x - Sesamath.ch

Manuel Sesamath Mathématiques 2e
Chapitre 1 - Fonctions
Représentation graphique de fonctions
Problème
Colin et Estelle jouent avec les nombres de l'ensemble {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}.
Colin commence en écrivant un premier nombre choisi dans cet ensemble. C'est ensuite au
tour d'Estelle, qui choisit un autre nombre de l'ensemble, le multiplie par le nombre déjà écrit,
et inscrit le produit. Chacun, ensuite, à tour de rôle, choisit dans l'ensemble un nombre non
encore choisi, le multiplie par le dernier nombre écrit, puis inscrit le produit. Le premier joueur
qui doit écrire un nombre plus grand que 1000 a perdu.
Colin peut-il jouer pour être sûr de gagner, quel que soit la stratégie de son adversaire?
Copyleft - Edition 2011
1
1 [Activité] Modéliser
1. Pour les enfants de 6 à 10 ans, la taille y (en cm) est souvent fonction de l'âge t (en années);
on estime que cette relation est linéaire. La taille moyenne d'un enfant de 6 ans est de 121,9 cm et
celle d'un enfant de 7 ans de 128,3 cm.
a. Exprimer
y en fonction de t.
b. Prévoir la taille d'un enfant de 10 ans.
c. Comparer une approche algébrique et une approche graphique
2. Le métal de la livre anglaise est un alliage cuivre-argent à 7,5 % de cuivre. Combien de
grammes de cuivre pur et combien de grammes d’alliage de la livre devrait-on utiliser pour
préparer 200 grammes d’alliage cuivre-argent à 10% de cuivre ?
3. Le tiers d’un capital est placé à 5% et le reste à 4%. L’intérêt annuel est de 130 Frs. Quel est
ce capital ?
4. On veut construire une gouttière avec une feuille de métal rectangulaire de 12 mètres de long
et de 30 cm de large, en pliant symétriquement les deux longs côtés, et en les relevant
perpendiculairement à la feuille. On note x la hauteur d'un repli (perpendiculairement à la feuille).
a. Exprimer la contenance
b. Quelle valeur de
C de la gouttière en fonction de x.
x permet d'obtenir une gouttière qui ait une contenance maximale ?
c. Quelle est alors la contenance de cette gouttière ?
5. Le directeur de la salle de théâtre d'Ottawa a remarqué qu'à 8 $ la place, il peut compter sur
500 spectateurs, et que chaque baisse de 0,50 $ lui amène 100 spectateurs de plus.
a. Poser n = baisse du prix du billet et considérer la fonction f(n) = recette totale.
b. Choisir quelques valeurs de n, calculer leurs images par f et représenter graphiquement les
résultats.
c. Trouver une formule générale pour f(n).
d. Déterminer le domaine de définition de f .
e. Représenter graphiquement f.
f. Combien doit-on faire payer la place pour obtenir une recette maximale ? Quelle est alors
cette recette ? Justifier.
(On supposera la capacité de la salle suffisante).
6. On veut construire une boîte ouverte avec une feuille de carton rectangulaire de 30 dm de
long par 20 dm de large, en découpant dans les quatre coins un carré de longueur x, puis en
repliant les côtés le long des découpes et en les relevant perpendiculairement à la feuille.
a. Déterminer le volume total
b. Quelle est la valeur de
V en fonction de x.
x qui maximise le volume ?
c. Quel est alors ce volume maximal ?
7. On veut construire un aquarium vitré, ouvert sur le dessus, dont la hauteur soit de 1,5 mètres
et le volume de 6 m3. On note x la longueur et y la largeur de la base.
a. Exprimer
y en fonction de x.
b. Exprimer la surface de vitre totale
c. Quelle est la valeur de
S en fonction de x seulement.
x qui minimise la surface ?
d. Quel est alors cette surface ?
2
Chapitre 1 - Fonctions
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2 [Activité] Relations
Dans de nombreux problèmes, on s’intéresse à des relations entre des quantités qui varient.
Par exemple :
a. la longueur d'un glacier au cours du temps ;
b. la taille d’une personne et son âge ;
c. la distance parcourue par un train et la durée de ce parcours ;
d. le côté d'un carré et son aire ;
e. le prix du billet de cinéma et le bénéfice réalisé par le cinéma ;
f. la masse et le prix d'une marchandise.
Les situations qui vont nous intéresser sont celles pour lesquelles l’une des grandeurs variables
dépend de l’autre. Nous dirons alors que cette grandeur est fonction de l’autre.
Ainsi, la taille d'une personne est fonction de son âge, ou la longueur d'un glacier est fonction du
temps.
On dira que la longueur du glacier est la variable dépendante, et le temps la variable
indépendante. Ou encore, que la taille d'un enfant est la variable dépendante, alors que l'âge est
la variable indépendante.
1. Pour les exemples donnés ci-dessus, préciser à chaque fois quelle variable est indépendante et
quelle variable est dépendante, et formuler une phrase comme « la taille est fonction de l’âge »,
puis relier les mots « âge » et « taille » par une flèche, en justifiant vos réponses.
2. Un enfant débouche subitement dans la rue devant une voiture. Le conducteur pourra-t-il
s’arrêter à temps ? Cela dépend bien sûr de sa vitesse, car la distance de freinage est fonction de
la vitesse.
Le tableau ci-dessous donne des distances de freinage à différentes vitesses, pour une route sèche
et horizontale.
Vitesse [km/h]
0
20
40
60
80
100
120
Distance de freinage [m]
0
9
24
45
72
105
144
a. Dans cette situation, quelle est la variable indépendante et quelle est la variable
dépendante ?
b. Représenter graphiquement cette fonction.
c. Peut-on relier les points ? Pourquoi ?
d. “La distance de freinage est proportionnelle à la vitesse.” Vrai ou faux ?
e. Estimer la distance de freinage d’une voiture roulant à 30 km/h, 50 km/h, 140 km/h, 200
km/h. Quelle est la précision de votre estimation dans chaque cas ?
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Chapitre 1 - Fonctions
3
3 [Activité] Vitesse
Trois escargots A, B et C rampent ventre à terre pour atteindre une salade située à 10 m du point
de départ. Leurs trajets respectifs sont représentés ci-contre.
a. Après
20
minutes,
Sur quel escargot pariez-vous ?
on
ouvre
les
paris.
b. Quel escargot mangera en premier la salade ?
c. Quelle variable est indépendante : le temps ou la distance parcourue ?
d. Vrai ou faux ?
i L’escargot
A est toujours devant B et C.
ii L’escargot
B zigzague pour atteindre la salade.
iii Les escargots doivent monter pour atteindre la salade.
iv
C n’atteindra jamais la salade.
v
A avance à vitesse constante.
4 [Activité] Fonctions
1. Une fonction f d'un ensemble
élément de D au plus un élément de
2.
D vers un ensemble E est une relation qui attribue à tout
E.
D s'appelle l'ensemble de départ et E l'ensemble d'arrivée. On note
f :D  E
x  f  x
Lorsque les ensembles de départ et d'arrivée sont implicites (le plus souvent ℝ , on se contente de
d'exprimer la fonction par la relation algébrique y = f(x).
a. Déterminer la relation algébrique qui fait correspondre à un nombre entier le nombre
suivant et donner une notation appropriée.
b. Déterminer la relation algébrique qui fait correspondre à un nombre réel positif le carré du
nombre de départ et donner une notation appropriée.
3. Illustrer cette notion avec d’autres exemples, en donnant des cas de fonctions et des cas où
les relations ne sont pas des fonctions.
5 [Activité] Fonctions réelles
1. Une fonction réelle est une fonction dont les ensembles de départ et d'arrivée sont des
ensembles de nombres réels. Pour toute la suite du cours, la phrase « f est une fonction » sans
autre précision signifiera toujours qu'on parle d'une fonction réelle.
2. Donner des exemples de fonctions réelles et non réelles.
3.
4
f (x)= 2x + 1 et f (u)= 2u + 1 désignent-elles les mêmes fonctions réelles ?
Chapitre 1 - Fonctions
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6 [Activité] Représentation graphique
1. Une représentation graphique d'une fonction f est le tracé dans un repère (en général
orthonormé) de l'ensemble des couples (x ; f(x)) pour lesquels x appartient à l'ensemble de
départ et f(x) existe. On représente les valeurs de x sur l'axe horizontal et celles de f(x) sur l'axe
vertical.
2. On considère la fonction réelle définie par f ( x )=
a. Calculer, si cela est possible,
√ x+3 .
x
2
f(x) pour x = –4 , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 et 4 .
b. Dessiner une représentation graphique de cette fonction, le plus précisément possible.
7 [Activité] Fonctions ?
Les représentations graphiques ci-dessous sont-elles celles de fonctions réelles ? Justifier.
8 [Activité] Vocabulaire
1. Considérons la fonction
Si l'on choisit
.
f:ℝ  ℝ
x  x4 −1
x =2 dans l'ensemble de départ, alors f fait correspondre à 2 le nombre 24 −1 , soit 15.
On dit que 15 est l'image de 2 par f et on note
f (2)=15
On dit que 2 est une préimage de 15 par f.
Les images appartiennent à l'ensemble d'arrivée, les préimages à celui de départ.
2. Pourquoi parle-t-on de l'image et d'une préimage, et non de l'image et de la préimage, ou
encore d'une image et d'une préimage ?
3. Déterminer toutes les préimages de 15. Comment noter ce résultat?
4. Déterminer toutes les préimages de -1.
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Chapitre 1 - Fonctions
5
9 [Activité] Lire !
On donne ci-dessous la représentation graphique d'une fonction f :
Lire sur le graphique :
f (4)
f (5)
f (-5)
f (9)
f (14)
f -1(-4)
f -1(-5)
f -1(-1)
f -1(3)
10 [Aller plus loin] Vrai ou faux ?
Soit la fonction réelle f définie par
a. f  2=
1
2
f  x =
1
x
. Justifier ou infirmer les propositions suivantes.
1
 appartient à une
3
représentation graphique de f
d. f  0=0
g. le point 3 ;
e. l'image de 0,2 est 5
b. f −1  1={1 }
f. 0 n'a pas de préimage
c. f
−1
1
 ={2 }
2
h.
2
 appartient à une
20
représentation graphique de f
le point −11;
11 [Aller plus loin] Physique
La plupart des relations entre grandeurs physiques définissent des fonctions :
a. MRUA :
1 2
x= g t , où g est la constante
2
donne la position
6
g≃9.81m / s 2 . La fonction
x: ℝ ℝ
1
t  g t 2 =x  t 
2
x en fonction du temps t.
Chapitre 1 - Fonctions
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b. Énergie cinétique :
fonction de la masse
1
2
E= mv . La fonction
2
E : ℝ ℝ
donne l'énergie E en
1
2
m m v =E m
2
m pour une vitesse donnée.
E : ℝℝ
donne l'énergie E en fonction de la vitesse v pour une
1
2
v  mv =E v 
2
c. La fonction
masse donnée.
Donner d'autres exemples.
12 [Activité] Domaine de définition
Considérons les fonctions réelles
f : ℝ  ℝ et
x  x 3 −1
g :ℝ  ℝ
.
1
x  2
x −1
1. Qu'est-ce qui les différencie si on essaie de calculer des images ?
f : D  E une fonction quelconque. Le domaine de définition de f est le sous-ensemble
x  f  x
de D constitué de tous les éléments de D pour lesquels f admet une image. On le note D f .
Soit
2. Déterminer le domaine de définition des fonctions réelles définies par :
a.
f ( x )=
3x
b.
2
f ( x)=√ 5− x
− x +7 x −10
13 [Activité] Domaine des valeurs intéressantes pour le problème
Déterminer pour toutes les fonctions de l'activité 1 le domaine des valeurs intéressantes pour le
problème Dvipp .
14 [Activité] Ensemble des zéros
1. Un réel
x dont l'image par f est nulle s'appelle un zéro de f . Un tel x satisfait la relation
f x =0 .
2. Déterminer les zéros des fonctions réelles définies par :
a.
f ( x)=3 x−
5
7
b.
f ( x)= √ 12−8 x
c.
f ( x)=−3 x 2+9+6 x
3. Quelle est l'interprétation graphique de cette notion ?
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Chapitre 1 - Fonctions
7
15 [Activité] Quelques fonctions particulières
1. Fonctions constantes
a. Donner des exemples de fonctions constantes. Déterminer domaine de définition et
ensemble des zéros puis représenter graphiquement.
b. Quelle serait la définition générale d'une telle fonction ?
c. Une droite verticale peut-elle représenter graphiquement une fonction constante ?
2. Fonctions du premier degré
a. Donner des exemples de fonctions du premier degré. Déterminer domaine de définition et
ensemble des zéros puis représenter graphiquement.
b. Quelle serait la définition générale d'une telle fonction ?
3. Autres fonctions élémentaires
Représenter graphiquement les fonctions réelles définies par
h  x=x3 , j  x=x 4 , k  x =  x , l  x=
f x =1 , g  x= x2
i x =x ,
1
et m x =∣ x ∣ , où ∣ x ∣ est la valeur absolue de x.
x
16 [Activité] Une nouvelle famille de fonction
1. En partant d'une représentation graphique de la fonction
graphiquement les fonctions suivantes définies par:
a.
2
f ( x)=( x −2)
b.
2
f ( x)=( x−3)
c.
2
g définie par g  x = x , représenter
2
f ( x)=( x−5)
d.
f (x )=( x−k )2
Qu'en déduire quant à la représentation graphique des fonctions de la forme
[où
a.
2
f ( x)=3( x−2)
b.
2
f ( x)=8( x −2)
c.
f définies par:
1
2
d.
2
f ( x)= ( x −2)
Qu'en déduire quant à la représentation graphique des fonctions de la forme
2
f ( x)=−2 ( x −2)
2
f  x=a x−k 
?
k et a sont des constantes réelles quelconques ; x une variable réelle]
3. Représenter graphiquement les fonctions suivantes
a.
2
f ( x)=2( x−2) +1
b.
2
f ( x)=2( x−2) +3
f définies par:
c.
f ( x)=2( x −2) + 3
2
2
Qu'en déduire quant à la représentation graphique des fonctions de la forme
[où k , m et a sont des constantes réelles quelconques ; x une variable réelle] ?
8
?
k est une constante réelle quelconque ; x une variable réelle]
2. Représenter graphiquement les fonctions suivantes
[où
2
f ( x)=( x+3)
Chapitre 1 - Fonctions
d.
2
f ( x)=2( x−2) −3
f x =a x−k 2 m
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4. Quelle est la définition générale « naturelle » d'une fonction du deuxième degré ?
5. Soit f la fonction définie par
f ( x)= x2+4 x +3 . Cette écriture s'appelle la forme développée.
a. Donner également la forme factorisée de
b. Écrire
f.
2
f sous forme f x =a x−k  m . Cette écriture s'appelle la forme standard de f.
c. Représenter graphiquement la fonction
f.
6. Discuter les avantages comparatifs des formes standard, factorisée et développée d'une
fonction du deuxième degré lorsqu'on souhaite la représenter graphiquement.
7. En déduire un algorithme permettant de représenter graphiquement de façon efficace une
fonction du deuxième degré.
8. L'appliquer aux fonctions
f ( x)=−2 x2−6 x+8 et f ( x)=4 x 2+23 x +9 .
17 [Activité] Fonctions, équations et représentations graphiques
1. Discuter la différence entre la représentation graphique d'une équation du premier (ou du
deuxième) degré et la représentation graphique d'une fonction du premier (ou du deuxième)
degré.
2. Pourquoi appelle-t-on « parabole » une représentation graphique d'une fonction de degré 2 ?
18 [Activité] Intersections
Considérons les trois fonctions f,
5
1
1
g et h définies par f ( x)= 4 x² − x −1 , g ( x)=− 8 x² + 4 x −1 et
h ( x)=2 x −6 . Déterminer graphiquement puis algébriquement leurs points d’intersections.
19 [Activité] Signe, croissance et décroissance
1. Donner une définition intuitive puis mathématique du signe d'une fonction (fonction positive,
négative, nulle sur un intervalle). Illustrer avec des exemples.
2. Donner une définition intuitive puis mathématique de la croissance (respectivement de la
décroissance) d'une fonction sur un intervalle. Illustrer avec des exemples.
3. Utiliser un tableau de signes pour représenter les variations de signe des fonctions ci-dessous,
puis déterminer les intervalles sur lesquels elles sont croissantes (respectivement décroissantes) :
5
7
a.
f ( x)=3 x −
b.
f ( x)=2−7 x
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c.
f ( x)= √ x −3
e.
f ( x)= x 2− x +1
g.
d.
f ( x)= √ 12−8 x
f.
f ( x)= x2−2 x −3
h.
f ( x)=−6 x +9+ x 2
f ( x)=−3 x2+9+6 x
Chapitre 1 - Fonctions
9
1 [A savoir] Fonctions
Définition
□
Une fonction f d'un ensemble D vers un ensemble
chaque élément de D au plus un élément de E.
E est une relation qui attribue à
Vocabulaire et notation
□ D s'appelle l'ensemble de départ ou source et E l'ensemble d'arrivée ou but
□ On note f : D  E la transformation effectuée par la fonction f. On lui associe la
x  f  x
y= f ( x) .
f ( x) lorsque D et E sont des ensembles de réels.
□ On note f : x
y=f
 x  , x est appelée variable indépendante, car il n'y a pas de
□ Dans l'écriture
relation algébrique
restriction à priori sur les valeurs qu'elle peut prendre dans l'ensemble de départ, alors que
y est appelée variable dépendante, car ses valeurs dépendent de celles que x a prises.
Autrement dit, on est en présence d'une fonction quand on a:
•
une variable indépendante qui prend ses valeurs dans un ensemble de départ ;
•
une variable dépendante qui prend ses valeurs dans un ensemble d'arrivée ;
•
un tableau de correspondances, une phrase, une représentation graphique, une
formule, ... qui indique comment la variable dépendante varie en fonction de la
variable indépendante ;
•
une condition : à tout élément de l'ensemble de départ correspond 0 ou 1 élément
de l'ensemble d'arrivée.
Remarque: le plus souvent, une fonction est définie par une formule (et par la donnée parfois
implicite des ensembles de départ et d'arrivée), mais elle peut également être donnée par
une représentation graphique, un texte, un tableau de valeurs, ...
Exemple
□ f est la fonction qui à tout nombre naturel associe son dixième
□
2 [A savoir]
f :ℝ  ℝ est la fonction f de ℝ dans ℝ définie par f ( x )= x 2 +4
x  x 2 4
Fonctions réelles
Définition
Une fonction réelle est une fonction dont les ensembles de départ et d'arrivée sont des
ensembles de nombres réels.
Remarque: pour toute la suite du cours, la phrase «
signifiera toujours qu'on parle d'une fonction réelle.
10
Chapitre 1 - Fonctions
f est une fonction » sans autre précision
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3 [A savoir] Images et préimages
Définition
f : D  E une fonction et soient a ∈D et b∈E tels que f (a)=b, alors
x  f  x
□ b est l'image de a par f ;
□ a est une préimage de b par f.
Soit
Remarque: l'image, quand elle existe, est toujours unique (par la définition de « fonction »),
alors qu'un élément b de l'ensemble d'arrivée peut avoir aucune, une ou plusieurs
préimages. On parle de l'ensemble des préimages de b.
Notation
−1
« a est la préimage de b par f » se note f (b)={ a } .
−1
L'expression « c et d sont les deux préimages de b par f » se note f (b)={ c ; d } .
L'expression
Exemple
Considérons la fonction
.
f :ℝ  ℝ
x  x 4−1
Si on choisit x = 2 dans l'ensemble de départ, alors
24 −1 , soit 15.
On dit que 15 est l'image de 2 par f et on note
f fait correspondre à 2 le nombre
f (2)=15
On dit que 2 est une préimage de 15 par f .
4 [A savoir] Domaine de définition
Définition
f : D  E une fonction.
x  f  x
Le domaine de définition de f est le sous-ensemble de D constitué de tous les éléments
de D pour lesquels f admet (exactement) une image. On le note D f .
Soit
Remarque: déterminer le domaine de définition d'une fonction, c'est donc « faire le tri »
entre les éléments de l'ensemble de départ qui admettent une image et ceux pour lesquels il
n'existe pas d'image, en ne gardant que les premiers.
Exemple : déterminer les
Df
des fonctions
1
.
f ( x )= x+3 , g ( x )= √ x+1 et h ( x )= 2
x −4
□
comme f(x) existe pour tout
□
comme g(x) n'existe que pour
x≥−1 , alors D g =[ −1 ;∞ [ .
□
comme h(x) n'existe que pour
x ≠±2 , alors D h =ℝ ∖ {−2 ;2 } .
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x réel, alors D f =ℝ .
Chapitre 1 - Fonctions
11
5 [A savoir] Domaine des valeurs intéressantes pour le problème
Définition
Soit
f : D  E une fonction.
x  f  x
Le domaine des valeurs intéressantes pour le problème définition de f est le sousensemble de D constitué de tous les éléments de D pour lesquels f admet (exactement)
une image. On le note D vipp .
Exemple : on veut construire une boîte ouverte avec une feuille de carton rectangulaire de
30 dm de long par 20 dm de large, en découpant dans les quatre coins un carré de longueur
x, puis en repliant les côtés le long des découpes et en les relevant perpendiculairement à la
feuille.
Les valeurs possibles de x sont comprises (strictement) entre 0 dm et 10 dm, car des
valeurs négatives n'auraient pas de sens, et des valeurs supérieures ou égales à 10 dm ne
peuvent être considérées, la découpe étant alors impossible. Donc D vipp =]0 ; 10 [
6 [A savoir] Représentation graphique
Définition
Une représentation graphique d'une fonction f est le tracé de l'ensemble des couples
 x ; f  x pour x appartenant au domaine de définition.
Remarque: à ce stade, pour représenter graphiquement une fonction, nous nous appuierons
sur les connaissances acquises précédemment concernant la représentation graphique des
équations, en particulier pour le degré 1 ; dans les cas d'autres fonctions,
nous nous aiderons de calculs d'images.
4
Voici
par
{
exemple
une
représentation
graphique
de
la
fonction
x
f ( x)= 2 , si x ≤2 :
1 , si x >2
-6
-4
-2
2
0
2
4
6
-2
-4
7 [A savoir] Déterminer image et préimage
Quand la fonction est définie par un tableau
Exemple : on donne un tableau de valeurs de la fonction
fonction h ? Trouver une préimage de − 125.
12
h. Quelle est l'image de 8 par la
x
− 5,25
−3
− 1,75
0
2
5,5
8
h(x)
− 358
− 125
3
7
12,5
3
20
Chapitre 1 - Fonctions
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□
La deuxième ligne du tableau donne l'image de chaque nombre de la première ligne
par la fonction h.
□
Pour trouver l'image de 8 : on cherche 8 sur la première ligne du tableau et on lit son
image sur la deuxième ligne ; l'image de 8 est 20 et on écrit h(8) = 20.
□
Pour trouver la (ou les) préimage(s) de − 125 : on cherche − 125 sur la deuxième ligne
du tableau et on lit la (ou les) préimage(s) sur la première ligne ; une préimage de − 125
est − 3 et on écrit h−1  −125={− 3 } .
Quand la fonction est définie par une représentation graphique
Exemple 1 : soit la représentation graphique d'une fonction
y
On trace la droite parallèle à l'axe des
ordonnées passant par le point de coordonnées
(− 1 ; 0). On trace la droite parallèle à l'axe des
abscisses et qui passe par le point
d'intersection de la courbe et de la droite
précédente. Elle coupe l'axe des ordonnées
approximativement au point de coordonnées
(0 ; 2). On en déduit que l'image de − 1 par la
fonction f est environ 2 donc f(− 1) ≈ 2.
2
1
x
1
−1
f ; déterminer l'image de − 1.
Exemple 2 : soit la représentation graphique d'une fonction
préimage(s) de 5.
y
On trace la droite parallèle à l'axe des
abscisses passant par le point de
coordonnées (0 ; 5).
5
− 2,3
g ; déterminer la (ou les)
1
On trace la (ou les) droite(s) parallèle(s) à
l'axe des ordonnées passant par le(s) point(s)
d'intersection de la courbe et de la droite
précédente.
4
x
1
Ces parallèles (deux, ici) coupent l'axe des
abscisses approximativement aux points de
coordonnées (4 ; 0) et (− 2,3 ; 0).
Donc 5 a deux préimages par la fonction
sont, environ, 4 et − 2,3.
On écrit
g qui
g −1(5)={ −2.3 ;4} .
Quand la fonction est définie par une formule
Exemple : Soit la fonction f :
x
3x2 − 7x  12. Quelle est l'image de − 5 ?
Calcul de l'image de − 5 par f avec
f (− 5) = 3⋅(− 5)2 − 7⋅(− 5) - 12
f (− 5) = 75  35 - 12
f (x) = 3x2 − 7x - 12 :
On remplace
x par − 5.
On calcule.
f (− 5) = 98
Donc l'image de − 5 par la fonction f est 98. On écrit aussi f(− 5) = 98.
Exemple : Soit la fonction f :
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x
3x2 − 7x - 12. Quelles sont les préimages de − 2 ?
Chapitre 1 - Fonctions
13
Calcul des préimages de − 2 par f avec
3x2 − 7x - 12 = -2
f (x) = 3x2 − 7x - 12 = -2 :
On résout l'équation.
3x2 − 7x - 10 = 0
On factorise le membre de gauche.
(3x − 10)(x + 1) = 0
− 2 a donc pour préimages -1 et 10 . On écrit aussi
3
f −1 −2={−1 ; 10 } .
3
8 [A savoir] Zéros d'une fonction
Définition
Un réel x dont l'image par f est nulle s'appelle un zéro de
On note souvent Z f l'ensemble des zéros de f.
f.
Remarque : déterminer l'ensemble des zéros, c'est donc résoudre l'équation f (x) = 0.
Exemple 1 : déterminer l'ensemble des zéros de la fonction
On résout l'équation : 3−2 x =0
⇔
x = 3 . L'ensemble des zéros de f est donc
2
Exemple 2 : déterminer l'ensemble des zéros de la fonction
On résout l'équation, soit par factorisation :
2
2 x 7 x 3=0
⇔
2 x 1  x 3=0
⇔
{}
3
2
.
g ( x )=2 x 2+7 x +3
x =− 1 ou x =−3
2
soit par Viète : Δ=b2 −4ac=49−24=25, d'où x1,2=
soit x 1 =−
f  x =3−2 x
−b± √ Δ −7± √ 5 −7±5
=
=
2a
4
4
12
2
1
=−3 et x 2 =− =− . L'ensemble des zéros de
4
4
2
{
}
g est donc − 1 ;−3 .
2
9 [A savoir] Fonctions particulières
Définitions
□
□
f une fonction définie par f (x) = c, avec c ∈ℝ .
On appelle fonction du premier degré f une fonction définie par f (x) = ax+b, avec
a∈ℝ * et b∈ℝ .
□ On appelle fonction du deuxième degré f une fonction définie par f (x) = ax²+bx+c,
*
avec a∈ℝ et b , c ∈ℝ .
On appelle fonction constante
Exemples
14
Chapitre 1 - Fonctions
Copyleft - Edition 2011
□ f(x) = −5 est une fonction constante (c = −5)
□ f(x) = x est une fonction du premier degré (a = 1 et b = 0). C'est la fonction identité.
□ f(x) = 3x −5 est une fonction du premier degré (a = 3 et b = −5).
□ f(x) = 7x −2x 2 est une fonction du deuxième degré (a = -2, b = 7 et c =0).
Représentations graphiques
□
□
Une fonction constante est représentée graphiquement par une droite horizontale
□
Autres fonctions élémentaires à connaître :
Une fonction du premier degré est représentée graphiquement par une droite oblique
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
-5 -4 -3 -2 -1 0
-1
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
fonction identité
1
2
3
4
5
-5
fonction "x carré"
fonction "x cube"
5
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0
-1
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
-4
-5
-5
-5
fonction "racine carrée"
5
-4
5
2
3 4
-3
4
1
1 2
-2
5
-5 -4 -3 -2 -1 0
-1
Copyleft - Edition 2011
1
-5 -4 -3 -2 -1 0
-1
fonction "1 sur x"
1
2
3
4
5
fonction "valeur absolue"
Chapitre 1 - Fonctions
15
10 [A savoir] Fonctions de degré 2
Nous allons maintenant nous intéresser aux fonctions du type
La fonction du deuxième degré « la plus simple » est
courbe ci-dessous:
f x =ax 2bxc avec a≠0 .
f x =x2 qui se représente par la
2
La fonction f x = x−k  correspond à la même courbe déplacée horizontalement d'une
distance k. Attention, le sens du déplacement dépend du signe de k.
k>0
k<0
2
La fonction f x =a⋅x −k  correspond à la courbe qu'on a déplacée horizontalement
d'une distance k, puis qu'on resserre ou qu'on élargit autour de l'axe vertical x=k en
fonction de la valeur de a.
a>1
16
Chapitre 1 - Fonctions
0<a<1
Copyleft - Edition 2011
-1<a<0
a<-1
2
La fonction f x =a⋅x −k  m correspond à la courbe qu'on a déplacée horizontalement
d'une distance k, puis qu'on resserre ou qu'on élargit autour de l'axe vertical x=k en
fonction de la valeur de a. Enfin on la déplace verticalement d'une distance m. Attention,
le sens du déplacement dépend du signe de m.
0<m
m<0
Définition
Une représentation graphique d'une fonction définie par
une parabole.
f ( x )=a( x −k)2 +m s'appelle
Théorème
Si une fonction est définie par
f x =a  x
b
2a
2
−
Copyleft - Edition 2011
f ( x)=ax 2+bx+c (avec a ≠0 ), alors on peut aussi écrire :
 , avec
= b2 − 4 ac .
4a
Chapitre 1 - Fonctions
17
Théorème
Si une fonction est définie par
f ( x)=ax 2+bx+c (avec a ≠0 ), alors
□
sa représentation graphique est une parabole ;
□
elle admet un axe de symétrie d'équation
□
elle admet un sommet au point
□
elle est convexe (de forme ∪ ) si
S −
b
2a
x =−
;−

4a
b
;
2a
 ;
a >0 et concave (de forme ∩ ) si a <0 .
L'équation d'une parabole peut s'écrire sous différentes formes :
□ f x =a  x
b 2 
−
2a
4a
s'appelle la forme standard. Cette écriture est toujours
possible; elle permet d'obtenir facilement le sommet
S
−b

;−  de la parabole.
2a
4a
□ f x=a x−x 1 x−x 2 
est la forme factorisée. Cette écriture n'existe que si ≥0 ;
elle permet de lire immédiatement les intersections de la parabole avec l'axe O x, à savoir
les deux points x ; 0 et x ; 0 si 0 ou l'unique point x ; 0 si =0 .
1
2
0
2
□ f  x =ax bxc
s'appelle la forme développée. Cette écriture est toujours possible
et elle permet de lire immédiatement l'ordonnée à l'origine c.
Méthode générale pour représenter graphiquement une fonction de degré 2
illustration avec f  x=2 x 2 x−6
On cherche l'intersection avec l'axe Oy
en calculant f (0) .
Si
On cherche la(les) intersection(s) avec
l'axe Ox en résolvant l'équation f (x)=0
.
Si f (x)=0 , il faut résoudre 2 x2+ x−6=0 . On a
3
Δ=49 et on obtient x=−2 ou x= .
2
b
On identifie l'axe de symétrie x=−
.
2a
Axe de symétrie : x=−
On identifie le sommet (−
b
;− Δ ) .
2a
4a
Si c'est possible, on obtient un point
supplémentaire de la représentation
graphique par symétrie du point
intersection avec l'axe 0y.
On précise, en fonction de a , la forme
convexe ou concave de la parabole.
Si nécessaire, on détermine encore
quelques points supplémentaires, ainsi
que leurs symétriques par rapport à l'axe
x=− b .
2a
18
Chapitre 1 - Fonctions
x=0 , alors l'intersection avec Oy est :
f (0)=2⋅0 2+0−6=−6 .
1
.
4
1
49
.
Sommet : − ;−
4
8
Si x=0 , alors le symétrique par rapport à l'axe
1
1
de symétrie est x=− . Donc le point − ;−6 
2
2
appartient aussi à la représentation graphique.
a=2 , donc
a>0 , donc parabole convexe
(c'est-à-dire ∪ ).
Prenons x=2 alors f (2)=2⋅2 2+2−6=4 donc le
point 2 ; 4
appartient
à
la
symétrie,
le
point −2.5; 4
également à la parabole.
parabole.
Par
appartient
Copyleft - Edition 2011
Toutes ces informations se placent dans le repère et
permettent de tracer la parabole :
11 [A savoir] Signe
Définition
□
□
□
□
f est positive sur un intervalle I ⇔ f (x)≥0 pour tout x dans I.
f est négative sur un intervalle I ⇔ f (x)≤0 pour tout x dans I.
f est strictement positive sur un intervalle I ⇔ f (x)>0 pour tout x dans I.
f est strictement négative sur un intervalle I ⇔ f (x)<0 pour tout x dans I.
Remarque : On utilise souvent un tableau des signes pour représenter les variations de
signes d'une fonction donnée.
Exemple : soit la représentation graphique d'une fonction f ; déterminer les intervalles sur
lesquelles f est positive, négative, strictement positive et strictement négative.
f est positive sur l'intervalle :
6
I + =[−3 ;−1 ]∪[ 5 ;∞[
4
f est négative sur l'intervalle :
2
-6
-4
-2
0
2
4
I - =]−∞ ;−3]∪[−1 ;5 ]
6
f est strictement positive sur l'intervalle :
-2
I + =]−3 ;−1 [∪]5 ;∞[
-4
f est strictement négative sur l'intervalle :
-6
I - =]−∞ ;−3[∪]−1 ;−5[
On peut représenter les variations de signe de f à l'aide du tableau de signes suivant :
x
f(x)
–∞
–3
–
0
–1
+
0
5
–
0
∞
+
12 [A savoir] (Dé)croissance
Copyleft - Edition 2011
Chapitre 1 - Fonctions
19
Définition
□ f est croissante sur un intervalle I ⇔ f (x 1)≤ f ( x 2)
x 1 x 2
que
□f
x 1 x 2
x1
et
x2
dans
I ⇔ f x 1 ≥f x 2  pour tout x 1 et x 2 dans I tels
.
□ f est constante sur un intervalle I ⇔f x 1 =f x 2  pour tout x1 et x2 dans I.
□ f est strictement croissante sur un intervalle I ⇔ f (x 1)< f ( x 2) pour tout x 1
dans
□f
x2
I tels
.
est décroissante sur un intervalle
que
pour tout
et
x2
I tels que x 1 x 2
est strictement décroissante sur un intervalle
dans
I ⇔ f (x 1)> f ( x2) pour tout x 1 et
I tels que x 1 x 2
Remarque : Les intervalles de croissance (resp. intervalles de décroissance) d'une fonction
sont les sous-ensembles maximum du domaine de définition dans lesquels la fonction est
croissante (resp. décroissante).
Exemple 1 : soit la représentation graphique d'une fonction f ; déterminer les intervalles sur
lesquelles f est croissante et ceux sur lesquelles elle est décroissante.
6
f est croissante sur l'intervalle :
I =]−∞ ;−2 ,1 ]∪[ 2 ,7 ;∞[
4
f est décroissante sur l'intervalle :
2
I ↓ =[−2 ,1 ;2 , 7 ]
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-4
-6
Exemple 2 : soit la représentation graphique d'une fonction g ; déterminer les intervalles sur
lesquelles g est respectivement croissante, constante ou strictement croissante.
4
g est croissante sur l'intervalle :
I ↑=]−∞ ;+∞[
2
g est constante sur l'intervalle :
-6
-4
-2
0
-2
-4
20
Chapitre 1 - Fonctions
2
4
6
I → =[ 2 ;+∞[
g est strictement croissante sur l'intervalle :
I ↑=]−∞ ;2 ]
Copyleft - Edition 2011
1 Sachant que la somme de deux nombres
vaut 9, exprimer l’un des nombres en fonction
de l’autre.
2 Même question si l’on sait que le produit
de deux nombres vaut a.
3 Pour un carré de côté x, exprimer la
longueur de sa diagonale en fonction de la
longueur de son côté.
d'écrire ou
compléter:
d'exprimer
des
Fonction définie par
une phrase
6 Un groupe d'ouvriers municipaux doit
effectuer une grande quantité de plantations.
Parmi ces graphiques, quel est celui ou ceux
qui modélisent le mieux la relation entre le
nombre d’ouvriers et le temps nécessaire
pour accomplir la tâche ? Expliquez votre
choix.
« doubler puis ajouter
5»
f (u)=3 ( u +4)
« prendre le carré , puis
ajouter un »
3
f (t )=( t +1)
« prendre le triple, puis
ajouter 10, puis
multiplier par -3 »
f (t )= t 3+1
7 Deux coureurs A et B partent en même
temps du village pour se rendre à la ville par
la même route. Leur course est caractérisée
par le graphique ci-dessous :
Vrai ou faux ?
a.
villag
B
La route
monte du village à la ville.
e
A
b.
A arrive en premier à la ville.
c.
A est toujours devant B.
d.
B court plus vite que A.
e.
B zigzague d'un côté à l'autre de la route.
f.
A court à vitesse constante.
8 Avec des allumettes, on constitue une
suite de figures régulières. Quel est le nombre
d’allumettes nécessaires pour la n-ième
figure?
a.
b.
10 Quelles sont les touches de la
calculatrice qui représentent des fonctions ?
11 Traduire chaque égalité par une phrase
contenant le mot « image »:
a. f(3) = 4
b.
g(0) = − 2
c.
h(x) = 3x2 − 4
d.
p(x) = − x
12 Traduire chaque phrase par une égalité
puis par une correspondance de la forme
x
... .
a.
x a pour image 4x − 5 par la fonction f.
b. L'image de
x par la fonction g est x(x  1).
c. Par la fonction h, − 3x est l'image de x.
d. Par la fonction r,
x a pour image 2x − 5x2.
e. La fonction k associe, à tout nombre
nombre 3(x − 2).
13 Voici
un
tableau
de
correspondant à une fonction f :
x
c.
−4 −3 −2 −1
f(x) 5
2
1
0
−3 −4
x, le
valeurs
1
2
3
4
5
3
4
−4
9 Le tableau suivant présente deux façons
Copyleft - Edition 2011
le
Fonction
définie par
une formule
4 Exprimer l’aire d’un triangle équilatéral en
fonction de la longueur de son côté.
5 Pour une longueur L donnée, exprimer, en
fonction d’un des côtés, l’aire d’un rectangle
ayant L pour périmètre.
fonctions ;
Chapitre 1 - Fonctions
21
a. Quelle est l'image de 3 par la fonction
f?
a. 3,5
b. Quel nombre a pour image − 3 par la
fonction f ?
b. -2
c. 2
17 Le graphique représente une fonction h:
c. Quels nombres ont la même image par la
fonction f ?
2
14 Ce graphique représente une fonction f.
1
− 2
1
0
2
1
Recopier et compléter le tableau suivant :
0
1
x
a. Quelle est l'image de 1 par f ?
f(0)
iii l'image de 2 par
ii l'image de − 2 par
f
f
− 1,25
h(x)
b. Donner des valeurs pour :
i
− 1
−1
1,5
1,25
18 Soit la fonction f définie par f(x) =
2
x
.
a. Recopier et compléter le tableau suivant :
iv
f(− 1)
ne peut pas trouver une fonction qui, à
associe y :
-1
x
15 Dans chaque cas, expliquer pourquoi on
x,
3
-0,1
f(x)
8
b. Quel nombre n'a pas d'image par f ?
a.
x
−2
1
0
2
−1
1
y
−4
3
−3
5
2
4
y
b.
19 Déterminer le domaine de définition des
fonctions réelles suivantes :
a.
f x= x
b.
f x= x1
f. f x =
1
c. f  x =
0
1
2
x
x
2
d. f x = x −1
16 Le tableau suivant est un tableau de
valeurs correspondant à une fonction f.
x
− 12
− 1,5
0
5
2
f(x)
4
−2
−1
3,5
−2
Dans chaque cas, indiquer, d'après le tableau,
la (ou les) préimage(s) du nombre donné par
la fonction f.
22
Chapitre 1 - Fonctions
2
2
x −5 x6
e. f  x =
−2
2
x
g. f  x =
 x 5
4− x
2
20 Déterminer l'ensemble des zéros des
fonctions réelles définies par :
a.
f x=3−x
d.
f x=x 2−4 x −7
b.
f x=x
e.
f x=−4x x
c.
f  x =x 2
f.
f x =
2
3
4
2− x
Copyleft - Edition 2011
g. f  x =
3−4 x
4
2− x
21 Représenter
fonctions suivantes :
graphiquement
a.
f x =−2x3
d.
f x =−∣ x∣
b.
f x =−1.8
e.
f x =− x
c.
2
f x = x 1
5
f.
f x =x5
g.
les
f x =x 6
22 Pour chacune des fonctions du deuxième
degré suivantes, donner si cela est possible
les formes développées, standards et
factoriséees, l'ordonnée à l'origine, les zéros,
l'axe de symétrie, le sommet et la représenter
graphiquement :
a.
f x =x2x 1
b. f x =−x 2 x1
c. f x =2 x 2 3 x4
f x =−3 x12 −2
i.
1
2
f x =2  −x  x 
5
5
f x=x2 −3 x2
d. f x =3 x 2 −6 x3
j.
e. f x=−2 x 2 – 1
k. f x =−x2 2 x3
f.
l. f x= x22
f x =1− xx 4
g.
24 On
considère
les
représentations
graphiques des fonctions du deuxième degré
suivants. Déterminer l'expression algébrique
de chacune des fonctions représentées cidessous :
m. f x=−x 2 x4
f x = x52 −34 n. f x =2 x 2−8 x −10
h.
o. f x =3 x−4 2 1
23 On
considère
les
représentations
graphiques des fonctions du deuxième degré
suivants. Déterminer l'expression algébrique
de chacune des fonctions représentées cidessous :
25 Voici les représentations graphiques de
trois fonctions ƒ , g, h de ℝ dans ℝ :
a. Déterminer à partir du graphique :
i
ƒ(1)
iv
g(1)
vii
h(1)
ii
ƒ(–2)
v
g(–2)
viii
h(–2)
iii
ƒ(0)
vi
g(0)
ix
h(0)
b. Vrai ou faux ? « Le point (–49;–48)
appartient à la courbe représentative de h. »
c. Résoudre graphiquement :
Copyleft - Edition 2011
i
f(x) = –3
v
g(x) > f(x)
ii
g(x) = 3
vi
f(x) = h(–3)
iii
h(x) = 0
vii
g(x) = g(x+1)
iv
f(x) = g(2)
viii
g(x) = h(x)
Chapitre 1 - Fonctions
23
d. Quels sont les zéros de f ? de
g ? de h ?
e. Sur quel ensemble
g ? et h ?
f est-elle positive ? et
f. Sur quel ensemble
f ? et h ?
g est-elle négative ? et
g. Sur quel ensemble
positive ? et f ? et g ?
h est-elle strictement
h. Sur quel ensemble h est-elle strictement
croissante ? et f ? et g ?
i. Sur
quel
ensemble
décroissante ? et f ? et g ?
j. Déterminer les
f(x), g(x) et h(x).
h
expressions
est-elle
algébriques
26 On constate que la température au
niveau de la mer est en moyenne de 15,6 °C
et elle baisse d’environ 10 °C lorsque l’on
monte de 1’500 m.
a. Exprimer la température de l’air T (en °C)
en fonction de l’altitude h (en m au-dessus du
niveau de la mer) par une expression du
type : T =g (h)=a⋅h+b pour 0 ≤h≤ 6000 .
b. Calculer la température de l’air à l’altitude
de 4’500 m.
t [en secondes] est donnée par la
h (t )=20+10 t − 1 g t 2 , où g ≃10 m/s2 .
2
a. A quel moment la pierre atteint-elle sa
hauteur maximale?
b. Quelle est cette hauteur maximale?
c. Combien de temps après son lancer la
pierre retombe-t-elle dans l'eau?
d. Interpréter graphiquement.
e. Déterminer le
D vipp
29 Une agence de voyage organise une
excursion. Le prix du billet a été fixé à 60.-,
mais la compagnie a consenti, dans le cas où
plus de 100 personnes feraient le voyage, à
baisser le prix de chaque billet de 25 cts par
personne additionnelle. Sachant qu'il en coûte
1000.- à l'agence pour transporter les 100
premiers passagers et 15.- par passager
additionnel, trouver le nombre de passagers
pour lequel le bénéfice net de la compagnie
est maximal. Interpréter graphiquement.
30 Considérons les trois fonctions f,
définies par f x =1−2xx² ,
g  x=2 x−1 ²−3 et
h  x=0.5 x−1x −6 .
g et h
c. Calculer l’altitude à laquelle il fait –17,8 °C.
a. Déterminer graphiquement
d’intersections de ces fonctions.
les
points
d. La fonction g(h) de degré 1 est-elle affine
ou linéaire ? Justifier.
b. Déterminer algébriquement
d’intersections de ces fonctions.
les
points
e. Représenter graphiquement g.
f. Conjecturer une valeur pour le zéro de g,
puis vérifier par un calcul.
g. Que signifie physiquement la pente de
cette droite ?
h. De combien diminue la température T pour
une augmentation d’altitude h de 1000 m ?
27 Pour quelle valeur de x l'expression
31 La loi de Mariotte (abbé et physicien
français, 1620-1684), s'exprime ainsi : pour
une masse donnée de gaz et à température
constante, le produit P x V de la pression de
ce gaz par son volume est constant. Les gaz
suivent approximativement cette loi : elle
n'est exacte que pour les gaz parfaits, c'est à
dire dont les interactions moléculaires sont
nulles. Une étude expérimentale, au moyen
d'un gaz enfermé dans un cylindre dont le
volume est variable grâce à un piston, a
permis, par le biais d'un manomètre, d'établir
la pression en fonction du volume :
x 2+(x+1)2 +(x+2)2 est-elle minimale, et que
vaut alors cette expression ?
V
17,5
18,5
20
21,5
Interpréter graphiquement.
P
112,8
103,1
102,6
89,9
28 A partir d'un pont situé à 20 m au
dessus d'une rivière, une pierre est jetée vers
le haut avec une vitesse initiale de 10 m/s. A
partir de ce moment, la hauteur h du
projectile par rapport à la rivière [en mètres]
24
au temps
formule :
Chapitre 1 - Fonctions
23,5
26
27
28,5
31,5
Copyleft - Edition 2011
84,1
78,9
73,2
67
66,2
a. Quelle est l'image de 0 par la fonction
a. Représenter le nuage des points ( V , P). Si
la loi de Mariotte s'applique, de quelle nature
est la fonction qui, au volume, associe la
pression ?
b. Calculer la moyenne des produits P x V
expérimentaux. Donner l'équation de la
courbe V
P(V). Représenter cette courbe
dans le même repère que le nuage.
Conclusion ?
EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
32 Traduire chaque phrase par une égalité:
b. Quels nombres ont pour image 0 par la
fonction h ?
c. Donner une valeur approchée de l'image
de 4 par la fonction h et de l'image de − 3 par
la fonction h.
36 On considère la fonction g définie par
g(x) = (x − 3)(x  1).
a. Quelle est l'image de 2 par
g?
b. Quelle est l'image de − 5 par
g?
a. Par la fonction g, − 5,3 est l'image de 6.
c. Quels sont les préimages de 0 par
b. 2,5 a pour image 4,2 par la fonction f.
d. Donner une préimage de − 3 par g.
c. L'image de 3 par la fonction
h est 7.
m est nulle.
33 Traduire chaque notation par une phrase
contenant le mot « image » et par une égalité.
a.
f:7
b.
g:−5
− 17
3,2
c.
h:x
− 4x2
d.
v:x
−3
34 Voici
un
tableau
correspondant à une fonction
de
valeurs
g:
x − 0,5 − 0,1 0 0,7 0,9 1,1 1,3
5
2
1 − 0,1 − 4
5
3,4
g(x)
Recopier et compléter les égalités suivantes:
a.
g(− 0,1) = ...
d.
g(...) = − 4
b.
g(...) = 1
e.
g(0,7) = ...
c.
g(0,9) = ...
f.
g(...) = 5
g?
37 On considère le programme de calcul :
d. Par la fonction p, − 4 a pour image − 6,5.
e. L'image de 5 par la fonction
h?
35 Ce graphique représente une fonction h :
i Choisir un nombre ;
ii Ajouter 6 à ce nombre ;
iii Multiplier le résultat par le nombre de
départ ;
iv Ajouter 9 au résultat.
a. Quel nombre obtient-on si l'on choisit 2
comme nombre de départ ? Donner le résultat
sous la forme du carré d'un nombre.
b. Même question avec 5.
c. On note x le nombre choisi au départ et on
appelle f la fonction qui, au nombre x, associe
le
résultat
du
programme
précédent.
Quelles sont les images de 2 et de 5 par la
fonction f ?
d. Exprimer, en fonction de x, l'image de x
par la fonction f. Donner le résultat sous la
forme du carré d'un nombre.
e. Recopier et compléter le tableau suivant :
x
2
5
0
−4
−8
2,5
f(x)
f. Donner une préimage de 1 par f.
1
0
Copyleft - Edition 2011
1
g. Représenter graphiquement la fonction f.
Chapitre 1 - Fonctions
25
h. En utilisant le graphique, quels nombres
peut-on choisir au départ pour obtenir 81
comme résultat ?
i. Retrouver la réponse précédente par le
calcul.
A
a. Calculer la hauteur puis l'aire d'un triangle
équilatéral de côté 5 cm.
b. On note x le côté d'un triangle équilatéral
(en cm). Exprimer sa hauteur en fonction de x.
c. On appelle f la fonction qui à x associe
l'aire du triangle équilatéral de côté x.
i Déterminer une expression de f.
ii Calculer f(5) ; f(3) et
f  3 .
1
définies par : f ( x )= x² + x +3 et
4
g ( x)= x²−8 x+12 .
a. les zéros ;
b. l’axe de symétrie de la parabole ;
sommet
b.
f (2,5) = 4,2
d.
p( − 4) = − 6,5
e.
m(5) = 0
a. 7 a pour image − 17 par la fonction
f(7) = − 17.
f .
b. − 5 a pour image 3,2 par la fonction
g(− 5) = 3,2.
g.
h, x a pour image − 4x2.
x par la fonction v .
d. − 3 est l'image de
v(x) = − 3.
35
a.
g(− 0,1) = 2
d.
g(0,9) = − 4
b.
g(0) = 1
e.
g(0,7) = − 0,1
c.
g(0,9) = − 4
f. g(1,1) = 5 ou
g(− 0,5) = 5
a. L'image de 0 par
h est − 1.
b. Les nombres qui ont pour image 0 par
h sont − 2 et 2.
Déterminer pour chacune de ces fonctions :
du
h(3) = 7
36
39 Considérons les fonctions de degré 2
c. les coordonnées
parabole ;
c.
c. Par la fonction
h(x) = − 4x2.
C
H
g(6) = − 5,3
34
38 Soit un triangle équilatéral :
B
a.
c. Une valeur approchée de l'image de 4 par
h est 3,25.Une valeur approchée de l'image
de − 3 par h est 1,25.
37
S de la
a.
g(2) = (2 − 3)(2  1) = − 3.
d. la concavité ou convexité de la parabole ;
b.
g( − 5) = (− 5 − 3)(− 5  1) = 32
e. l’ordonnée à l’origine ;
c. On cherche les valeurs de x telles que :
g(x) = 0
f. le tableau des signes ;
g. les intervalles de croissance/décroissance ;
h. la représentation graphique.
(x − 3)(x  1) = 0
un produit étant nul si l'un des facteurs est nul
x − 3 = 0 ou x  1 = 0
REPONSES DES EXERCICES
SUPPLEMENTAIRES
x = 3 ou x = − 1
Les préimages de 0 par
33
26
Chapitre 1 - Fonctions
d. On
peut
g sont − 1 et 3.
constater
que
(0 − 3)
Copyleft - Edition 2011
(0  1) = − 3. Donc 0 est
− 3 par g.
une préimage de
(On peut aussi développer g(x)...)
h. Par lecture graphique, en prolongeant la
courbe obtenue, on peut estimer que 81 a
pour préimages − 12 et 6.
i. On cherche les valeurs de
38
x telles que :
f(x) = 81
a. (2  6) 2  9 = 25 = 5².
(x  3)² = 81
b. (5  6) 5  9 = 64 = 8².
(x  3)² − 81 = 0
[(x  3) − 9][(x  3)  9] = 0
c. 2 a pour image 25 par la fonction f et 5 a
pour image 64 par cette même fonction.
d. f(x) = (x 6)
(x − 6)(x  12) = 0
x  9 = x²  6x  9=(x  3)²
donc
x = 6 ou x = − 12
e.
x
x − 6 = 0 ou x  12 = 0
Les préimages de 81 par
2
5
0
−4
−8
2,5
f sont − 12 et 6.
39
f(x)
25
64
9
1
25
30,25
a. Dans le triangle AHB, rectangle en
d'après le théorème de Pythagore,
H, on a
f. On cherche les valeurs de x telles que :
AH2  BH2 = AB2
f(x) = 1
Donc
(x  3)² = 1
Et
(x  3)² − 1 = 0
[(x  3) − 1][(x  3)  1] = 0
(x  2)(x  4) = 0
donc
x  2 = 0 ou x  4 = 0
x = − 2 ou x = − 4
AH2 = AB2 − BH2 = 52 − 2,52 = 18,75
AH = √ 18 ,75 ≈ 4 ,33 cm
A l'aire de ABC :
AH ⋅ BC
5 √ 18 ,75
2
A=
=
≈ 10 ,8 cm .
2
2
On note
Dans le triangle AHB, rectangle en
d'après le théorème de Pythagore,
H, on a
AH2  BH2 = AB2.
2
Les préimages de 1 par
f sont − 4 et − 2.
g. Par anticipation de la suite, la courbe est
tracée pour x entre -14 et +8.
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
Copyleft - Edition 2011
0
√
AH =
b. L'aire de
f (x)
-14-12-10 -8 -6 -4 -2
Alors
AH ⋅ BC
=
2
x
4
3x
4
2
√3
=
2
ABC est encore calculée par :
√ 3 x ⋅x
√ 3 x2
, d'où f ( x ) =
2
4
2
 3 ⋅5 2 = 25  3
f (3) =
√ 3 ⋅3 2 = 9 √ 3
4
4
4
x.
f 5 =
f ( √ 3) =
2 4 6 8
2
AH2 = AB2 − BH2 = x2 − x = 3 x .
Donc
4
4
√ 3 ⋅√ 32 = 3 √ 3
4
4
Chapitre 1 - Fonctions
27
o. g est croissante sur I  =[4 ;∞[
décroissante sur I  =]−∞ ;4 ] .
40
Pour la fonction f :
a. pas de zéros (
p.
Z f =∅ )
b.
x = -2
c.
S =(-2 ; 2)
d.
a > 0 => parabole convexe ∪
e.
f (0) = 3
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
f. tableau de signes :
x
–∞
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-2
-3
-4
-5
+∞
f(x)
et
+
I =[−2 ;∞[
g. f est croissante sur
décroissante sur I  =]−∞ ;−2] .
et
h.
8
7
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
Pour la fonction
g:
g ( x)= x² −8 x +12=( x−2)( x −6) donc les
zéros de g sont x = 2 et x =6 ( Z f ={2 ;6 } ).
i.
j.
x=4
S =(-4 ; 4)
k.
l.
a > 0 => parabole convexe ∪
m.
f (0) = 12
n. tableau de signes :
x
g(x)
28
–∞
2
+ 0
6
–
0
+∞
+
Chapitre 1 - Fonctions
Copyleft - Edition 2011
La vie n'est bonne qu'à étudier et à enseigner les mathématiques
Blaise Pascal (1623-1662)
Savoirs
✔ fonction, fonction réelle ;
✔ image, préimage, domaine de définition, ordonnée à l'origine, ensemble des zéros,
représentation graphique ;
✔ modélisation, domaine des valeurs intéressantes pour le problème (Dvipp) ;
✔ signe, tableau de signes, intervalles de croissance/décroissance ;
✔ différence entre f, f(x) et représentation graphique de f ;
✔ fonction constante, fonction du premier degré, fonction du deuxième degré, fonction
identité ;
✔ caractéristiques des fonctions du deuxième degré : axe de symétrie, sommet,
concave/convexe, forme standard, forme factorisée, forme développée ;
✔ autres fonctions élémentaires : racine carrée, un sur x,
x cube, valeur absolue ;
✔ .............................................................................................................................................
✔ ............................................................................................................................................
✔ ............................................................................................................................................
Savoir-faire
✔ étant donnée l'expression algébrique d'une fonction, calculer des images et préimages ;
✔ étant donnée la représentation graphique d'une fonction, déterminer des images et
préimages ;
✔ déterminer rapidement quelques paramètres :
✔ domaine de définition, intersections avec les axes (zéros, ordonnée à l'origine) ;
✔ selon les cas : axe et sommet, quelques images ;
✔ savoir représenter graphiquement des fonctions ;
✔ décrire en français la transformation effectuée par une fonction dont on connaît
l'expression algébrique ;
✔ modéliser une situation à l'aide de fonctions ; déterminer le domaine des valeurs
intéressantes pour le problème (Dvipp) ;
✔ ............................................................................................................................................
Copyleft - Edition 2011
Chapitre 1 - Fonctions
29
Notes personnelles
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
30
Chapitre 1 - Fonctions
Copyleft - Edition 2011