Entraˆınement au Concours Général

Entraˆı nement au Concours G´e n´e ral
Guillaume BARASTON
9 mai 2009
Table des mati`eres
1 Alg`ebre 3
1.1 Suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Autour d’une identit´e remarquable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Olympiade Internationale de Math´ematiques 1974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Racines r´eelles d’un polynˆome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Putnam1971 ...................................... 3
1.6 In´egalit´e de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Puissances en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.8 Olympiade de l’Asie du Pacifique 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.9 Equations dans les r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Analyse 5
2.1 Somme des inverses de carr´es d’entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Fonction convexe, concave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 In´egalit´e de convexit´e g´en´eralis´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 Propri´et´es.................................... 6
2.2.4 Applications .................................. 6
2.3 Olympiade d’Australie 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Olympiade de Croatie 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 In´equation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Limite d’une fonction d´erivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.7 Equation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Arithm´etique 9
3.1 Concours G´en´eral 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Propri´et´es du triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Olympiade des Etats-Unis 1973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 Valuation p-adique ................................... 9
3.4.1 Propri´et´es.................................... 9
3.4.2 Olympiade d’Autriche 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5 Sommede3carr´es ................................... 10
3.6 Olympiade de Russie 1981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.7 Somme de puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.8 Variante du Grand Th´eor`eme de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.9 Olympiade de St Petesbourg 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1

3.10 Olympiade du Viˆet-Nam 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.11 Equation de Pell-Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.11.1 R´esolution de l’´equation x2−dy2=1 .................... 11
3.11.2 R´esolution de l’´equation ax2−dy2=1.................... 11
3.11.3 R´esolution de l’´equation x2−dy2=−1 ................... 11
3.11.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.12Partieenti`ere ...................................... 12
4 G´eom´etrie 13
4.1 Olympiade de Russie 1989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Concours G´en´eral 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Tournoi des villes 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 Th´eor`eme de Napol´eon g´en´eralis´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.5 Puissance d’un point par rapport `a un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Nombres complexes 14
5.1 Somme trigonom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2 Oral Polytechnique, fili`ere PC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Divers 15
6.1 Ensembleinfini ..................................... 15
6.2 Parlement de Sikinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.3 Dragon aux 100 tˆetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.4 Cercle circonscrit et n-gone .............................. 15
2

1 Alg`ebre
1.1 Suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre 4
Soit (an) la suite d´efinie par : a0= 0, a1= 1, a2= 2, a3= 6 et :
an+4 =2an+3 +an+2 −2an+1 −an
Montrer que pour tout n≥0,a
nest multiple de n.
1.2 Autour d’une identit´e remarquable
On pourra ˆetre amen´e `a utiliser le r´esultat suivant appell´e principe de la descente infinie de
Fermat : Il n’existe aucune suite infinie strictement d´ecroissante d’entiers positifs.
1. Montrer que pour tout triplet (a, b, c)∈R3, on a la relation suivante :
a3+b3+c3−3abc =1
2(a+b+c)!(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2"
2. Montrer que le nombre
3
#2+√5+ 3 #2−√5
est un entier.
3. D´eterminer tous les triplets (a, b, c)∈Q3v´erifiant :
a+b3
√2+c3
√4=0
1.3 Olympiade Internationale de Math´ematiques 1974
D´eterminer tous les 5-uplets (x1,x
2,x 3,x 4,x 5) de r´eels strictement positifs v´erifiant le syst`eme
d’in´equations suivant :
(x2
1−x3x5)(x2 2−x3x5)≤0
(x2
2−x4x1)(x2
3−x4x1)≤0
(x2
3−x5x2)(x2 4−x5x2)≤0
(x2
4−x1x3)(x2 5−x1x3)≤0
(x2
5−x2x4)(x2
1−x2x4)≤0
1.4 Racines r´eelles d’un polynˆome
Soit fun polynˆome `a coefficients r´eels. Montrer que les racines de fsont toutes r´eelles si et
seulement si fne peut pas s’´ecrire sous la forme
f2=g2+h2
o`u get hsont des polynˆomes `a coefficients r´eels tels que deg h&= deg g.
1.5 Putnam 1971
D´eterminer tous les polynˆomes Ptels que pour tout r´eel x:
P(x2+ 1) = (P(x))2+1
3

1.6 In´egalit´e de Cauchy-Schwarz
Soient (x1,x
2, . . . , xn) et (y1,y 2, . . . , yn) deux n-uplets de r´eels. Soit Ple trinˆome du second
degr´e suivant :
P(x)=(n
)
i=1
x2
i*x2−2(n
)
i=1
xiyi*x+(n
)
i=1
y2
i*
Montrer l’in´egalit´e suivante, en d´eterminant son cas d’´egalit´e :
+++++
n
)
i=1
xiyi+++++≤,
-
-
.(n
)
i=1
x2
i*,
-
-
.(n
)
i=1
y2
i*
1.7 Puissances en escalier
Montrer que le nombre
345+4
56
peut s’exprimer comme le produit de deux entiers naturels dont l’un d’eux est strictement sup´e-
rieur `a 102009.
1.8 Olympiade de l’Asie du Pacifique 1996
Soient a,bet cles longueurs des cˆot´es d’un triangle. D´emontrer l’in´egalit´e suivante :
√a+b−c+√a−b+c+√b+c−a≤√a+√b+√c
1.9 Equations dans les r´eels
1. R´esoudre dans R2l’´equation suivante :
/x+0x2+1 1/y+0y2+1 1=1
2. R´esoudre dans R2le syst`eme suivant :
2x2+y2=1
4x3−3x=#y+1
2
3. R´esoudre dans Rl’´equation suivante :
8x(2x2−1)(8x4−8x2+ 1) = 1
4

2 Analyse
2.1 Somme des inverses de carr´es d’entiers naturels
On veut d´emontrer l’´egalit´e suivante :
lim
n→+∞Sn=
n
)
k=1
1
k2=π2 6
On admettra qu’un polynˆome Pde degr´e n`a coefficients r´eels ou complexes admet au plus n
racines (th´eor`eme d’Alembert-Gauss) et que si r1,r
2, . . . , rnsont les racines, suppos´ees
distinctes, de P, avec λle coefficient de xndans P, alors on dispose de la relation suivante :
P(x)=λ(x−r1)(x−r2)···(x−rn)
1. Montrer que Snconverge.
2. On d´efinit cot x=cos x
sin x. Pr´eciser son ensemble de d´efinition et montrer que cot#=−1
sin2.
3. Soit n∈N. Montrer qu’il existe un unique polynˆome Pntel que, pour tout t∈30; π
24:
Pn(cot2t)=sin (2n+ 1)t
(sin t)2n+1
4. Montrer que les racines de Pnsont les r´eels
xk= cot25kπ
2n+16
avec 1 ≤k≤net qu’elles sont distinctes deux `a deux.
5. Montrer que x1+x2+··· +xn=n(2n−1)
3
6. Montrer que pour tout t∈30; π
24,
cot2t< 1
t2<1 + cot2t
7. En d´eduire la limite de Sn.
2.2 Fonction convexe, concave
Soient Iun intervalle et f:I→Rune fonction num´erique. La fonction est dite convexe sur
Isi et seulement si pour tout (x1,x
2)∈I2et pour tout λ∈[0 ; 1] :
f(λx1+ (1 −λ)x2)≤λf(x1) + (1 −λ)f(x2)
Une fonction est dite concave sur I lorsque l’in´egalit´e est renvers´ee.
5