Suites de fonctions. Divers modes de convergence

Suites de fonctions - Divers modes de convergence - Exemples
Dans ce chapitre, E d´esigne un Kespace vectoriel (K=Rou C) de dimension finie, muni d’une
norme k.k, X d´esigne un ensemble non vide.
1 Divers modes de convergence
1.1 Convergence simple
D´efinition 1 Soient (fn)n∈Nune suite d’applications de X dans E et f une application de X dans
E. On dit que (fn)n∈Nconverge simplement vers f sur X si pour tout x dans X, (fn(x))n∈Nconverge
vers f(x) dans E. Autrement dit :
∀x∈X, ∀ε > 0,∃n0∈N,∀n∈N, n >n0⇒ kfn(x)−f(x)k< ε.
1.2 Convergence uniforme
D´efinition 2 Soient (fn)n∈Nune suite d’applications de X dans E et f une application de X dans
E. On dit que (fn)n∈Nconverge uniform´ement vers f sur X si :
∀ε > 0,∃n0∈N,∀n∈N,∀x∈X, n >n0⇒ kfn(x)−f(x)k< ε.
Cons´equence : (fn)n∈Nconverge uniform´ement vers fsi et seulement si kfn−fk∞−−−−−→
n→+∞0 (on
rappelle que kfn−fk∞= sup
x∈Xkfn(x)−f(x)k).
1.3 Convergence en moyenne
D´efinition 3 Notons C([a, b],K)l’ensemble des fonctions continues sur [a, b](a, b ∈R, a < b) `a
valeurs dans K. On rappelle qu’on d´efinit une norme k.k1par :
kfk1=Zb
a|f(x)|dx.
Soient (fn)n∈Nune suite d’applications de C([a, b],K)et f une application de C([a, b],K). on dit que
(fn)n∈Nconverge en moyenne vers f si kfn−fk1−−−−−→
n→+∞0, c’est-`a-dire si :
Zb
a|fn(x)−f(x)|dx −−−−−→
n→+∞0.
1

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1.4 Convergence en moyenne quadratique
D´efinition 4 En gardant les notations de la d´efinition 3, on rappelle qu’on d´efinit une norme k.k2
par :
kfk2=Zb
a|f(x)|2dx1/2
.
On dit que (fn)n∈Nconverge en moyenne quadratique vers f si kfn−fk2−−−−−→
n→+∞0, c’est-`a-dire si :
Zb
a|fn(x)−f(x)|2dx1/2
−−−−−→
n→+∞0.
2 Comparaison des divers modes de convergence
2.1 Comparaison
Proposition 1 Soit f∈ C([a, b],K). Alors :
kfk16√b−akfk2,kfk26√b−akfk∞,kfk16(b−a)kfk∞
o`u kfk∞= sup
x∈[a,b]|fx)|2.
Preuve - Par d´efinition de la norme k.k2, on a :
kfk2
1=Zb
a|f(x)|dx2
=Zb
a|(1 ×f)(x)|dx2
.
En appliquant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on obtient :
kfk2
16Zb
a
12dxZb
a|f(x)|2dx.
Par cons´equent, on a :
kfk2
16(b−a)kfk2
2.
Donc :
kfk16√b−akfk2.
Sachant que pour tout x∈[a, b], |f(x)|6kfk∞, on a :
kfk2
2=Zb
a|f(x)|2dx 6Zb
akfk∞dx.
On en d´eduit :
kfk2
26(b−a)kfk2
∞
puis :
kfk26√b−akfk∞.
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De mˆeme :
kfk1=Zb
a|f(x)|dx 6Zb
akfk∞dx.
Par cons´equent :
kfk16(b−a)kfk∞.
2
Cons´equences : Soient (fn)n∈Nune suite de C([a, b]; K) et f∈ C([a, b]; R). Si (fn)n∈Nconverge
uniform´ement vers fsur [a, b], alors (fn)n∈Nconverge en moyenne quadratique vers f. Si (fn)n∈N
converge en moyenne quadratique sur [a, b], alors (fn)n∈Nconverge en moyenne vers f.
Ces propri´et´es d´ecoulent de la proposition pr´ec´edente car :
kfn−fk∞−−−−−→
n→+∞0⇒kfn−fk2−−−−−→ n→+∞0⇒kfn−fk1−−−−−→ n→+∞0.
Proposition 2 Soient (fn)n∈Nune suite d’applications de X dans E et f une application de X dans
E. Si (fn)n∈Nconverge uniform´ement vers f, alors (fn)n∈Nconverge simplement vers f.
Preuve - d´ecoule des d´efinitions 1 et 2. 2
2.2 Exemple
Soit (fn)n∈Nla suite de fonctions d´efinie sur Rpar fn(x) = nx
1+n2x2.
fest impaire.
Si x= 0, fn(x) = 0 donc fn(0) −−−→
n→∞ 0.
Si x6= 0, fn(x)∼
n→+∞
1
nx donc fn(x)−−−−−→
n→+∞0.
Donc (fn)n∈Nest une suite de fonctions convergeant simplement vers la fonction nulle sur R.
Pour tout n∈N,fnest d´erivable sur Ret on a :
∀x∈R, f′
n(x) = n(1 −n2x2)
(1 + n2x2)2
f′
n(x)>0⇔x∈−1
n;1 n
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fnest donc croissante sur −1
n;1 n, d´ecroissante sur −∞;−1 net sur 1 n; +∞.
fn−1
n=−1 2et fn1 n=1 2. On en d´eduit le tableau de variations :
x−∞ −1
n
1
n+∞
01
2
fnց ր ց
−1
20
sup
x∈R|fn(x)|=1
2donc (fn)n∈Nne converge pas uniform´ement sur Rvers la fonction nulle.
Soit a>0. Il existe n0∈Ntel que pour tout entier n>n0,1
n< a.
Pour n>n0et x∈Rtel que |x|> a, on a donc (d’apr`es le tableau de variations) :
sup
|x|>a |fn(x)|=|fn(a)|=na
1 + n2a2.
Comme na
1+n2a2∼
n→+∞
1
na , on en d´eduit : sup
|x|>a |fn(x)| −−−−−→
n→+∞0. Par cons´equent, (fn)n∈Nconverge
uniform´ement vers la fonction nulle sur tout ] − ∞;−a]∪[a; +∞[, avec a > 0.
3 Applications
3.1 Approximation par des fonctions en escalier
Th´eor`eme 1 Soient a, b ∈R, a < b. Soit f une fonction d´efinie sur [a, b]`a valeurs dans E, continue
par morceaux. Il existe une suite (fn)n∈Nd’applications en escalier d´efinies sur [a, b]`a valeurs dans
E, convergeant uniform´ement vers f sur [a, b].
Preuve - Int´eressons-nous dans un premier temps au cas o`u f est continue sur [a, b]. Soit n∈N∗.
fest continue sur le segment [a, b] donc fest uniform´ement continue sur [a, b] (th´eor`eme de Heine)
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donc :
∃η > 0,∀x, x′∈[a, b],|x−x′|< η ⇒
f(x)−f(x′) <1
n
Il existe N∈N∗tel que b−a
n< η. On d´efinit une suite d’applications en escalier sur la subdivision
r´eguli`ere a+kb−a
N;a+ (k+ 1)b−a Nk∈{0,··· ,N−1}par :
(∀k∈ {0,···, N −1},∀x∈a+kb−a
N;a+ (k+ 1)b−a N, fn(x) = fa+kb−a n
fn(b) = f(b)
Il reste `a d´emontrer que (fn)n∈Nconverge uniform´ement vers fsur [a, b]. Soit x∈[a, b[. Il existe
k∈ {0,···, N −1}tel que x∈a+kb−a
n;a+ (k+ 1)b−a n. Alors :
|fn(x)−f(x)|=
fa+kb−a
n−f(x)
<1
ncar 
a+kb−a
n−x
< η
Comme |fn(b)−f(b)|= 0 <1
n, on a :
∀x∈[a, b],|fn(x)−f(x)|<1
n
Donc kfn−fk∞<1
n, donc kfn−fk∞−−−−−→
n→+∞0 donc (fn)n∈Nconverge uniform´ement vers fsur
[a, b].
Supposons maintenant que fsoit continue par morceaux. Il existe p∈N∗, (a0,···, ap)∈Rn+1
tels que :
a=a0< ... < ap=b
∀i∈ {0,···, p −1}, f|]ai,ai+1[est prolongeable en une fonction ficontinue sur [ai, ai+1]
D’apr`es la premi`ere partie de la d´emonstration, pour tout i∈ {0,···, p −1}, il existe une suite
(fi,n)n∈Nd’applications en escalier convergeant uniform´ement sur [ai, ai+1] vers fi. On d´efinit alors
une suite (fn)n∈Nd’applications en escalier par :
(∀i∈ {0,···, p −1},∀x∈]ai, ai+1[, fn(x) = fi,n(x)
∀i∈ {0,···, p}, fn(ai) = f(ai)
On a alors, pour tout entier n:
kf−fnk∞6max
06i6p−1kfi−fi,nk∞
Comme pour tout i∈ {0,···, p −1},kfi−fi,nk∞−−−−−→
n→+∞0, on en d´eduit :
kf−fnk∞−−−−−→
n→+∞0
(fn)n∈Nconverge donc uniform´ement vers fsur [a, b]. 2
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