Algèbre linéaire - rappels et compléments

Psi 945 2016/2017
Exercices
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Algèbre linéaire - rappels et compléments
1
Espaces vectoriels, applications linéaires
Exercice 1 À savoir faire les yeux bandés ; CCP 2016
Soit E un espace vectoriel. Déterminer les endomorphismes de E tels que pour tout x ∈ E , la famille
(x, u(x)) est liée.
On pourra, dans un premier temps, supposer E de dimension nie et travailler dans une base.
Exercice 2 Mines 2010 (MP)
Soient E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de E . Montrer que E1 ∪ E2 est un sous-espace de E si et
seulement si E1 ⊂ E2 ou E2 ⊂ E1 .
Exercice 3 Mines 2010 (PC)
Soient E un espace vectoriel et u ∈ L(E) vériant 2u3 + 5u2 − 3u = 0. Exprimer, pour n > 3, un en
fonction de u et u2 .
Exercice 4 CCP 2008 (MP)
Soient E un K-espace vectoriel de dimension innie, et f, g ∈ L(E) vériant f ◦ g = IdE .
1. Montrer que Ker (g ◦ f ) = Ker (f ).
2. Montrer que Im (g ◦ f ) = Im g .
3. Montrer que E = Im (g) ⊕ Ker (f ).
Exercice 5 CCP 2010 (PC)
Soient n > 2, et p un projecteur de E = Rn de rang r ∈ [[1, n−1]]. Calculer le la dimension du commutant
de p (le sous-espace de L(E) constitué des endomorphismes de E qui commutent avec p).
Exercice 6 X 2010 (PC)
Soient E un espace de dimension nie et u ∈ L(E). Montrer que Ker (u) = Im (u) si et seulement si
u ◦ u = 0 et dim(E) = 2rg(u).
Exercice 7 CCP 2007
Soient E un espace vectoriel de dimension nie et f ∈ L(E).
1. Montrer que si Im (f ) ⊕ Ker (f ) = E , alors Im (f ) = Im (f 2 ).
2. Montrer que si Im (f ) = Im (f 2 ), alors Ker (f ) = Ker (f 2 ).
Exercice 8 Mines 2010 (PC)
Soient E un espace vectoriel de dimension n, f et g dans L(E) tels que f +g = IdE , avec rg(f )+ rg(g) 6 n.
Montrer que Im (f ) ⊕ Im (g) = E , puis que f et g sont des projecteurs.
Exercice 9 Centrale 2010 (PSI)
Soient E un espace vectoriel de dimension nie, f, g ∈ L(E) tels que E = Im (f ) + Im (g) = Ker (f ) +
Ker (g).
1. Montrer que les sommes sont directes.
2. Donner un contre-exemple en dimension innie.
Exercice 10 Inclusions d'hyperplans
Soient H1 et H2 deux hyperplans de E (de dimension innie !) tels que H1 ⊂ H2 . Montrer : H1 = H2 .
1
Exercice 11 Mines 2015 [6/10]
Pour a ∈ R, on dénit fa : x ∈ R 7−→ cos(x + a).
Soient a1 , a2 , a3 ∈ R. Discuter le rang de (fa1 , fa2 , fa3 ).
L'examinateur m'a fait penser au père Fouras : ses indications étaient peu compréhensibles .
Exercice 12 CCP 2015
Soient E un espace vectoriel de dimension nie, H un hyperplan de E , et u ∈ L(E). Montrer que H est
stable par u si et seulement s'il existe λ ∈ K tel que Im (u − λIdE ) ⊂ H .
Exercice 13 Mines 2015 et 2016
Soient E de dimension nie n > 1 et (ek )16k6n ∈ E n .
1. Montrer que Φ dénie par
∀u ∈ L(E),
Φ(u) = (u(e1 ), u(e2 ), ..., u(en )
est linéaire.
2. Montrer que (ek )16k6n est une base de E si et seulement si Φ est un isomorphisme.
Exercice 14 CCP 2015
Soit f ∈ L(E) avec E un espace de dimension nie n > 2. On suppose f nilpotente d'ordre n.
1. Montrer qu'il existe x0 ∈ E tel que x0 , f (x0 ), ..., f n−1 (x0 ) soit une base de E .
2. Que vaut Mat(f, B) ?
3. Soit g ∈ L(E). Montrer que g ◦ f = f ◦ g si et seulement si g ∈ Vect(IdE , f, ..., f n−1 ).
Exercice 15 TPE 2015
Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et f un endomorphisme non nul deE tel quef 2 = 0.
0
0
1
1. Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f vaut 0 0 0
0
0
0
2. Soit p > 3. Montrer (par l'absurde) qu'il ne peut exister g ∈ L(E) tel que g = f .
3. Supposons g 2 = f . Montrer que g et f commutent.
4. Trouver tous les g ∈ L(E) tel que g 2 = f .
p
Exercice 16 CCP 2014 [6/10]
On considère un R-espace vectoriel E , et f un endomorphisme de E .
1. Montrer que si Im (f ) = Im (f 2 ), alors E = Im (f ) + Ker (f ).
2. Étudier la réciproque.
Exercice 17 Mines 2015 [5/10]
On considère un R-espace vectoriel E de dimension n ∈ N∗ . Soit σ ∈ L(E) tel que σ 2 = −IdE .
1. Montrer que n est pair.
2. En notant p = n/2, montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de u vaut
(0)
Ip
−Ip
.
(0)
Exercice 18 Centrale 2015 [7/10]
Soient E un espace vectoriel de dimension nie, ainsi que f, g ∈ L(E) tels que f 2 = g 2 = IdE et
f ◦ g + g ◦ f = 0.
1. Montrer que dim(E) est un entier pair.
2. Montrer qu'il
une base de E dans laquelle les matrices de f et g sont respectivement
existe
In
0
0
−In
et
0
In
In
0
Exercice 19 Petites mines 2016
Soit E un espace de dimension 3, et f1 , f2 , f3 trois endomorphismes de E tels que f12 = f22 = f32 = 0,
avec fi ◦ fj = 0 pour tout i 6= j . Montrer : f1 ◦ f2 ◦ f3 = 0.
2
2
Polynômes, fractions rationnelles
Exercice 20 CCP 2007, 2008
Soient n ∈ N∗ et P = X 2n − 2 cos(nθ)X n + 1. Factoriser P en éléments irréductibles dans C[X] puis
R[X].
Exercice 21 Relations coecients-racines
Factoriser (X + i)2m+1 − (X − i)2m+1 (m ∈ N∗ ) en produit d'irréductibles.
En déduire une expression de
m
Y
k=1
cotan
kπ
·
2m + 1
Exercice 22 Mines 2010 (polynômes de Hilbert)
On dénit H0 = 1, H1 = X et plus généralement, pour n ∈ N∗ :
Hn =
X(X − 1) . . . (X − n + 1)
·
n!
1. (question que j'ai ajoutée) Exprimer H15 (20) à l'aide d'un coecient binomial. Même chose pour
H15 (−10).
2. Montrer que pour tout n ∈ N et tout p ∈ Z, on a Hn (p) ∈ Z.
3. Soit P ∈ R[X]. Montrer qu'il y a équivalence entre :
(a) Pour tout p ∈ Z, P (p) ∈ Z.
(b) Il existe λ0 , ..., λn ∈ Z tels que P = λ0 H0 + λ1 H1 + · · · + λn Hn .
Exercice 23 Polynômes de Tchebychev
1. Montrer que pour tout n ∈ N, il existe Tn , Un ∈ R[X] tel que pour tout θ ∈ R, cos(nθ) = Tn (cos θ)
et sin ((n + 1)θ) = sin θUn (cos θ).
2. Donner les premiers Tn et Un , ainsi que le terme dominant de Tn et Un , pour tout n ∈ N.
3. Factoriser Tn et Un en produit d'irréductibles.
Exercice 24 Polynômes de Bernoulli
Montrer qu'il existe une unique suite de polynômes (Bn )n∈N telle que B0 = 1 et pour tout n ∈ N,
0
Bn+1
= (n + 1)Bn et
1
Z
Bn = 0.
0
1. Déterminer B1 et B2 .
2. Donner le degré et le coecient dominant de Bn .
3. Prouver :
Bn (1 − X) = (−1)n Bn (X);
Bn (X + 1) − Bn (X) = nX n−1 ;
et
Bn (0) = Bn (1)
B2n+1 (0) = 0.
Exercice 25 CCP 2007, 2009
Soient E = Rn [X] et f ∈ L(E) dénie par f (P ) = P − P 0 .
1. Montrer que f est bijective de deux manières :
(a) avec une matrice ;
(b) sans !
2. Soit Q ∈ R[X]. Comment trouver P ∈ R[X] tel que f (P ) = Q ?
Exercice 26 CCP 2007
Soit ϕ l'endomorphisme de E = Rn [X] déni par ϕ(P ) = P (X) − P (X − 1).
1. Écrire la matrice de ϕ dans la base canonique de E .
2. En déduire l'image et le noyau de ϕ.
3
Exercice 27 Mines 2009
Soit P ∈ R[X] scindé sur R. Montrer que P 0 est scindé sur R.
Exercice 28 X 2010 (PC)
Soient r ∈ R et n un entier > 2.
1. Montrer qu'il existe un unique polynôme P ∈ Rn−1 [X] tel que P (k) = rk pour tout k ∈ [[1, n]].
2. Que vaut alors P (n + 1) ?
Exercice 29 ENSAM 2016
Soit P = X 3 − X 2 − 1.
1. Montrer que P n'admet que des racines simples.
2. Montrer que P admet une racine réelle et deux complexes (non réelles) conjuguées
Exercice 30 Centrale 2016
Un polynôme P = a0 + · · · + an X n (an 6= 0) est dit réciproque lorsque pour tout k ∈ [[0, n]], ak = an−k .
1. Montrer que P est réciproque de degré n si et seulement si P (X) = X n P (1/X).
2. On suppose que 1 est racine de P réciproque. Montrer que la multiplicité de 1 est au moins 2.
3. Que dire de −1 ? (racine ? multiplicité ?)
4. On suppose P symétrique de degré pair. Montrer que P se factorise sous la forme :
P =α
p
Y
(X 2 + bk X + 1)
k=0
Exercice 31 Mines 2015
Soient P0 , ..., Pn ∈ Kn [X]. Montrer que (P0 , ..., Pn ) est libre si et seulement s'il existe (a0 , ..., an ) ∈ Kn+1
tel que la matrice ((Pi (aj ))06i,j6n est inversible.
NDLR : s'il a été posé comme ça, c'est vraiment méchant. En fait, on peut changer le il existe
(a0 , ..., an ) ∈ Kn+1 en pour toute famille (a0 , ..., an ) de scalaires distincts deux à deux , ce qui
est beaucoup plus simple !
Exercice 32 TPE 2015 [3/10]
Soient n ∈ N∗ , et Φn : P ∈ Rn [X] 7−→ Q − XR, avec Q et R le quotient et le reste de P (X 2 ) par
An = 1 + X + · · · + X n .
1. Montrer que Φn est un endomorphisme de Rn [X].
2. Écrire la matrice de Φ3 dans la base canonique de R3 [X].
Exercice 33 Centrale 2013 [6/10]
Soit n ∈ N∗ . On dénit ∆ ∈ L(Rn [X]) par : ∆(P ) = P (X + 1) − P (X).
1. Montrer que ∆ est nilpotent.
2. En déduire :
n
∀P ∈ Rn−1 [X],
3
X
n
(−1)n−j
P (X + j) = 0.
j
j=0
Calcul matriciel
Exercice34 CCP
2012 (MP)
−14
.
5
1. Calculer B n .
Soit B =
−8
3
un+1 = −16un − 28vn
vn+1 = 6un + 10vn
Exprimer un et vn en fonction de u0 et v0 .
2. Soient (un ) et (vn ) vériant
4
Exercice 35 Mines 2010 (MP)
Déterminer les endomorphismes de E (de dimension nie) ayant la même matrice dans toutes les bases
de E .
Exercice 36 TPE 2010
Soit A ∈ Mn (C) telle que rg(A) = tr(A) = 1. Montrer : A2 = A.
Exercice 37 CCP 2016
Soient X, Y ∈ Mn,1 (R) (non nuls).
1. Déterminer le rang de M = X tY .
2. Donner le déterminant de M − λIn .
Exercice 38 Mines 2010 (PC)
Soient A, B ∈ Mn (R) telles que rg(AB − BA) = 1. Calculer (AB − BA)2 .
Exercice 39 Mines 2010 (PC), TPE 2016 (PSI)
Soient A, B ∈ Mn (C). Existe-t-il M ∈ Mn (C) telle que M + (trM )A = B ?
Exercice 40 TPE 2016
Soit T l'ensemble des matrices triangulaires supérieures.
1. (a) Montrer que T est un espace vectoriel. Donner sa dimension.
(b) Montrer que T est stable par produit.
2. Soit T ∈ T inversible.
(a) Montrer que ψ : M 7→ M T est un endomorphisme de T .
(b) Caractériser le noyau de ψ et donner le rang de ψ .
(c) Justier que T −1 ∈ T .
Exercice 41 TPE 2014 [6/10]
Soient A ∈ M3,2 (R) et B ∈ M2,3 (R) telles que :

1
AB = −2
1
1
x
−2

2
1
1
1. Déterminer la valeur de x.
2. Déterminer deux matrices A et B qui conviennent.
Exercice 42 Télécom sud Paris 2012 
a+b
ab
 1
a
+b


1
Soient a, b ∈ C. Calculer le déterminant de 


 (0)

ab
..
..
.
.
..
..
.
.
1
(0) 





ab 
a+b
Exercice 43 Mines 2010
Soit A = Diag(1, 2, 1). Calculer le déterminant de M ∈ M3 (R) 7→ AM + M A.
4
Des indications (et même un peu mieux)
Exercice 1 : il s'agit évidemment de montrer que les endomorphismes ayant cette propriété sont
exactement les homothéties. Dans un sens, c'est trivial. Réciproquement, on suppose la propriété
vériée, et en dimension nie, on peut regarder la matrice de u dans une base. Elle est d'abord
diagonale (regarder u(e1 )), puis scalaire (regarder u(e1 + e2 )).
5
Exercice 2 : pour le sens non trivial, par la contraposée : si E1 6⊂ E2 et E2 6⊂ E1 , cela nous fournit
deux habitants de E1 ∪ E2 dont la somme aura bien du mal à être dans E1 comme dans E2 .
Exercice 3 : reste dans la division euclidienne de X n par X(X + 3)(2X − 1)...
Exercice 4 : pour les deux premiers points, une inclusion est systématique, l'autre se faisant
en composant avec f . Pour les supplémentaires, analyse/synthèse pour prouver que chaque x ∈
E se décompose de façon unique selon Im (g) et Ker (f ). Attention, il n'y a pas d'argument
dimensionnel !
Exercice 5 : parions pour r2 + (n − r)2 . Matriciellement, ou géométriquement : p ◦ u = u ◦ p si et
seulement si l'image et le noyau de p sont stables par u.
Exercice 6 : déjà, u ◦ u = 0 est équivalent à : Im (u) ⊂ Ker (u). Il n'y a plus grand chose à faire...
Exercice 7 : une inclusion systématique, et l'autre... locale. Ensuite, une inclusion, et les dimensions
via le théorème du rang. Bonus : donner des contre-exemples en dimension innie
Exercice 8 : grassmanniser sur Im (f ) + Im (g), qui contient Im (f + g)... puis regarder par exemple
les matrices dans une base adaptée aux supplémentaires.
Exercice 9 : les Grassmann-inégalités rg(f ) + rg(g) > n et dim(Ker f ) + dim(Ker g) > n sont en
fait des égalités, car quand on les additionne... Dans K[X], on peut prendre des variations autour
de la dérivation et de P 7→ P (0)...
Exercice 10 : reprendre la preuve de si Ker (ϕ1 ) = Ker (ϕ2 ), alors ϕ1 et ϕ2 sont colinéaires .
Exercice 11 : déjà, le rang est majoré par 2 car tout se passe dans E = Vect(cos, sin). Ensuite, on
peut regarder la matrice représentant ces trois vecteurs dans la base (cos, sin) : quel peut être son
rang ?
Exercice 12 : exceptionnellement, on pourrait travailler dans une base adaptée au problème...
Exercice 13 : injectivité et dimensions.
Exercice 14 : rha, si seulement on avait déjà rencontré cette situation une ou deux dizaines de fois
dans le passé, ça pourrait nous aider...
Exercice 15 : Im (f ) ⊂ Ker (f ), donc les dimensions de ces deux protagonistes (non triviaux) sont
1 et 2. La résolution par blocs de B 2 =
A
(Ker f est stable par g ) conduira à chercher une matrice
de rang 1, de carré nul et possédant
1
0
dans son image.
Exercice 16 : pour le premier point, si Im (f ) = Im (f 2 ) et x ∈ E , alors il existe x1 tel que
f (x) = f 2 (x1 ), de sorte que f (x−f (x1 )) = 0, et il semble intéressant de regarder la décomposition
x = f (x1 ) + (x − f (x1 )). La réciproque s'établit normalement sans problème par double inclusion,
l'une étant générique.
Exercice 17 : regarder le déterminant... Ensuite, si e1 6= 0, alors (e1 , σ(e1 )) est libre. Montrer qu'en
prenant e2 ∈
/ Vect(e1 , σ(e1 )), alors (e1 , e2 , σ(e1 ), σ(e2 )) est libre ; etc.
Exercice 18 : le déterminant de f ◦ g = −g ◦ f impose : (−1)n det f det g = det f det g , or f et g
sont des symétries, donc bijectives, donc (−1)n = 1, d'où la parité de n. Ensuite, si on construit
une base de E en concaténant des bases de E1 = Ker (f − IdE ) et E2 = Ker (f + IdE ), la matrice
de f dans cette base est de la forme voulue, mais pas celle de g a priori. Ceci dit, un calcul par
bloc nous montre (via la relation f ◦ g = −g ◦ f ) que g(E1 ) ⊂ E2 , et qu'il y a même égalité
(injectivité et dimensions). Finalement, on peut reprendre notre base de E1 et la concaténer avec
son image par g : cela fournira une base de E qui devrait être assez favorable !
Joli exo, je trouve (à l'exception du premier argument, laid).
1
Exercice 19 : cet énoncé
me semble
 suspect, puisqu'après avoir construit une base dans laquelle
0

la matrice de f1 vaut 0
0
0
0
0
1
0, la stabilité de Ker (f1 ) et Im (f1 ) par f2 nous assure que la
0


0 a b
matrice de f2 dans cette base est de la forme 0 0 c , et on a donc f1 ◦ f2 = 0...
00 0
Exercice 20 : déjà, P = X n − eniθ X n − e−niθ . Ensuite, il faut savoir résoudre z n = K ... P
est donc scindé.
Exercice 21 : c'est un polynôme de degré 2m dont on connaît les racines (attention à la résolution
de P (z) = 0...).
1. Voir aussi l'exercice 15.
6
Exercice 22 : distinguer trois cas : 0 6 p < n, p < 0 et p > n. Pour montrer que les λi sont entiers,
évaluer en 0, puis 1...
Exercice 23 : unicité à faire soigneusement (les cos θ décrivent une innité de valeurs, fournissant
une innité de racines à la diérence de deux candidats solution). Pour l'existence : récurrence
double, ou bien récurrence simple en traitant en parallèle les Tn et Un , ou encore calcul direct via
n
einθ = eiθ .
Exercice 24 : récurrences ; l'unicité peut aider à prouver des relations...
Exercice 25 : matrice triangulaire versus noyau + théorème du rang... S'agit-il de dire qu'on
obtient un système triangulaire à deux bandes ?
Exercice 26 : matrice nilpotente de rang n. Compléments : quel est l'ordre de nilpotence ? Et
refaire le tout sans matrice !
Exercice 27 : Rolle entre racines (éventuellement multiples, attention).
Exercice 28 : pf... Calcul brute force à partir de l'expression des polynômes d'interpolation.
On trouve r (rn − (r − 1)n ). J'ai du passer à côté de quelque chose...
Exercice 29 : utiliser la caractérisation à l'aide des dérivées (s'il y avait une racine double, elle
serait racine de la dérivée, donc vaudrait... etc). Accessoirement, la dénition précise ET la caractérisation ont été demandées. Une étude de fonction permet de conclure.
Exercice 30 : encore une fois, la caractérisation de la multiplicité est utile... Ici, on obtient P 0 (1) =
nP (1) − P 0 (1)... Enn, (X − ω)(X − 1/ω) =?
Exercice 31 : pour le sens indirect , on suppose par l'absurde la famille de polynômes liée,
et on en déduit une relation de dépendance entre les lignes de la matrice. Réciproquement, une
combinaison linéaire nulle des lignes de la matrice fournit un polynôme nul en n + 1 points...
Exercice 32 : deg(Q) 6 n et deg(R) < n. Pas envie de calculer Φ3 (X 2 ) et Φ3 (X 3 ), mais ça ne doit
pas être trop dicile !
Exercice 33 : si P 6= 0, alors deg(∆(P )) < deg(P ) (on peut aussi regarder la matrice de ∆ dans
la base canonique). Ensuite, si P ∈ Rn−1 [X] alors ∆n (P ) = 0 ; on écrit alors ∆ = (∆ + Id) − Id
et on binomise... dans L(E) entre endomorphismes qui commutent.
Exercice 34 : B 2 = 3B − 2I2 , donc X 2 − 3X + 2 = (X − 2)(X − 1) est un polynôme annulateur
de B ...
Exercice 35 : la matrice de tels endomorphismes doit commuter avec toutes les inversibles, donc
toutes les matrices de la forme In + Ei,j donc toutes les Ei,j , donc toutes les matrices... donc être
une matrice scalaire.
Exercice 36 : n'aurait-on pas A2 = (trA)A ?
Exercice 37 : toutes les colonnes sont colinéaires, et il y en a au moins une non nulle, donc le rang
vaut 1. Cette matrice est alors semblable ou bien à E1,n (si Im u ⊂ Ker (u)) ou bien à tr(u)En,n
(sinon)...
Exercice 38 : voir un peu plus haut, le carré d'une matrice de rang 1 étant connu...
Exercice 39 : Considérer Φ : M 7→ M + (trM )A. Quelqu'un dans son noyau est forcément de la
forme λA ; mais Φ(A) = (1 + tr(A))A, donc si tr(A) 6= −1, alors Φ est bijective. Sinon, le noyau
est une droite, donc l'image est un hyperplan, et la condition nécessaire d'existence tr(B) = 0
donne une inclusion de l'image dans un hyperplan donc l'égalité...
Exercice 40 : on exhibe facilement une base constituée de 1 + 2 + · · · + n matrices élémentaires.
Pour l'avant dernière question, je prouve l'injectivité de ψ (donc sa surjectivité !) en utilisant
M 7→ M T −1 ... c'est-à-dire la dernière question !


1
0
0
Exercice 41 : un exo original ! Le rang de AB vaut au plus 2 ; mais c'est aussi celui de −2 x + 2 5 ,
1
−3
−1
doncx = 13. Ensuite,
on
choisit
A
dont
les
colonnes
forment
une
base
de
l'image,
par
exemple

1
0
A = −2 5 , puis on ajuste B pour obtenir les bonnes combinaisons linéaires de colonnes...
1 −1
Exercice 42 : Dn+2 = (a + b)Dn+1 − abDn , et X 2 − (a + b)X + ab n'est pas trop compliqué à
factoriser (et pitié, pas de racinedebécarrémoinsquatreassez : a et b sont complexes).
Exercice 43 : p je regarderais éventuellement ce qui se passe sur la base canonique de M3 (R)...
7