Devoir 2 - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Devoir 2
Université de Picardie Jules Verne 2011-2012
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 4
Probabilités 1
Devoir 2
A rendre le jeudi 10 mai 2012
Exercice 1.
Un sac Scontient cinq jetons : deux sont numérotés 1 et les trois autres sont numérotés 2.
Les parties A, B et C de cet exercice sont indépendantes, elles correspondent à des expériences aléatoires
différentes utilisant le sac Smentionné ci-dessus.
Partie A
1) On extrait deux jetons simultanément de S. Calculer la probabilité que ces deux jetons portent le
numéro 2.
2) Dans cette question on considère le sac Set on effectue 2100 tirages simultanés de deux jetons avec
remise (les deux jetons obtenus à chaque tirage sont remis dans le sac Savant le tirage des deux jetons
suivants). On désigne par Xla variable aléatoire égale au nombre de tirages où les deux jetons tirés portent le
numéro 2 .
a) Reconnaître la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Justifier la réponse.
b) En déduire l’espérance mathématique et la variance de X.
Partie B
On effectue une série illimitée de tirages avec remise d’un jeton dans le sac S. On désigne par Yla variable
aléatoire égale au nombre de tirages effectués avant le tirage amenant un jeton numéroté 1 pour la première
fois.
1) a) Justifier que la variable aléatoire ZY1 suit une loi usuelle que l’on précisera.
b) En déduire la loi de probabilité de Y.
2) a) Préciser l’espérance mathématique et la variance de Z.
b) En déduire l’espérance mathématique et la variance de Y.
Partie C
On extrait successivement et avec remise deux jetons du sac S. On désigne par X1la variable aléatoire
égale à la somme des numéros des deux jetons tirés, et par X2la variable aléatoire égale au maximum des
numéros des deux jetons tirés.
1) Donner la loi de probabilité du couple X1,X2, en utilisant un tableau à double entrée.
2) En déduire la loi de probabilité de X1et celle de X2.
3) Les variables aléatoires X1et X2sont-elles indépendantes ?
Exercice 2.
Soient bet ndeux entiers naturels non nuls, et une urne contenant bboules blanches et nboules noires.
1) L’entier kétant tel que 1 kbn, on tire une à une, au hasard et sans remise, kboules de l’urne.
Soit Xla variable aléatoire prenant la valeur 1 si la dernière boule tirée est blanche, et la valeur 0
sinon. Déterminer la loi de probabilité de X.
2) On tire maintenant les boules une à une, au hasard et avec remise. On effectue des tirages jusqu’à
l’obtention d’une boule blanche. On suppose construit un espace probabilisé ,A,Padapté, que l’on ne
cherchera pas à décrire.
Soit alors Yla variable aléatoire indiquant le nombre de boules tirées lorsqu’on obtient la première
boule blanche, et prenant par convention la valeur 0 lorsqu’on ne tire aucune boule blanche.
Stéphane Ducay 1

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On pourra considérer les événements suivants : pour tous entiers naturels ket nnon nuls, Bk: "la
k-ème boule tirée est blanche" et An: "les npremiers tirages n’amènent aucune boule blanche".
a) Préciser l’ensemble des valeurs possibles de la variable aléatoire Y.
b) Démontrer que pour tout entier ktel que k1, PYkpk11p, avec pn
bn.
c) En déduire la valeur de
k1
PYk.
d) En déduire la valeur de PY0. Interpréter ce résultat.
e) Justifier que pour tout entier ntel que n1, An1Anet PAnpn.
f) Exprimer l’évenement Y0en fonction des évenements An. Retrouver alors le résultat du d).
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