Lois continues Exercice 1 La désintégration d`un noyau radioactif

Lois continues
Exercice 1
La désintégration d’un noyau radioactif exprimé en années est modélisée par une variable aléatoire suivant la loi
exponentielle de paramètre λ. Une étude portant sur ces noyaux conclut à une durée de vie inférieure ou égale à
100 ans pour 5% d’entre eux.
1. Déterminer λ.
2. Calculer la probabilité pour que la désintégration d’un noyau soit inférieure à 150 ans.
3. En déduire la probabilité pour que la durée de vie d’un noyau soit au moins de 150 ans.
4. Sachant qu’un noyau n’est toujours pas désintégré au bout de 150 ans quelle est la probabilité pour qu’il ne
soit pas désintégré au bout de 200 ans.
R +∞
5. Calculer la durée de vie moyenne d’un atome (on admettra qu’elle est égale à 0 λte−λt dt
Exercice 2
Partie A
On suppose connu le résultat suivant :
Si X est une variable
Z aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif λ alors, pour t
t
λe−λx dx.
réel positif, p(X 6 t) =
0
• Démontrer l’égalité suivante : p(X > t) = e−λt .
• En déduire que, pour s et t réels positifs, l’égalité suivante est vraie
P(X>t) (X > s + t) = p(X > s) (loi de durée de vie sans vieillissement),
P(X>t) (X > s + t) désignant la probabilité de l’événement (X > s + t) sachant que (X > t) est réalisé.
Partie B
La durée d’attente exprimée en minutes à chaque caisse d’un supermarché peut être modélisée par une variable
aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramétre strictement positif λ.
1. (a) Déterminer une expression exacte de λ sachant que p(T 6 10) = 0, 7.
On prendra, pour la suite de l’exercice, la valeur 0, 12 comme valeur approchée de λ.
(b) Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle
P(T >10) (T > 15).
(c) Sachant qu’un client a déjà attendu 10 minutes à une caisse, déterminer la probabilité que son attente
totale ne dépasse pas 15 minutes.
On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à 0, 01 prés de la réponse.
On suppose que la durée d’attente à une caisse de ce supermarché est indépendante de celle des autres caisses.
Actuellement, 6 caisses sont ouvertes. On désigne par Y la variable aléatoire qui représente le nombre de
caisses pour lesquelles la durée d’attente est supérieure à 10 minutes.
(a) Donner la nature et les paramètres caractéristiques de Y .
(b) Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d’attente à au moins 4 des 6
caisses est supérieure à 10 minutes.
Déterminer à 0, 01 prés la probabilité d’ouverture de nouvelles caisses.
Exercice 3
1. Dans un questionnaire à choix multiples (QCM), il y a trois questions indépendantes ; pour chacune d’elles
trois réponses sont proposées dont une seule est exacte.
Un candidat répond au hasard à ce QCM.
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses obtenues.
a) Donner la loi de X
b) Donner son espérance.
c) Si chaque bonne réponse rapporte 1 point,et que chaque mauvaise réponse enlève a points on appelle N la
note obtenue.
Quelle valeur faut-il donner à a pour que l’espérance de N soit nulle ?
2. Répondre au QCM suivant sachant qu’il répond aux critères précédents (on donnera la bonne réponse sur la
copie ; aucune justification n’est demandée).
A)Paul est plutôt désordonné, dans son tiroir s’entassent pèle mêle ses chaussettes, 12 chaussettes blanches
et 8 noires. Ce matin en retard pour l’école, il prend au hasard deux chaussettes dans son tiroir. Quelle est
la probabilité qu’il arrive à l’école avec deux chaussettes de couleurs différentes ?
12
8
+
2
2
12 × 8
12 × 8
Rponse 1 :
Rponse 3 : 1 −
Rponse 2 :
2
20
20 × 19
20
2
B) On note T la durée de vie d’un atome de radium radioactif (exprimé en années) , on sait que T suit
la loi exponentielle de paramètre λ, on note x0 le nombre de noyaux radioactif présents dans la substance
à l’instant 0 On note T0 la période (ou demie vie) de ce corps radioactif , c’est à dire le nombre d’années
à la fin desquelles le nombre d’atomes a diminué de moitié (ou pour lesquelles la probabilité d’être encore
radioactif est égale à 0.5) .
-Réponse 1 : T0 = λln2.
1
-Réponse 2 : P (T > 3T0 ) = .
6
−( t )
-Réponse 3 : P (T > t) = 2 T0
Exercice 4
X suit la loi normale N (0, 1)
1. on sait que P (0 < X < 1.5) = 0.43319, en déduire :
P (X > 1.5), P (X 6 −1.5), P (−1.5 < X < 1.5)
2. A l’aide de la calculatrice donner P (X) < 2, P (0.5 < X)
3. A l’aide de la calculatrice déterminer x, y, z tels que P (X < x) = 0.45, P (X > y) = 0.8 et P (−z < X <
z) = 0.6.
Exercice 5
Un syndic de copropriété a relevé qu’en moyenne2% des personnes effectuent en retard le paiement de leur charges.
X est la variable aléatoire donnant le nombre de retard de paiement pour l’ensemble des 2500 logements qu’il gère.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2. Calculer au millième la probabilité qu’il y ait plus de 36 règlements en retard.
3. Calculer l’espérance mu et l’écart type σ de X.
x−µ
4. On pose Z =
Déterminer le nombre réel a tel que P (X > 36) = P (Z > a)
σ
5. D”après le théorème de Moivre-Laplace, on peut approcher P (Z > a) en considérant que Z suit la loi normale
N (0, 1) ; calculer l’arrondi au millième de cette valeur.
6. Donner une valeur arrondie au millième de l’erreur commise par cette approximation.
Exercice 6
Dans une université , à un partiel blanc, les notes sur 20 obtenues par les étudiants ont pour moyenne 9 et pour
écart type, 1.5. Un mois plus tard, au partiel, les notes des mêmes étudiants ont pour moyenne 7.5 et pour écart
type 1. On désigne par X1 (respectivement par X2 ) la variable aléatoire associant à un étudiant pris au hasard sa
note de partiel blanc ( respectivement de partiel)
1. Exprimer les variables aléatoires centrées réduites Z1 et Z2 associées à X1 et X2
Préciser leurs moyennes et leurs écart types.
2. Au vu des diagrammes représentant les deux séries de notes, qui évoquent une courbe en cloche, on fait le
choix d’une loi normale N (0, 1) pour chacune des variables Z1 et Z2 .
a) Calculer P (X1 > 10.5) et P (X2 > 9), interpréter.
b) Un étudiant, Max, a obtenu 10.5 à l’examen blanc et 9 à l’examen, comparativement à ses camarades,
Max doit-il considérer avoir progresser ou régresser ?
Lois continues correction
Exercice 1
1. Appelons T la durée de vie d’un noyau, on sait que P (T < 100) = 0.05, donc
Z 100
i100
h
= 1 − e−100λ = 0.05
λe−λt dt = −e−λt
0
0
⇐⇒ e−100λ = 0.95 ⇐⇒ −100λ = ln(0.95)car ln est bijective et ln(ex ) = x
⇐⇒ λ =
2.
P (T < 150) =
Z
100
−ln(0.95)
100
i150
h
= 1 − e−150λ ≈ 0.074
λe−λt dt = −e−λt
0
0
3. On a deux événements contraires donc la probabilité cherchée est 1 − (1 − e−150λ ) = e−150λ ≈ 0.926.
4. On demande
PT >150 (T > 200) =
5. On sait que E(T ) =
P (T > 200)
e−200λ
= −150λ = e−50λ = 0.974
P (T > 150)
e
1
−100
=
≈ 1949.6 ans
λ
ln(0.95)
Exercice 1
PARTIE A
P (X > t) = 1 − P (X 6 t) = 1 −
Z
0
t
i
h
λe−λx dx = 1 − −e−λx = 1 − (−e−λx + 1) = e−λx
En utilisant le premier résultat on a
PX>t (X > s + t) =
P (X > t ∪ X > s + t)
P (X > s + t)
e−λ(s+t)
=
=
= e−λs
P (X > t)
P (X > t)
e−λt
Partie B
1. a) d’après le A :
P (T 6 10) = 1 − P (T > 10) = 1 − e−10λ = 0.7 ⇐⇒ e−10λ = 0.3 ⇐⇒ λ = −
ln(0.3)
≈ 0.12
10
b)D’après la A (loi de durée de vie sans vieillissement)
PT >10 (T > 15) = P (T > 5) = e−5λ = e−0.5ln(0.3) =≈ 0.548
c) On demande la probabilité de l’événement contraire de ce qui précède soit 1 − 0.548 ≈ 0.4523.
2. a) On reconnait un schéma de Bernoulli avec 6 épreuves identiques et indépendantes donc Y suit la loi
binomiale B(6, 0.3) car la probabilité d’attendre moins de 10 minutes à une caisse est 0.7, donc celle d’attendre
plus de 10 minutes est 0.3.
b) On cherche
4
5
4
2
P (Y > 4) = P (Y = 4) + P (Y = 5) + P (Y = 6) =
0.3 0.7 +
0.35 0.7 + 0.36 ≈ 0.0705 ≈ 0.07
6
6
Exercice 3
1. (a) On reconnait un schéma de Bernoulli avec 3 épreuves identiques et indépendantes donc x suit la loi
1
binomiale B(3, )
3
(b) On sait qu’alors E(X) = np = 1.
(c) N = X −a(3−X) = X(1+a)−3a, donc d’après les propriétés de l’espérance E(N ) = (1+a)E(X)−3a =
1 − 2a.
E(N ) = 0 ⇐⇒ a = 0.5
2. (a) On peut utiliser un arbre de probabilité et chercher
P (B, N ) + P (N, B) =
8
8
12
2 ∗ 12 ∗ 8
48
12
×
+
×
=
=
20 19 20 19
20 × 19
95
La bonne réponse est donc la 3.
(b)
P (T > t0 ) = 0.5 ⇐⇒
Z
T0
λe−λt dt = 0.5 ⇐⇒
0
iT0
h
= 1 − e−λT0 = 0.5
−e−λt
⇐⇒ e−λT0 = 0.5 ⇐⇒ −λT0 = ln(0.5) ⇐⇒ =
0
−ln(0.5)
ln(2)
=
λ
λ
donc la réponse 1 est fausse.
On utilisant le calcul de l’intégrale on trouve
P (T > 3T0 ) = e3T0


ln(2) 3
ln(2)
= e λ = e λ  = 0.53
3
donc la deuxième réponse est fausse.
t
t
ln(2)
−
−
ln(2)
T0 = 2 T0
= e T0 t = e
−
P (T > t) = e
−λt
donc vrai au 3
Exercice 4
1. Faire une figure avec les aires :
P (X > 1.5) = 1 − P (0 < X < 1.5) − P (X < 0) = 1 − 0.43319 − 0.5 = 0.0668
car par symétrie P (X < 0) = 0.5
P (X 6 −1.5) = P (X > 1.5) = 0.0668
P (−1.5 < X < 1.5) = 2P (0 < X < 1.5) = 0.86638
2. Utiliser la touche normacdf(-100,2,0,1) ou normalFRep ou ...
On trouve P (X < 2) = 0.9772425.
P (X > 0.5) = 0.3085
3. Il faut cette fois utiliser la touche invNorm ou FracNormal ou..
x = −0.1256, pour y on doit avec les TI donner P (X < y) = 0.2 et avec les casio on peut dire trail = right
on trouve y = −0.842 et pour z on doit faire un dessin et donner P (X < z) = P (X < −z) + P (−z < X <
1 − 0.6
z) =
+ 0.6 = 0.8 donc z = 0.8416
2
Exercice 5
1. On reconnait un schéma de Bernoulli avec 2500 épreuves identiques et indépendantes donc X suit la loi
2
)
binomiale B(2500,
100
2. Il faudrait ajouter les probabilités d’avoir 37, 38, ...2500 retards ! ! ou utiliser un programme ou la touche
binomcdf(2500,0.02, 35) qui donne la probabilité que X 6 35 on trouve P (X 6 35) = 0.0154 donc P (X >
36) = 0.984 par défaut.
p
3. On sait que E(X) = np = 50 et que σ = np(1 − p) = 7
X − 50
> −2 donc P (X > 36) = P (Z > −2)
4. X > 36 ⇐⇒
7
5. On trouve P (Z > −2) = 0.9772
6. L’erreur commise est donc 0.9772499 − 0.98459 ≈ 0.007
Exercice 6
1.
X2 − 7.5
X1 − 9
et Z2 =
1.5
1
Par définition ou propriété des moyennes et écart type elles ont pour espérance 0 et pour écart type 1.
Z1 =
2.
10.5 − 9
) = P (Z1 > 1) = 0.158
1.5
9 − 7.5
) = P (Z1 > 1.5) = 0.0668
P (X2 > 9) = P (Z2 >
1
P (X1 > 10.5) = P (Z1 >
3. Comme il y a moins d’élèves qui ont plus que lui à l’examen on peut dire que Max a progresser par rapport
aux autres élèves.