD :
18
23
=
sin 47°
sin D
Aire du triangle ADC :
2
A$ADC z 34 541,133
(0,934 5) z 69,1°
SN
Guide B CHAPITRE 8
43
z 185,9 m2
AABCD z 131,95 + 185,9 = 317,85
L’aire du quadrilatère ABCD est d’environ
317,85 m2.
m DC z 18 s sin 63,9° z22,1
sin 47°
44
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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C-19
4/27/09 10:36:23 AM
Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
18
m DC
z
sin 47° sin 63,9°
L’aire du triangle ABC calculée à l’aide de la formule de Héron est sensiblement la même que
celle calculée à l’aide de la formule du cercle inscrit, c’est-à-dire 803,48 cm2. La différence
peut être expliquée par les valeurs arrondies trouvées en a.
Intersection
–1
m  A z 180° – 47° – 69,1° z 63,9°
2
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p z 18 + 22,1 + 23 z 31,55
23 s sin 47°
z0,934 5
18
m  D z sin
A$ABC = 66,605(66,605 – 50)(66,605 – 48,03)(66,605 – 35,18)
2
16,82 s 15,69
z 131,95 m2
2
A$ABC z
sin D =
A$ABC z 803,48 cm
Aires des triangles, loi des sinus, formule de Héron,
recherche de mesures dans un triangle quelconque Niveau de difficulté: moyen
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-20
SN_GE-B_Ch8_DR_CORRb.indd 20
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.8
Nom :
Groupe :
Date :
(suite)
b)
75 dm
P
24 dm
53˚
41˚
O
Fiche 8.8
(suite)
L
W
c)
55˚
11,3 mm
8,4 mm
N
Q
R
U
7,2 mm
T
49˚
M
SN
Guide B
À partir de l’angle de 49° dans le triangle
PLM, on identifie le rapport trigonométrique
qui met en relation le côté dont on cherche la
mesure et on pose une égalité :
tan 49° =
75
m LM
On calcule la mesure du troisième côté
du triangle PLM à l’aide de la relation de
Pythagore :
m MP2 = 752 + 65,22
m MP z 99,4 dm
On calcule la mesure du troisième côté du triangle RST à l’aide de la relation de Pythagore :
Ppolygone = 75 + 65,2 + 79,7 + 30 + 24
m TR2 = 9,52 + 7,72
= 273,9 dm
m TR z 12,23 mm
On calcule l’aire du triangle PLM :
La mesure de UR est donc de (12,23 – 7,2) = 5,03 mm.
75 s 65,2
=
2
On calcule la mesure de UQ dans le triangle QUW à l’aide de la loi des cosinus :
A$PLM = 2 445 dm2
m UQ2 = 8,42 + 11,32nsssCOS²
On calcule l’aire du triangle OPN à l’aide de
la formule de Héron :
m UQ z 9,45 mm
24 + 30 + 19,7
= 36,85 dm
2
p=
m  OPN = 180° – (41° + 53°) = 86°
A$OPN =
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m PN
= 24
sin 41°
sin 53°
9,5
m RS z 7,7 mm
On calcule le périmètre du polygone :
On calcule la mesure de l’angle OPN :
On calcule la mesure des deux autres côtés
du triangle OPN à l’aide de la loi des sinus :
tan 39° = m RS
m NM = 99,4 – 19,7 = 79,7 dm
A$PLM
S
À partir de l’angle de 39° dans le triangle RST, on identifie le rapport trigonométrique qui met
en relation le côté dont on cherche la mesure et on pose une égalité :
On calcule la mesure de NM :
m LM z 65,2 dm
39˚
9,5 mm
La mesure de RQ est donc de (9,45 – 5,03) = 4,42 mm.
On calcule le périmètre du polygone :
Ppolygone = 8,4 + 7,2 + 9,5 + 7,7 + 4,42 + 11,3 = 48,52 mm
36,85(36,85 – 24)(36,85 – 30)(36,85 – 19,7)
On calcule l’aire du triangle RST :
A$OPN z 235,86 dm2
A$RST = 9,5 s 7,7
On calcule l’aire du polygone :
2
24 s sin 41°
m PN =
sin 53°
Apolygone = 235,86 + 2 445 = 2 680,86 dm
A$RST = 36,58 mm2
m PN z 19,7 dm
Le périmètre du polygone est de 273,9 dm
et son aire est de 2 680,86 dm2.
On calcule l’aire du triangle QUW à l’aide de la formule de Héron :
m ON
24
=
sin 86°
sin 53°
m ON =
2
p = 8,4 + 11,3 + 9,45 = 14,575 mm
2
A$QUW = 14,575(14,575 – 8,4)(14,575 – 11,3)(14,575 – 9,45)
24 s sin 86°
sin 53°
A$QUW z 38,87 mm2
m ON z 30 dm
On calcule l’aire totale du polygone :
Apolygone = 36,58 + 38,87 = 75,45 mm2
Le périmètre du polygone est de 48,52 mm et son aire totale est de 75,45 mm2.
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
45
46
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
4/27/09 10:36:23 AM
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.8
Nom :
Groupe :
Date :
(suite)
7. Tous les polygones réguliers peuvent se diviser en des triangles isocèles
(suite)
b) À l’aide de la formule de Héron, calcule l’aire du triangle DEF.
A
isométriques. Le nombre de triangles est alors égal au nombre de côtés
du polygone. On a tracé un triangle isocèle dans un pentagone.
12 cm
p z 15 + 9 + 7,1 z15,55
2
B
Quelle est l’aire de ce pentagone ?
Aires des triangles, loi des sinus, formule de Héron, recherche de mesures dans
A$DEF z 15,55(0,55)(6,55)(8,45) z 21,76 cm2
O
un triangle quelconque Niveau de difficulté: faible
On calcule la mesure de l’angle situé au centre
du pentagone, l’angle AOB :
m  AOB = 360° w 5 = 72°
On calcule la mesure des deux autres angles
du triangle ABO :
 BAO et  ABO sont isométriques, puisque le
triangle ABO est isocèle.
m  BAO = (180° – 72°) w 2 = 54°
On calcule la mesure des deux autres côtés du
triangle ABO à l’aide de la loi des sinus :
m AO
12
=
sin 54°
sin 72°
Fiche 8.8
L’aire du triangle DEF est d’environ 21,76 cm2.
c) À partir de la valeur de l’aire, détermine la hauteur issue de E.
On calcule le demi-périmétre du triangle ABO.
12 + 10,21 + 10,21
p=
= 16,21 cm
2
A$ z 21,76 z
On calcule l’aire du triangle ABO à l’aide de la
formule de Héron :
hE z
A$ABO =
15 s hE
bsh
z
2
2
2 s 21,76
z 2,9
15
La hauteur issue de E est d’environ 2,9 cm.
16,21(16,21 – 12)(16,21 – 10,21)(16,21 – 10,21)
A$ABO z 49,6 cm2
9. Détermine l’aire des figures suivantes.
On calcule l’aire totale du pentagone :
Aires des triangles, formule de Héron, distance entre deux points dans le plan cartésien Niveau de difficulté: moyen
Apentagone = 49,6 s 5 z 248 cm2
a)
2
L’aire du pentagone est d’environ 248 cm .
y
C (6, 5 )
4
1
12 s sin 54°
m AO =
sin 72°
x
1
m AO z 10,21 cm
On a donc m BO z 10,21 cm, puisque le
triangle est isocèle.
H
A (1, 4)
Intersection
Puisque les coordonnées des ordonnées des points A et B sont les mêmes, AB est horizontal.
La hauteur issue de A, qui touche AB en H, est donc verticale. AB peut être considéré comme
la base et CH comme la hauteur.
F
8. Soit le triangle DEF ci-contre.
B (9, 4)
Loi des sinus, aire des triangles, formule de Héron
15
m AB = |–1 – 9| = 10 unités
138˚
Niveau de difficulté: moyen
E
a) Quelle est la mesure du côté EF ?
9
m CH = |–4 – 5 | = 5,25 unités
D
4
SN
A$ABC = 10 s 5,25 = 26,25 unités2
2
L’angle D mesure donc :
15
9
=
sin 138°
sin F
15
z m EF
sin 138° sin 18,33°
sin F =
9 s sin 138°
z0,4015
15
–
m  F z sin 1(0,4015) z 23,67°
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L’aire du triangle ABC est de 26,25 unités2.
180° – 138° – 23,6° z 18,33°.
m EF z 15 s sin 18,33° z7,05 cm
sin 138°
Le côté EF mesure environ 7,1 cm.
Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
47
48
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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C-21
4/27/09 10:36:24 AM
Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
On trouve d’abord la mesure de l’angle D à
partir de celle de l’angle F.
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-22
SN_GE-B_Ch8_DR_CORRb.indd 22
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.8
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.8
(suite)
(suite)
y
b)
y
c)
H (25, 32)
D (2, 4)
J (12, 22)
E (4, 1)
1
x
1
4
I (4, 3)
x
4
SN
F (5, 6)
G (8, 7)
Guide B
À l’aide de la formule de la distance entre deux points dans le plan cartésien, on calcule
la longueur des quatre segments du quadrilatère et de la diagonale DF pour décomposer le
quadrilatère en deux triangles quelconques :
K (6, 37)
À l’aide de la formule de la distance entre deux points dans le plan cartésien, on calcule
la longueur des quatre segments du quadrilatère et de la diagonale IK pour décomposer le
quadrilatère en deux triangles quelconques :
m DE = (–2 – 4)2 + (4 – 1)2 z 6,71 unités
2
–
2
m EF = (4 – 5) + (1 – 6) z 7,07 unités
m FG = (5 – –8)2 + (–6 – –7)2z 13,04 unités
m HI = (–25 – –4)2 + (32 – 3)2 z 35,81 unités
m GD = (–8 – –2)2 + (–7 – 4)2 z 12,53 unités
m IJ = (–4 – 12)2 + (3 – 22)2 z 24,84 unités
m DF = (–2 – 5)2 + (4 – –6)2 z 12,21 unités
m JK = (12 – 6)2 + (22 – –37)2 z 59,3 unités
On calcule le demi-périmètre du triangle DEF :
m KH = (6 – –25)2 + (–37 – 32)2 z 75,64 unités
p = 6,71 + 7,07 + 12,21 = 12,995 unités
m IK = (–4 – 6)2 + (3 – –37)2 z 41,23 unités
2
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On calcule l’aire du triangle DEF à l’aide de la formule de Héron :
On calcule le demi-périmètre du triangle IJK :
A$DEF = 12,995(12,995 – 6,71) (12,995 – 7,07)(12,995 – 12,21)
p = 59,3 + 24,84 + 41,23 = 62,685 unités
A$DEF z 19,49 unités2
On calcule l’aire du triangle IJK à l’aide de la formule de Héron :
2
On calcule le demi-périmètre du triangle DFG :
A$IJK = 62,685(62,685 – 59,3)(62,685 – 24,84)(62,685 – 41,23)
p = 13,04 + 12,53 + 12,21 = 18,89 unités
A$IJK z 415,08 unités2
2
On calcule l’aire du triangle DFG à l’aide de la formule de Héron :
On calcule le demi-périmètre du triangle IKH :
A$DFG = 18,89(18,89 – 13,04)(18,89 – 12,53)(18,89 – 12,21)
p = 35,81 + 41,23 + 75,64 = 76,34 unités
A$DFG z 68,52 unités2
On calcule l’aire du triangle IKH à l’aide de la formule de Héron :
2
On calcule l’aire totale du quadrilatère :
A$IKH = 76,34(76,34 – 35,81)(76,34 – 41,23)(76,34 – 75,64)
Aquadrilatère = 19,49 + 68,52 z 88,01 unités2
A$IKH z 275,76 unités2
L’aire du quadrilatère est d’environ 88,01 unités2.
On calcule l’aire du quadrilatère :
Aquadrilatère = 415,08 + 275,76 = 690,84 unités2
L’aire du quadrilatère est d’environ 690,84 unités2.
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Intersection
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CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.8
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.8
(suite)
10. Une légende raconte qu’il y a de cela plusieurs millénaires, en Chine,
un empereur fit tomber un carré de faïence qui se brisa en sept
morceaux : un carré, un parallélogramme et cinq triangles. En essayant
de rassembler les morceaux pour reconstituer le carreau, l’homme
s’aperçut qu’avec les sept nouvelles pièces, il était possible de créer
des formes multiples, d’où l’origine du jeu de Tangram. On te donne
un jeu qui ressemble au Tangram, mais qui ne contient que six
triangles. Avec les six triangles, tu crées une figure qui ressemble
à une fée, représentée par le schéma ci-contre.
Aires des triangles, loi des sinus, rapports trigonométriques dans le triangle
On détermine la mesure de FB :
3,1 cm
A
2,5 cm
3,21 cm
30˚
F Tête
Aile
Dans le triangle DEB, on remplace les mesures connues dans la loi des cosinus :
m BD2 = 9,52 + 152 – 2 s 9,5 s 15 s cos 50°
On détermine la mesure de BD :
B Aile
m BD z 6,77 cm
15 cm
10 cm
Niveau de difficulté: moyen
m FB = 4,58 – 2,5 = 2,08 cm
G
13,7 cm
rectangle, formule de Héron, recherche de mesures dans un triangle
quelconque et figures équivalentes
(suite)
D
On détermine la mesure de BG :
9,5 cm
m BG = 6,77 – 3,1 = 3,67 cm
On calcule le demi-périmètre du triangle BFG :
p = 3,67 + 2,08 + 3,21 = 4,48 cm
2
On calcule l’aire du triangle BFG à l’aide de la formule de Héron :
19˚
A$BFG = 4,48 (4,48 – 3,67) (4,48 – 2,08) (4,48 – 3,21)
A$BFG z 3,33 cm2
C
E
L’aire du triangle qui représente la tête de la fée est d’environ 3,33 cm2.
a) Quelle est l’aire du triangle qui représente la tête de la fée ?
b) Les triangles qui représentent les ailes de la fée sont-ils équivalents ? Justifie ta réponse.
Dans le triangle ABC, on remplace les mesures connues dans la loi des sinus :
13,7
= 10
sin B
sin 30°
Pour que deux figures planes soient équivalentes, elles doivent avoir la même aire.
On isole le terme manquant et on trouve sa valeur :
sin B =
13,7 s sin 30°
10
Intersection
m  B = sin
1
–
13,7 s sin 30°
10
On calcule le demi-périmètre du triangle ABC :
p = 10 + 13,7 + 4,58 = 14,14 cm
2
On calcule l’aire du triangle ABC à l’aide de la formule de Héron :
m  B z 43,24°
A$ABC = 14,14(14,14 – 10)(14,14 – 13,7)(14,14 – 4,58)
Puisque l’angle B est obtus :
A$ABC z 15,69 cm2
m  B = 180° – 43,24° = 136,76°
On calcule le demi-périmètre du triangle DEB :
SN
On détermine la mesure de l’angle C dans le triangle ABC :
p = 15 + 9,5 + 6,77 = 15,635 cm
m  C = 180° – (136,76° + 30°) = 13,24°
On calcule l’aire du triangle DEB à l’aide de la formule de Héron :
Dans le triangle ABC, on remplace les mesures connues dans la loi des sinus :
A$DEB = 15,635 (15,635 – 15) (15,635 – 9,5) (15,635 – 6,77)
m AB
= 10
sin 13,24°
sin 30°
A$DEB z 23,24 cm2
2
m AB = 10 s sin 13,24°
sin 30°
m AB z 4,58 cm
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
51
52
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
Les triangles qui représentent les deux ailes ne sont pas équivalents, car ils n’ont pas la
même aire.
On isole le terme manquant et on trouve sa valeur :
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-24
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.8
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.8
(suite)
(suite)
11. Benjamin est un parachutiste expérimenté. Il peut effectuer jusqu’à 150 sauts par année. Pour son
b) Si une unité du plan équivaut à 1 décamètre (dam), quelle est l’aire de la zone d’atterrissage
délimitée par ces trois routes ?
prochain saut, il étudie une carte afin de choisir un endroit sécuritaire pour son atterrissage. La zone
qu’il choisit est délimitée par trois routes. Les équations de ces routes sont représentées sur la carte
sous les formes suivantes : Aires des triangles, loi des sinus, distance entre deux points dans le plan cartésien,
À l’aide de la formule de la distance entre deux points dans le plan cartésien, on calcule la
mesure des segments du triangle ABC :
formule de Héron, résolution de systèmes d’équations Niveau de difficulté : moyen
s LAROUTE : f(x) 5x4 ;
s LAROUTE : g(x) –x 20 ;
s LAROUTEh(x) –0,5x10.
m AB =
(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
m AB =
(3 – 12)2 + (11 – –16)2 z 28,46 unités
m BC = (12 – –1,09)2 + (–16 – –9,45)2 z 14,64 unités
SN
a) Représente la situation dans un plan
cartésien et justifie les étapes
de ta démarche.
A
m CA = (–1,09 – 3)2 + (–9,45 – 11)2 z 20,85 unités
On calcule le demi-périmètre du triangle ABC :
Route 913
p = 28,46 + 14,64 + 20,85 = 31,975
Guide B
2
On calcule l’aire du triangle ABC à l’aide de la formule de Héron :
Route 814
A$ABC = 31,975(31,975 – 28,46)(31,975 – 14,64)(31,975 – 20,85)
A$ABC z 147,22 dam2
C
L’aire de la zone d’atterrissage délimitée par les trois routes est d’environ 147,22 dam2.
B
Route 850
On détermine les coordonnées des points
d’intersection des trois routes en résolvant
trois systèmes d’équations :
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Routes 814 et 913
5x – 4 = –3x + 20
8x = 24
x=3
y = 11
Routes 850 et 814
–0,5x
– 10 = 5x – 4
–
5,5x = 6
x=
y=
–12
11
–104
11
Les coordonnées de C sont
–12 –104
11
,
11
Les coordonnées du point d’intersection A
sont (3, 11).
Routes 913 et 850
–3x
+ 20 = –0,5x – 10
–
2,5x = –30
x = 12
y = –16
Les coordonnées du point d’intersection B
sont (12, –16).
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
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SN
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
Nom :
Groupe :
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Fiche 8.10
(suite)
(suite)
Plus de Consolidation
b) Quel est l’angle formé par la piste 3 et la piste 2 ?
Complément de la section Consolidation des pages 200 à 210 du manuel
1. Une montgolfière retenue au sol par un câble est poussée par le vent. Au moment où on l’observe,
elle s’est déplacée sur une distance de 5 m vers la droite et le câble forme un angle de 76° avec
le sol. Quelle est la longueur du câble ?
Recherche de mesures de côtés dans un triangle rectangle Niveau de difficulté: faible
sin ? z
3,2 s sin 135°
7,61
–
m ? z sin 1 3,2 s sin 135°
7,61
m  ? z17,3°
On représente cette situation à l’aide d’un schéma :
L’angle formé par la piste 3 et la piste 2 est d’environ 17,3°.
cos 76° = 5
x
x=
7,61
z 3,2
sin 135°
sin ?
x
5
z 20,67
cos 76°
76˚
La longueur du câble est d’environ 20,7 m.
5m
3. Soit la figure ci-contre.
d’une auberge. La piste 1 se termine à 3,2 km de l’auberge en direction nord-ouest ; la piste 2 se
termine à 5 km à l’est de l’auberge.
Recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque, loi des consinus
Niveau de difficulté: faible
a) Quelle sera la longueur de la nouvelle piste 3 qui reliera l’extrémité de la piste 1 à celle de
la piste 2 ?
2 cm
B
5 cm
D
a) Quelle est la mesure de l’angle DBC ?
2. Afin d’offrir aux skieurs un circuit en boucle, on voudrait relier deux pistes de ski de fond qui partent
A
Recherche de mesures manquantes dans un triangle
rectangle ou quelconque, formule de Héron Niveau de difficulté : moyen
?
10 cm
C
Dans le triangle rectangle ABD :
tan B = 5
2
–
m  B = tan 1
z 68,2°
5
2
m  DBC z 180° – 68,2° z 111,8°
La mesure de l’angle DBC est d’environ 111,8°.
Intersection
On représente cette situation à l’aide d’un schéma :
x 3
1
3,2 km
b) Quel est le périmètre du triangle BCD ?
135˚
2 5 km
On détermine la mesure du côté DB :
SN
On remplace les mesures connues dans la loi des cosinus :
m DB = 52 + 22 z5,39
x 2 = 3,22 + 52 – 2 s 3,2 s 5 s cos 135°
On détermine la mesure du côté BC :
m AC = 102 – 52 z8,66
x z 7,61
La nouvelle piste 3 aura une longueur d’environ 7,6 km.
m BC z 8,66 – 2 z6,66
Le périmètre du triangle BCD est d’environ 22,1 cm.
56
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SN
Guide B
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
57
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5/13/09 2:17:27 PM
Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
On calcule le périmètre du triangle BCD :
5,39 + 6,66 + 10 z 22,05
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-26
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
(suite)
(suite)
4. Détermine la mesure manquante dans les figures suivantes.
5. Le plus grand côté d’un triangle mesure 9 cm et deux de ses angles mesurent 34° et 61°.
Recherche de mesures manquantes dans un triangle rectangle et quelconque
a)
A
8
SN
D
Puisque le plus grand côté est opposé au
plus grand angle, on peut représenter un
triangle ABC où l’angle A mesure
180° – 61° – 34° = 85°.
m BC z 1,7
8 cm
tan (31° + 12°) = m BD
8
m BD z 7,5
B
Recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque, formule de Héron Niveau de difficulté: moyen
a) Détermine le périmètre de ce triangle.
tan 12° = m BC
12˚
31˚
C
Niveau de difficulté: moyen
85˚
7,5 – 1,7 z 5,8
La mesure du segment CD est d’environ 5,8 cm.
Guide B
C
sin 85°
m AB =
61˚
34˚
m AC = 9 s sin 61° z 7,9
9
= m AB
sin 85°
sin 34°
A
On détermine la mesure du segment CD :
?
9
= m AC
sin 85°
sin 61°
9 cm
B
9 s sin 34°
z 5,05
sin 85°
On calcule le périmètre de ce triangle :
9 + 7,9 + 5,05 z 21,95
Le périmètre de ce triangle est d’environ
21,95 cm.
M
b)
sin 28° =
3,1 m
6,8 m
m OM =
P
?
28˚
N
3,1
m OM
On calcule l’aire de ce triangle à l’aide de la formule de Héron :
sin N z 6,6
6,8
m  N z sin
O
b) Détermine l’aire de ce triangle.
3,1
z 6,6
sin 28°
–1
6,6
6,8
21,95
z 10,975
pz
z 76,1°
L’angle N mesure environ 76,1°.
2
A$ = p(p – a)(p – b)(p – c) z 10,975(1,975)(3,075)(5,925)
A$ z19,87
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
L’aire de ce triangle est d’environ 19,87 cm2.
6. Un pylône de 45 m est situé tout près d’un ravin. Il est fixé au sol au moyen de deux câbles d’acier
c) G
14,4 cm
cos E = 9,7
14,4
C
m  E = cos
E
F
9,7 cm
–1
z 47,7°
9,7
14,4
m  D z 90° – 47,7° z 42,3°
?
D
attachés à son sommet. Comme l’un des câbles doit être fixé de l’autre côté du ravin, il est plus long
que l’autre. Si le câble le plus court forme un angle de 24° avec le sol et que le câble le plus long
forme un angle deux fois plus petit, quelle est la longueur totale des deux câbles ?
Recherche de mesures manquantes dans un triangle rectangle Niveau de difficulté : moyen
On représente cette situation à l’aide d’un
schéma :
L’angle D mesure environ 42,3°.
y=
x
24˚
45 m
y
12˚
On détermine les mesures de x et de y :
sin 24° = 45
x
45
z 110,64
x=
sin 24°
58
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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sin 12° =
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45
y
45
z 216,44
sin 12°
110,64 + 216,44 z 327,08
La longueur totale des deux câbles est
d’environ 327,1 m.
Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
59
5/13/09 2:17:27 PM
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
SN_GE-B_Ch8_DR_CORRc.indd 27
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
(suite)
(suite)
7. Ces solides sont-ils équivalents ?
Solides équivalents, volume de solides, aire de triangles quelconques,
recherche d’une mesure manquante dans un triangle quelconque, loi des sinus, loi des cosinus
Niveau de difficulté : moyen
F
12,17 cm
Solide 1
Solide 2
C
5,41 cm
20 cm
11,09 cm
A
E
9,46˚
D
25,64˚
10 cm
B
On calcule le volume du solide 1 :
On calcule le volume du solide 2 :
V = Abase s h
V = Abase s h
V z 29,98 s 10
V z 14,98 s 20
V z 299,8
V z 299,6
Le volume du solide 1 est d’environ 299,8 cm3.
Le volume du solide 2 est d’environ 299,6 cm3.
On détermine la mesure du segment FD à
l’aide de la loi des cosinus :
On peut considérer les solides comme
équivalents puisqu’ils ont environ le même
volume, c’est-à-dire 300 cm3.
(m FD2) = 12,172 + 152 – 2 (12,17) (15) cos 9,46°
m FD z 3,6 cm
15 cm
Dans le triangle ABC du solide 1 , on remplace les mesures connues dans la loi des sinus :
5,41
11,09
m AB
=
=
sin 25,64°
sin B
sin C
p z 3,6 + 12,17 + 15 z 15,385
2
A$DEF z 15,385 (15,385 – 3,6) (15,385 – 12,17) (15,385 – 15)
A$DEF z 14,98 cm2
On détermine la mesure de l’angle B :
sin B =
On calcule l’aire du triangle DEF à l’aide de la
formule de Héron :
11,09 s sin 25,64°
5,41
B = sin–1
11,09 s sin 25,64°
5,41
B z 62,5°
8. Résous les triangles suivants.
Recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque Niveau de difficulté: moyen
On détermine la mesure de l’angle C :
a) Un triangle ABC pour lequel m  B 103°, m BC 25 cm et m AB 21 cm.
 C = 180° – (25,64° + 62,5°) = 91,86°
Intersection
On trace le triangle ABC suivant :
B
On détermine la mesure du segment AB :
5,41 s sin 91,86°
m AB =
sin 25,64
21 cm
103˚
A
m AB z 12,5 cm
On calcule l’aire du triangle ABC à l’aide de la formule de Héron :
On détermine la mesure de l’angle A à l’aide
de la loi des sinus :
36,1
z 25
sin 103°
sin A
25 cm
C
sin A z
25 s sin 103°
36,1
On détermine la mesure du segment AC
à l’aide de la loi des cosinus :
2
SN
m  A z sin 1
–
p z 5,41 + 11,09 + 12,5 z 14,5
A$ABC z 14,5(14,5 – 5,41)(14,5 – 11,09)(14,5 – 12,5)
2
(m AC ) = 212 + 252 – 2 s 21 s 25 s cos 103°
m AC z 36,1
Le segment AC mesure environ 36,1 cm.
m  A z42,4°
L’angle A mesure environ 42,4°.
On détermine la mesure de l’angle C :
m  C 180° – (42,4° + 103°) z34,6°
L’angle C mesure 34,6°.
60
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
61
C-27
5/13/09 2:17:28 PM
Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
A$ABC z 29,98 cm2
25 s sin 103°
36,1
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-28
SN_GE-B_Ch8_DR_CORRc.indd 28
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
(suite)
(suite)
b) Un triangle FGH pour lequel m  F 34°, m GH 6 cm et m FH 5 cm.
On trace le triangle FGH suivant :
b) Quelle est la mesure de l’angle R ?
À l’aide de la formule de la distance entre deux points, on calcule la longueur de TR, RA et AT :
G
m TR = (8 – 14)2 + (12 – 12)2 = 6 unités
m RA = (14 – 1)2 + (12 – –14)2 z 29,07 unités
m AT = (1 – 8)2 + (–14 – 12)2 z 26,93 unités
6 cm
F
34˚
5 cm
On détermine la mesure de l’angle R à l’aide de la loi des cosinus :
H
SN
On calcule la mesure de l’angle G et celle de l’angle H à l’aide de la loi des sinus :
Guide B
6
= 5
sin 34°
sin G
5 s sin 34°
sin G =
6
26,932 z 62 + 29,072 – 2(6)(29,07) cos R
2
–
– 62 + 29,072
m  R z cos 1 26,93
–
2(6)(29,07)
m R z 63,47°
L’angle R mesure environ 63,47°.
m  G z 27,77°
m  H z 180° – 34° – 27,77° z 118,23°
On détermine la mesure du côté FG à l’aide de la loi des sinus :
6
m FG
z
sin 34° sin 118,23°
c) En traçant une diagonale dans le trapèze, tu obtiens deux triangles. Calcule l’aire du trapèze à l’aide
de cette information.
6 s sin 118,23°
m FG z
z 9,45
sin 34°
Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :
Le côté FG mesure environ 9,45 cm.
On trace la diagonale AT afin de former les triangles PTA et TAR.
À l’aide de la formule de la distance entre deux points, on calcule la longueur de AP et TP :
m AP = (1 – 1)2 + (-14 – –2)2 = 12 unités
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m TP = (8 – 1)2 + (12 – –2)2 z 15,65 unités
9. Un trapèze
Soit un trapèze dont les sommets sont T(8, 12), R(14, 12), A(1, 14) et P (1, 2).
Recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque, loi des sinus, aire des triangles,
distance entre deux points Niveau de difficulté : moyen
62
T
pz
26,93 + 6 + 29,07
z 31
2
A$TAR z 31(31 – 26,93)(31 – 6)(31 – 29,07)
a) Trace une esquisse du graphique représentant la situation.
y
14
12
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
14
On calcule l’aire du triangle TAR à l’aide de la formule de Héron :
A$TAR z 78,02 unités2
On calcule l’aire du triangle PTA avec la formule de Héron :
R
p z 26,93 + 12 + 15,65 z 27,59
2
A$PTA z 27,59(27,59 – 26,93)(27,59 – 12)(27,59 – 15,65)
A$PTA z 58,22 unités2
x
2
P
En additionnant l’aire des deux triangles, on obtient l’aire du trapèze :
Atrapèze z 78,02 + 58,22 z 136,24
L’aire du trapèze est d’environ 136,24 unités2.
A
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
63
5/13/09 2:17:28 PM
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
(suite)
(suite)
10. Les ailes des hirondelles
Un ornithologue observe une hirondelle en vol. Une des particularités
de l’hirondelle est que les ailes de celle-ci forment un V. Dans le
schéma ci-contre, la distance entre les extrémités des ailes est
de 11,53 cm et les ailes mesurent chacune 6,5 cm. Trouve la
mesure de l’angle formé par les deux ailes.
Recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque, loi des cosinus
Niveau de difficulté : faible
6,5 cm
?
A
11,53 cm
6,5 cm
Dans un parc, un toboggan formait un angle de 40° avec le sol.
À la demande des parents du quartier, on a réduit la pente du
toboggan afin qu’il convienne mieux aux enfants plus jeunes.
On a donc allongé le toboggan, de façon à réduire l’inclinaison
de sa pente de 15°, comme dans l’illustration ci-contre.
On détermine la mesure de l’angle A à l’aide de la loi des cosinus :
2
40˚
x
Recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque Niveau de difficulté : moyen
180° – 40° = 140°
B
3,4 m
Si le nouveau toboggan fait 3,4 m de longueur, à quelle distance de l’ancien arrivera-t-il au sol ?
Le nouveau toboggan arrivera au sol à environ
1,37 m de l’ancien.
On détermine la valeur de x :
2
15˚
12. Un peu plus loin, mais pas plus haut
C
3,4
x
=
sin 140° sin 15°
x = 3,4 s sin 15° z 1,37
sin 140°
2
11,53 = 6,5 + 6,5 – 2(6,5)(6,5) cos A
2
2
2
–
–
m A = cos 1 11,53 + 6,5 + 6,5
2(6,5)(6,5)
13. Un beau revers
m A z 124,98°
La mesure de l’angle formé par les ailes est d’environ 124,98°.
L’histoire du tennis compte son lot d’échanges mémorables. Pendant un match endiablé, Wilfredo
a envoyé la balle à Rodger, qui a exécuté un magnifique revers sur la ligne de côté, ce qui lui a
permis de marquer un point. À l’aide du schéma ci-dessous, calcule l’angle formé par la balle lors
du revers de Rodger. Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle, recherche de mesures manquantes
dans un triangle quelconque, loi des cosinus Niveau de difficulté : moyen
W
?
11. Calculs apicoles
R
10,97 m
8,23 m
Intersection
Les apiculteurs élèvent des abeilles dans des ruches faites de boîtes rectangulaires contenant 10 ou
12 cadres de bois munis d’un treillis sur lequel les abeilles construiront des alvéoles contenant du miel.
Chaque alvéole est un hexagone régulier et, dans le cas des abeilles européennes, le côté d’une alvéole
mesure environ 0,5 cm.
P
6,4 m
Point gagnant
11,89 m
Combien d’alvéoles couvriront un cadre de ruche de 40 cm sur 25 cm ?
Formule de Héron Niveau de difficulté : moyen
L’aire du cadre de ruche est égale à
s= 1 000 cm2.
SN
L’aire d’une alvéole est égale à six fois l’aire
d’un triangle équilatéral de 0,5 cm de côté.
p = 0,5 + 0,5 + 0,5 =0,75
On détermine le nombre d’alvéoles
nécessaires pour recouvrir un cadre de ruche :
1 000 ÷ 0,66 = 1 515
Il faudra environ 1 515 alvéoles pour couvrir
un cadre de ruche de 40 cm sur 25 cm.
CHAPITRE 8 Intersection
m WR z 18,41 m
SN
Guide B
2
8,23
4
On calcule la mesure de RP à l’aide de la
relation de Pythagore :
(m RP2) = (6,4 + 6,4)2 + 8,23 s 3
m RP z 14,21 m
2
A$ = 0,75(0,25)(0,25)(0,25) z 0,11
64
(m WR2) = (11,89 + 6,4)2 +
4
2
On calcule la mesure de WP à l’aide de la
relation de Pythagore :
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
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(m WP2) = (11,89 – 6,4)2 + (8,23)2
m WP z 9,89 m
On détermine la mesure de l’angle R à l’aide
de la loi des cosinus :
9,892 z 18,412 + 14,212 – 2(18,41)(14,21) cos R
2
2
2
–
m R z cos 1 9,89– – 18,41 + 14,21
2(18,41)(14,21)
m R z 32,14°
La mesure de l’angle formé par la balle lors du
revers de Rodger est d’environ 32,14°.
Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
65
C-29
5/13/09 2:17:28 PM
Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
On calcule l’aire d’un triangle équilatéral à
l’aide de la formule de Héron :
L’aire d’une alvéole est donc d’environ 0,66 cm2.
On calcule la mesure de WR à l’aide de la
relation de Pythagore :
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-30
SN_GE-B_Ch8_DR_CORRc.indd 30
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
(suite)
(suite)
14. Hissons les voiles
15. Un boomerang
Il existe de nombreuses formes de voiles pour les voiliers. Un type de voile
triangulaire très répandu est la voile latine.
Voici une voile latine de couleur blanche sur laquelle le propriétaire
a fait ajouter le dessin de deux carrés rayés identiques. La longueur
du côté des carrés est de 40 cm. Recherche de côtés dans un triangle
2,1 m
1,5 m
3 cm
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle,
recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque,
1,8 m
rectangle, formule de Héron, loi des cosinus Niveau de difficulté : moyen
E
On met à l’essai un nouveau boomerang de forme insolite,
représenté par le schéma ci-contre. Sachant que l’angle EDB
mesure 59,03°, calcule l’aire de ce boomerang.
D
31 cm
B
34 cm
29,5 cm
10,2˚
C
loi des sinus, aire des triangles Niveau de difficulté : moyen
a) Quelle est l’aire de la surface blanche unie de cette voile ?
SN
A
On calcule l’aire du triangle à l’aide de la formule de Héron :
p=
Guide B
À partir de l’angle de 59,03° dans le triangle
BDE, on détermine la mesure du segment EB :
1,8 + 1,5 + 2,1
=2,7
2
A$ = 2,7(0,9)(1,2)(0,6)
5,83 + 31 + 32,47
z 34,65
pz
tan 59,03° = m EB
2
3
A$ z 1,32
m EB z 5 cm
L’aire totale de la voile latine est d’environ 1,32 m2.
A$BDC z 34,65(28,82)(3,65)(2,18)
,AIREDECHAQUECARRÏESTDEsM2.
On calcule la mesure de BD à l’aide de la
relation de Pythagore :
On calcule l’aire de la surface blanche unie de la voile :
(m BD2) z (5)2 + (3)2
1,32 – 2(0,16) z 1
L’aire de la surface blanche unie de la voile latine est d’environ 1 m .
Dans le triangle BDC, on détermine la mesure
de l’angle B à l’aide de la loi des sinus :
5,83
z 31
sin 10,2° sin B
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5,83
m  B z sin–1
On détermine la mesure de l’angle au sommet de la voile à l’aide de la loi des cosinus :
1,82 = 2,12 + 1,52 – 2(2,1)(1,5) cos S
m S = cos 1
–
1,82 – 2,12 – 1,52
–2(2,1)(1,5)
31 s sin 10,2°
5,83
m  B z 70,32°
m  D z 180° – (10,2° + 70,32°) z 99,48°
m S z 57,12°
La mesure de l’angle au sommet de la voile est d’environ 57,12°.
2
A$AEB z 34,25(29,25)(0,25)(4,75)
L’aire du triangle AEB est d’environ 34,49 cm2.
On détermine la mesure de l’angle D dans
le triangle BDC :
p z 5 + 34 + 29,5 z 34,25
A$AEB z 34,49
sin B z 31 s sin 10,2°
b) Quelle est la mesure de l’angle au sommet de la voile ?
A$BDC z 89,14
L’aire du triangle BDC est d’environ 89,14 cm2.
On calcule l’aire du triangle AEB à l’aide de la
formule de Héron :
m BD z 5,83 cm
2
On calcule l’aire du triangle BDC à l’aide de la
formule de Héron :
Dans le triangle BDC, on détermine la mesure
du segment BC à l’aide de la loi des sinus :
On calcule l’aire du triangle BED :
A$BED z
3s5
z 7,5
2
L’aire du triangle BED est d’environ 7,5 cm2.
On calcule l’aire totale du boomerang :
Aboomerang z 89,14 + 34,49 + 7,5 z 131,13
L’aire du boomerang est d’environ 131,13 cm2.
m BC
z 5,83
sin 99,48° sin 10,2°
m BC z 5,83 s sin 99,48°
sin 10,2°
m BC z 32,47 cm
66
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
67
5/13/09 2:17:29 PM
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SN_GE-B_Ch8_DR_CORRc.indd 31
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
Nom :
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Fiche 8.10
(suite)
(suite)
16. Algèbre, quand tu nous tiens…
17. Bissectrices et proportions
y
N
Détermine l’aire du triangle LMN tracé dans le plan cartésien
ci-contre dont on ne connait pas le pas de graduation.
À l’aide de la loi des sinus, montre que, dans un triangle, la bissectrice
d’un angle divise le côté opposé à cet angle en deux segments
de longueurs proportionnelles à celles des côtés adjacents.
y x 5
Résolution de systèmes d’équations du premier degré, distance entre deux
13 m
L
points, recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque,
En d’autres termes, montre que, dans la figure ci-contre,
y 6x 9
loi des cosinus, formule de Héron, aire des triangles
32,06°
Niveau de difficulté : moyen
A
x
M
On détermine les coordonnées du point L en comparant l’équation de la droite LN avec celle de
la droite LM :
–
x + 5 = 6x – 9
Loi des sinus Niveau de difficulté : moyen
Dans le triangle ADC :
b
sin ADC
a1
b
=
=
c
2=x
sin ADB
a2
Si x = 2, alors y = 3.
c
=
=
C
B
a1
a2
D
Or, sin ADC = sin ADB, car les angles ADC et
ADB sont supplémentaires, et que deux angles
supplémentaires ont le même sinus.
a1
sin CAD
sin CAD
sin ADC
De plus, sin CAD = sin BAD, car la bissectrice
partage l’angle A en deux angles égaux.
Dans le triangle ADB :
14 = 7x
c
b
a1
a
= 2.
b
c
a
a
Ainsi, sin CAD = sin BAD  1 = 2.
a2
sin ADC
sin ADB
b
c
sin BAD
sin BAD
sin ADB
Les coordonnées du point L sont (2, 3).
On déduit donc que le pas de graduation de l’axe des abscisses et de l’axe des ordonnées est 1.
Les coordonnées du point M sont donc (1, –3)
À l’aide de la formule de la distance entre deux points, on calcule la mesure du segment LM :
2
–
2
m LM = (2 – 1) + (3 – 3) z 6,08 m
On détermine la mesure de la hauteur h issue de L :
sin 32,06° z h
6,08
Intersection
On détermine l’aire du triangle LMN :
A$LMN
Un pétrolier s’est abîmé en pleine mer et son chargement
de pétrole s’est déversé dans les eaux. Pour limiter le
désastre écologique, et parce que le pétrole flotte sur l’eau,
des spécialistes ont restreint la marée noire en installant
des murs flottants autour de la nappe de pétrole. Voici
un plan aérien de la zone où s’est produit le déversement.
A
24˚
C
0,75 km
78˚
1,6 km
B
1,75 km
1,2 km
Nappe de pétrole
Sachant que l’angle EBD mesure 121,9°, quelle est la
E
longueur des murs flottants installés autour de la nappe
de pétrole ? Recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque, loi des sinus, loi des cosinus
h z 6,08 s sin 32,06°
A$LMN =
18. Éviter un désastre écologique
D
Niveau de difficulté : moyen
bsh
2
Dans le triangle ABE, on détermine la mesure du segment BE à l’aide de la loi des cosinus :
(m BE2) = 1,62 + 0,752 – 2(1,6)(0,75) cos 24°
z 13 s 6,08 s sin 32,06°
2
m BE z 0,96 km
A$LMN z 20,98
Dans le triangle BCD, on détermine la mesure de l’angle B à l’aide de la loi des sinus :
2
SN
L’aire du triangle LMN est d’environ 20,98 m .
1,75
1,2
=
sin 78°
sin B
sin B =
1,2 s sin 78°
1,75
68
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
1,75
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
69
C-31
5/13/09 2:17:29 PM
Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
–
m  B = sin 1 1,2 s sin 78° z 42,12°
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-32
SN_GE-B_Ch8_DR_CORRc.indd 32
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
(suite)
(suite
)
(
20. Le Grand tunnel
On détermine la mesure de l’angle D dans le triangle BDC :
m  D z 180° – (78° + 42,12°) z 59,88°
Dans le triangle BDC, on détermine la mesure du segment BC à l’aide de la loi des sinus :
m BC
z 1,75
sin 59,88°
sin 78°
m BC z 1,75 s sin 59,88°
sin 78°
Les manèges des parcs d’attractions sont généralement parsemés de surprises. Le Grand tunnel, un
nouveau manège, ne fait pas exception : dans la grande descente, les wagons passent dans un tunnel
noir. Juste avant d’entrer dans le tunnel et à la fin de celui-ci, les personnes dans le manège se font
arroser. Le système d’arrosage, situé à l’extérieur du tunnel, est à égale distance de l’entrée et de la
sortie. Dans le schéma ci-dessous, un wagon en piste se trouve à 5,2 m du système d’arrosage. Si le
tunnel a une longueur de 4,8 m, quelle est la mesure de l’angle formé par les deux jets d’eau projetés
par le système d’arrosage ? Recherche de mesures manquantes dans un triangle rectangle,
Niveau de difficulté : moyen
rapport trigonométrique dans le triangle rectangle
SN
m BC z 1,55 km
Dans le triangle EBD, on détermine la mesure du segment ED à l’aide de la loi des cosinus :
Wagon
5,2 m
17˚
(m ED2) = 0,962 + 1,752 – 2(0,96)(1,75) cos 121,9°
Système d’arrosage
Guide B
?
E
m ED z 2,4 km
Tun
n
el
On calcule le périmètre du polygone :
P z 0,75 + 1,6 + 2,4 + 1,2 + 1,55 z 7,5
4,8 m
Les murs flottants ont une longueur d’environ 7,5 km.
S
On détermine la mesure de la hauteur issue du sommet représenté par le système d’arrosage :
sin 17° =
19. En motoneige
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
Deux motoneigistes arrivent sur un lac gelé par la même piste
et partent ensuite dans des directions différentes, comme l’indique
le schéma ci-contre. Le premier motoneigiste se déplace à une
vitesse de 60 km/h et l’autre, à une vitesse de 40 km/h. Au moment
où le premier motoneigiste aura parcouru 30 km, à quelle distance
se trouvera-t-il du second ?
Recherche de mesures manquantes dans un triangle quelconque
AT
5,2
m AT z 1,52
La mesure du segment AT est d’environ 1,52 m.
On détermine la mesure de l’angle EAT :
–
mEAT z tan 1 2,4 z 57,65°
1,52
62˚
Niveau de difficulté : moyen
L’angle EAT mesure environ 57,65°.
On détermine la mesure de l’angle EAS :
Au moment où le premier motoneigiste aura
parcouru 30 km, il y aura 30 minutes qui se
seront écoulées, car une vitesse de 60 km/h
correspond à une distance parcourue de 1 km
par minute.
On détermine la valeur de x à l’aide de la loi
des cosinus :
Le second motoneigiste aura parcouru 20 km.
On obtient le triangle suivant.
Le premier motoneigiste se trouvera à ce
moment-là à environ 27,14 km du second.
x 2 = 302 + 202 – 2 s 30 s 20 s cos 62°
x = 27,14
mEAS z 2 s mEAT
mEAS z 115,3°
La mesure de l’angle formé par les deux jets d’eau projetés par le système d’arrosage est
d’environ 115,3°.
x
30 km
62˚
70
20 km
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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Intersection
SN
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
(suite)
(suite)
21. Vider la citrouille
23. Ah ! mon beau château
calotte
On coupe une citrouille sphérique de 24 cm de rayon pour
en enlever la chair. La calotte enlevée a une aire d’environ
19,63 cm2. Quelle est la mesure de l’angle formé par le
plan horizontal et l’endroit de la coupe ?
?
Depuis qu’il est tout petit, Matisse aime faire des châteaux de cartes. Il pose deux cartes à jouer l’une contre
l’autre de façon à les faire tenir droites et à obtenir un premier triangle. Il construit ensuite un deuxième
triangle juxtaposé au premier. Entre deux triangles voisins, il peut monter un
deuxième étage en plaçant une carte à plat joignant le dessus des deux triangles
sur laquelle il installe un troisième triangle. Il continue ainsi, le défi étant de
construire le château le plus large et le plus haut possible.
plan
horizontal
Valeurs trigonométriques remarquables Niveau de difficulté : moyen
La longueur des cartes à jouer utilisées par Matisse est de 9 cm.
Avec l’expérience, Matisse a trouvé qu’il obtient de meilleurs résultats
lorsque la base des triangles formés par deux cartes mesure 8,9 cm.
On détermine le rayon à l’endroit où la citrouille a été coupée :
rcoupe =
19,63
z 2,5 cm
P
Voici le schéma de l’un de ses châteaux.
On détermine la mesure de l’angle recherché à l’aide des rapports trigonométriques dans un
triangle rectangle :
? z cos 1
–
9 cm
a) Calcule l’angle optimal formé entre deux cartes selon
les observations de Matisse.
cos ? z 2,5
24
Recherche de mesures
manquantes dans un triangle rectangle Niveau de difficulté : moyen
2,5
24
8,9 cm
Le triangle isocèle formé par les deux cartes possède deux côtés égaux de 9 cm et un de
8,9 cm.
? z 84,02°
Pour calculer l’angle entre les deux cartes, on abaisse une hauteur issue du sommet, qui
partage le côté de 8,9 cm en deux parties égales et l’angle au sommet en deux angles égaux.
L’angle formé par le plan horizontal et l’endroit de la coupe est d’environ 84,02°.
sin ? = 4,45
9
? z 29,36°
y
22. La tangente d’un cercle
Soit le cercle de rayon 1 centré à l’origine ci-contre. On a tracé
une tangente au point T. Détermine l’équation de cette tangente.
L’angle formé entre deux cartes est d’environ 58,72°.
1
T
Valeurs trigonométriques remarquables, droite dans le plan cartésien, pente
158°
1
Intersection
Niveau de difficulté : moyen
x
b) Quelle serait la hauteur d’un château de quatre étages, identique à celui illustré ci-dessus ?
On détermine les coordonnées du point T :
T (cos 158°, sin 158°)
On détermine ensuite la valeur de l’ordonnée
à l’origine :
h = 92 – 4,452 z7,8
y = 2,475x + b
T (–0,927 2, 0,374 6)
SN
0,374 6 = 2,475
On détermine la pente de la droite passant
par l’origine du plan et le point T :
0,9272 – 0
2+b
b z 2,67
Chaque étage a une hauteur d’environ 7,8 cm. Un château de quatre étages aura donc une
hauteur d’environ 31,2 cm.
L’équation de la droite tangente au point T est
y = 2,475x + 2,67.
La pente de la droite perpendiculaire
est donc de
72
–1
–0,404
z 2,475.
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
73
C-33
5/13/09 2:17:30 PM
Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
a = –0,3746 – 0 z –0,404
s–0,927
Pour déterminer la hauteur d’un château de quatre étages, il faut déterminer la hauteur
d’un étage.
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-34
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
(suite)
(suite)
24. Descente abrupte
On détermine la mesure de RJ :
SN
Certains panneaux de signalisation sont conçus pour prévenir les conducteurs de la proximité d’une
pente abrupte. Selon le ministère des Transports du Québec, les pentes ainsi signalées exigent
des précautions particulières de la part des conducteurs de poids lourds, ce qui explique pourquoi
le pictogramme illustre un camion. Ces pentes peuvent aussi présenter un danger pour les
automobilistes, particulièrement si elles comportent des virages ou si la chaussée est glissante.
En règle générale, on signale les pentes de 6 % ou plus. Sur ces panneaux,
l’inclinaison est donnée en pourcentage et une pente de 6 % indique que
l’on descend de 6 m à chaque 100 m.
On détermine la mesure de JN :
Voici un exemple de panneau de signalisation.
sin 20° = 1,5
La mesure de JK est donc de 6,15 – 1,845 z 4,305 cm.
m JN = 0,3 s 5 = 1,5 cm
On détermine la mesure de JL :
JL
À quel angle d’inclinaison, en degrés, correspond une pente de 6 % ?
m JL z 4,4 cm
Recherche de mesures d’angles dans un triangle rectangle Niveau de difficulté : moyen
Guide B
On détermine la mesure de IJ :
On représente la situation au moyen du schéma suivant :
m IJ z
?
6
4,4
z 2,2 cm
2
On détermine la mesure de l’angle J dans le triangle JKI :
100
tan ? =
m RJ z 0,3 s 6,15 z 1,845 cm
m  J = 180° – (70 ° + 66°) = 44°
6
100
On détermine la mesure de la hauteur h issue du sommet I :
? z 3,43°
sin 44° z h
2,2
Une pente de 6 % correspond à un angle d’inclinaison d’environ 3,4°.
h z 2,2 sin 44°
On calcule l’aire du triangle IJK :
25. Un modèle réduit
bsh
A$IJK =
K
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Tu construis le modèle réduit d’un avion et, avant d’aller
manger, tu souhaite donner la touche final au nez. Le nez
est un triangle isocèle qui comporte plusieurs détails. Il ne
te reste plus qu’à peindre le triangle IJK en gris. Sachant que
les triangles RJN et RKM sont semblables, et que leur rapport
de similitude est de 0,3, calcule l’aire de la surface à peindre.
2
A$IJK z
J
R
I
48˚
N
Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle,
4,305 s 2,2 s sin 44°
2
A$IJK z 3,29
20˚
5 cm
L’aire à peindre en gris est d’environ 3,29 cm2.
L
recherche de mesures manquantes, loi des sinus, aire des triangles
Niveau de difficulté : moyen
M
On détermine la mesure des angles M et K
dans le triangle KRM :
Dans le triangle KRM, on détermine la mesure
du segment RK à l’aide de la loi des sinus :
m  M = (180° – 48°) = 66° = m  K
m RK
5
=
sin 66°
sin 48°
2
Les angles M et K mesurent 66°.
m RK =
5 s sin 66°
sin 48°
m RK z 6,15 cm
74
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
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Intersection
SN
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Groupe :
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Fiche 8.10
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Fiche 8.10
(suite)
(suite)
26. C’est la médiatrice qui tranche
27. Papillon cobra
B
Dans le triangle ABC, on a tracé la médiatrice LM.
100°
Originaire de l’Inde, le papillon cobra, ou attacus atlas,
est un géant dans le monde des lépidoptères. Son nom
lui vient du fait que l’extrémité de ses ailes ressemble
à une tête de cobra. Il peut mesurer jusqu’à 30 cm.
13,44 m
L
Détermine l’aire du quadrilatère ABLM.
11,19 m
Loi des sinus, recherche de mesures manquantes dans
A
un triangle quelconque, rapports trigonométriques dans
M
25°
C
le triangle rectangle, formule de Héron, aire des triangles
Niveau de difficulté : moyen
On détermine la mesure du segment MC :
On calcule l’aire du triangle NBC :
tan 25° = 11,19
A$NBC z
m MC
m MC z 24 m
A$NBC
La mesure du segment AM est aussi d’environ
24 m, puisqu’une médiatrice coupe un segment
en deux segments égaux.
On détermine la mesure du segment LC :
bsh
2
48 s 39,88 s sin 25°
z
2
A$NBC z 404,5
On calcule l’aire du triangle LCM :
A$LCM z 11,19 s 24
2
sin 25° = 11,19
LC
A$LCM z 13,28
m LC z 26,48 m
12 cm
Le schéma ci-contre donne les dimensions des ailes
du papillon cobra, représentées par des triangles.
À l’aide de ce schéma, estime l’aire totale de la surface
de ses ailes.
11 cm
10 cm
m BC z13,4 + 26,48 z 39,88 m
Aquadrilatère z 404,5 – 134,28
Aquadrilatère z 270,22 m2
L’aire totale du quadrilatère est d’environ
270,22 m2.
m CN z2 s 24 z 48 m
Intersection
On détermine la hauteur h issue du sommet B :
h
39,88
h z 39,88 sin 25°
On calcule l’aire des ailes du papillon à l’aide
de la formule de Héron :
Grande aile :
p = 22 + 14 + 12 =24
2
A$ = 24(2)(10)(12) z 75,9
L’aire de chaque grande aile est d’environ
75,9 cm2.
Petite aile :
p=
10 + 11 + 13
=17
2
A$ = 17(7)(6)(4) z 53,4
L’aire de chaque petite aile est d’environ 53,4 cm2.
2(75,9) + 2(53,4) z 258,6
L’aire de la surface des ailes du papillon cobra
est d’environ 258,6 cm2.
28. Par-dessus bord
Des plaisanciers voguent en bateau sur un lac. Ils avancent vers le nord
à une vitesse constante. Subitement, le conducteur accélère à une vitesse
de 60 km/h et change de cap, vers le nord-est. L’accélération et
le changement de cap projettent un des passagers par-dessus bord.
?
Le courant est assez fort, environ 12 km/h, et la personne qui est
tombée à l’eau est emportée par le courant sur une distance de
135°
bouée
750 m vers l’ouest, jusqu’à une bouée. Au moment où cette
A
C
personne atteint la bouée, le conducteur s’aperçoit du drame
0,75 km
et change de direction pour porter secours à la personne tombée
à l’eau. Quelle distance sépare alors le bateau de la bouée ?
Recherche de mesures manquantes, loi des sinus, aire des triangles
SN
t = 0,75 km = 0,0625 h
(m AB2) = 0,75 2 + 3,752 – 2(0,75)(3,75) cos 135°
Guide B
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m AB z 4,31 km
Le bateau est à une distance de 4,31 km
de la bouée.
Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
77
C-35
5/13/09 2:17:31 PM
Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
m CB = 60 km/h s 0,0625 h = 3,75 km
SN
Niveau de difficulté : moyen
Dans le triangle ABC, on détermine la mesure
du segment AB à l’aide de la loi des cosinus :
On détermine la distance parcourue par
le bateau durant le même temps :
CHAPITRE 8 Intersection
B
On détermine le temps pris par la personne
qui est tombée à l’eau pour atteindre la bouée :
12 km/h
76
13 cm
Formule de Héron Niveau de difficulté : faible
On trouve l’aire du quadrilatère :
On détermine la mesure des segments BC et
CN :
sin 25° =
22 cm
14 cm
CHAPITRE 8 Intersection
Corrigé
C-36
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Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
Nom :
Groupe :
Date :
Fiche 8.10
(suite)
(suite)
29. Les quatre pales de l’hélice
30. Deux triangles
Une hélice de navire est formée de quatre pales isométriques représentées par le dessin ci-dessous. Si
l’angle entre les pales est de 51°, quelle est l’aire totale de l’hélice ? Recherche de mesures manquantes,
Soit la figure suivante.
loi des cosinus, aire des triangles Niveau de difficulté : moyen
C
A
A
7,7˚
B
2,72 m
Recherche de mesures manquantes, loi des sinus, loi des cosinus, formule de Héron,
aire des triangles Niveau de difficulté : moyen
1,37 m
SN
14,57 cm
51˚
16,19 cm
22,63 cm
Guide B
B
102,2˚
On détermine la mesure de l’angle au centre d’un triangle :
m  O = 360° – (51° s 4) = 39°
E
4
On détermine la mesure de la hauteur h relative au côté AO :
sin 39° = h
1,37
h = 1,37 s sin 39°
On détermine l’aire d’une pale :
A$BAO
61,57˚
2,72 s 1,37ssin 39°
=
2
a) Quelle est la mesure de ED ?
Dans le triangle ABE, on détermine la mesure
du segment EB à l’aide de la loi des sinus :
On détermine la mesure de l’angle B dans
le triangle EBD :
m EB
22,63
=
sin 7,7°
sin 102,2°
m  B = 180° – 102,2° = 77,8°
A$BAO z 1,18 m2
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m EB = 22,63 s sin 7,7°
Dans le triangle EBD, on détermine la mesure
du segment ED à l’aide de la loi des cosinus :
m EB z 3,1 cm
(m ED2) z 3,1 2 + 4,632 – 2s3,1s4,63scos 77,8°
sin 102,2°
On détermine l’aire totale de l’hélice :
La mesure de l’angle CBD est de 102,2° (deux
angles opposés par le sommet sont toujours
isométriques).
1,18 s 4 z 4,72
L’aire de l’hélice est d’environ 4,72 m2.
D
m ED z 5
La mesure de ED est d’environ 5 cm.
On détermine la mesure de l’angle C dans
le triangle BCD :
m  C = 180° – (102,2° + 61,57°) = 16,23°
Dans le triangle BCD, on détermine la mesure
du segment BD à l’aide de la loi des sinus :
m BD
= 14,57
sin 16,23°
sin 61,57°
m BD =
14,57 s sin 16,23°
sin 61,57°
m BD z 4,63 cm
78
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
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Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
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Fiche 8.10
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Date :
Fiche 8.10
(suite)
(suite)
b) Quelle est l’aire des triangles ADE et CED ? Que remarques-tu ?
On détermine la mesure de l’angle E dans le triangle ABE :
m  E = 180° – (102,2° + 7,7°) = 70,1°
Dans le triangle ABE, on détermine la mesure du segment AB à l’aide de la loi des sinus :
m AB
= 22,63
sin 70,1°
sin 102,2°
31. Ouvrir l’œil… mais le bon !
Un musée fait une exposition en plein air. Pour garder un œil sur les œuvres d’art, un système de
surveillance par caméra est installé. L’angle de visée de chaque caméra est de 110° et la lentille focale
permet une surveillance détaillée sur une distance de seulement 10 m.
La dernière caméra installée doit surveiller simultanément une sculpture et l’entrée du site. Sur un
plan du site, les coordonnées, en mètres, de la sculpture S sont (5, 5), celles de l’entrée E
sont (10, 2) et celles de la caméra C sont (3, 8). La caméra est-elle bien placée pour assurer
la surveillance de la sculpture ?
Recherche de mesures manquantes, distance entre deux points, loi des sinus, loi des cosinus
m AB = 22,63 s sin 70,1°
sin 102,2°
À l’aide de la formule de la distance entre
deux points, on calcule la mesure des segments
du triangle SCE :
m AB z 21,77 cm
Le mesure de AD est donc d’environ 26,4 cm.
On calcule l’aire du triangle ABE avec la formule de Héron :
pz
22,63 + 5 + 26,4
z 27,015
2
m SC = (–5 – 3)2 + (–5 – –8)2 z 8,54 m
m CE = (3 – 10)2 + (–8 – –2)2 z 9,22 m
A$ABE z 27,015(27,015 – 22,63)(27,015 – 5)(27,015 – 26,4)
m ES = (10 – –5)2 + (–2 – –5)2 z 15,3 m
A$ABE z 40,05 cm2
La distance entre la caméra et l’entrée est
inférieure à 10 m de même que celle entre la
caméra et la sculpture.
On calcule l’aire du triangle CED avec la formule de Héron :
Niveau de difficulté : moyen
Dans le triangle SCE, on détermine la mesure
de l’angle C à l’aide de la loi des cosinus :
15,32 z 9,222 + 8,542 – 2(9,22)(8,54) cos C
–
15,32 – 9,222 – 8,542
C z cos 1
–
2(9,22)(8,54)
m  C z 118,92°
L’angle de visée est trop grand entre la
sculpture et l’entrée. La caméra ne peut
surveiller ces deux points en même temps.
p z 17,67 + 16,19 + 5 z 19,43
2
A$CED z 19,43(19,43 – 17,67)(19,43 – 16,19)(19,43 – 5)
L
32. Plus vite que le zèbre
A$CED z 39,99 cm2
L’aire des deux triangles ADE et CDE est d’environ 40 cm2, mais les triangles ne sont
pas isométriques.
Intersection
42˚ 12 m
Un lion, prédateur redoutable, observe un zèbre isolé de
son troupeau. Le zèbre est immobile. Le lion se trouve
T
Z
alors à une distance de 12 m de sa proie. Le zèbre se
27 m
situe à une distance de 27 m de son troupeau. Le zèbre
se met en route vers le troupeau en avançant à une vitesse de 12 km/h. Le lion, pour capturer le zèbre, doit
l’intercepter avant qu’il n’atteigne le troupeau. À quelle vitesse doit courir le lion pour rejoindre le zèbre ?
Recherche de mesures manquantes, loi des sinus, loi des cosinus Niveau de difficulté : moyen
On détermine la mesure de l’angle LZT :
m  LZT = 180° – (90° – 42°) = 132°
SN
Dans le triangle LZT, on détermine la mesure
du segment LT à l’aide de la loi des cosinus :
(m LT2) = 122 + 272 – 2(12)(27) cos 132°
m LT z 36,15
80
CHAPITRE 8 Intersection
SN
Guide B
Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc.
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t=
0,027
= 0,002 25 h
12
On détermine la vitesse minimale du lion :
v = 0,036 15 z 16,07 km/h
0,002 25
Le lion devra courir à une vitesse d’au moins
16,07 km/h.
Intersection
SN
Guide B CHAPITRE 8
81
C-37
5/13/09 2:17:32 PM
Corrigé
Guide B CHAPITRE 8
La distance entre le lion et le troupeau est
d’environ 36,15 m.
On détermine le temps pris par le zèbre pour
atteindre le troupeau :
SN_GE-B_Ch8_DR_CORRc.indd 38
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