Opérades en Algèbre, Géométrie et Physique

Op´erades en Alg`ebre, G´eom´etrie et Physique-Math´ematique
Op´erades en Alg`ebre, G´eom´etrie et
Physique-Math´ematique
Bruno VALLETTE
(Max-Planck-Institut f¨ur Mathematik Bonn et Universit´e de Nice Sophia-Antipolis)
Colloquium Alg`ebre-G´eom´etrie-Logique
23 novembre 2009

Op´erades en Alg`ebre, G´eom´etrie et Physique-Math´ematique
Plan
1D´efinitions et exemples
2Th´eorie des op´erades
3Alg`ebre homotopique
4Op´erades en combinatoire alg´ebrique, logique et informatique
th´eorique

Op´erades en Alg`ebre, G´eom´etrie et Physique-Math´ematique
D´efinitions et exemples
Plan
1D´efinitions et exemples
2Th´eorie des op´erades
3Alg`ebre homotopique
4Op´erades en combinatoire alg´ebrique, logique et informatique
th´eorique

Op´erades en Alg`ebre, G´eom´etrie et Physique-Math´ematique
D´efinitions et exemples
Introduction
Op´erade=Op´erations + Monade
Th´eorie des repr´esentations : Vespace vectoriel
G→Hom(V,V)ou A→Hom(V,V)
avec Ggroupe ou Aalg`ebre associative
Hom(V,V) : ensemble des op´erations lin´eaires agissant sur V
Th´eorie des repr´esentations “multilin´eaires” :
EndV:= {Hom(V⊗n,V)}n∈N
ensemble de toutes les op´erations multilin´eaires agissant sur V
??? →EndV

Op´erades en Alg`ebre, G´eom´etrie et Physique-Math´ematique
D´efinitions et exemples
Op´erade des endomorphismes
Collection : EndV:= {Hom(V⊗n,V)}n∈N
Compositions :
Hom(V⊗k,V)⊗Hom(V⊗i1,V)⊗ · · · ⊗ Hom(V⊗ik,V)→
Hom(V⊗i1+···+ik,V)
(f;g1,...,gk)7→ f◦(g1⊗ · · · ⊗ gk)
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Associatives et unitaires
Ceci est une op´erade