Tle ES - programme 2012 - mathématiques – ch.7 - cours (D’après Nathan – collection Transmath 2012 – ch.8) Page 1 sur 5 Ch.8 Lois de probabilité à densité 1 LOI À DENSITÉ SUR UN INTERVALLE I 1.1 Définition La notion qui suit a été introduite en activité page 217. DÉFINITION 1 X est une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle I. On dit que X suit la loi à densité f si : f est une fonction continue et positive sur I. b f (x) dx. Pour tous réels a et b de I, p({a < X < b}) = a La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X. Remarque : Dans le cas où I n'est pas borné, on admet que I f (x) dx est un nombre fini que l'on peut visualiser par l'aire sous la courbe d'un « domaine infini » ; et que les propriétés usuelles de l'intégrale sont encore vraies dans ce cas : linéarité, relation de Chasles… 1.2 Propriétés THÉORÈME 1 X est une variable aléatoire qui suit une loi à densité f sur I. Alors : 1) f (x) dx = 1. I 2) Pour tout réel a de I, p({X = a}) = 0. 3) Si A et B sont deux intervalles disjoints de I, alors p({X A B}) = p({X A}) + p({X B}). 4) Pour tout réel a de I, p({X < a}) = p({X a}). Démonstration : 1) f (x) dx = p({X I}). Or X prend toutes ses valeurs dans I, donc l'événement {X I} est I l'événement certain et p({X I}) = 1. a 2) p({X = a}) = f (x) dx = 0. a 3) Les événements {X A} et {X B} sont disjoints puisque les intervalles A et B sont disjoints. Donc p({X A B}) = p({X a}) + p({X B}). 4) L'événement {X A} est la réunion des deux événements {X < a} et {X = a}. Or ces deux événements sont disjoints. Donc, d'après la propriété 3, p({X a}) = p({X < a}) + p({X = a}) et p({X = a}) = 0. D'où le résultat. Remarque importante : Pour qu'une fonction f continue positive sur un intervalle I soit une densité de probabilité, il est nécessaire que f (x) dx = 1. I 1.3 Exemple Reprenons l'exercice présenté en activité p. 217 : on lance au hasard une flèche sur un disque D de rayon 1 mètre. Notons X la variable aléatoire qui associe à chaque point du disque sa distance au centre du disque. Posons, pour tout x de [0 ; 1], f (x) = 2x. On a vu que X suit la loi de densité f sur [0 ; 1]. H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes) http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr Tle ES - programme 2012 - mathématiques – ch.7 - cours (D’après Nathan – collection Transmath 2012 – ch.8) Page 2 sur 5 2 LOI UNIFORME SUR [a ; b] DÉFINITION 2 Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a ; b] si elle admet comme densité de probabilité la fonction f définie sur [a ; b] par f (x) = 1 . b–a b b On peut remarquer que f (x) dx est égal à 1. En effet, f (x) dx est l'aire « sous la courbe », c'est donc l'aire a a 1 du rectangle de côtés b – a et . b–a 3 ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE 3.1 Définition DÉFINITION 3 X est une variable aléatoire de densité f sur [a ; b]. Alors l'espérance mathématique de X est le nombre noté b E(X) défini par E(X) = a f (x) dx. Remarque : Du cas discret au cas continu Dans le cas d'une variable aléatoire discrète, c'est-à-dire prenant un nombre fini de valeurs {x1 , x2 , … , xn}, on sait que l'espérance mathématique de X, notée E(X), est définie ainsi : i=n E(X) = xi p({X = xi}). i=1 On peut remarquer l'analogie entre les deux définitions. Quand on passe du cas discret au cas continu, le symbole i=n ab , et « p({X = xi}) » devient « f (x) dx ». devient i=1 3.2 Espérance d'une loi uniforme THÉORÈME 2 X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a ; b]. Alors E(X) = a+b . 2 Démonstration : La densité de probabilité de X est la fonction f : x E(X)= x b a 1 . Donc : b–a 1 1 1 x2b 1 1 b+a b dx = x dx = = (b2 – a2) = (b – a)(b – a) = . b–a b – a a b – a 2 a 2(b – a) 2(b – a) 2 Exemple : X suit une loi uniforme sur [0 ; 1]. Dans ce cas, a = 0 et b = 1 d'où E(X) = H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes) 1 . 2 http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr Tle ES - programme 2012 - mathématiques – ch.7 - cours (D’après Nathan – collection Transmath 2012 – ch.8) Page 3 sur 5 4 LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE Cette notion a été introduite en activité page 216. 4.1 Définition DÉFINITION 4 Une variable aléatoire de densité f sur IR suit la loi normale centrée x2 1 réduite si f (x) = e 2 . 2 On note cette loi N(0 ; 1). Sa courbe représentative Cf est donnée ci-contre. Propriétés de la courbe Cf Cette courbe peut être obtenue aisément à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel. On peut remarquer que : 1 1 0 1 car f (0) = e = . 2 2 2 L'ordonnée du point A est égale à Cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. En effet, deux points quelconques de cette courbe, d'abscisses opposées a et –a, ont même ordonnée car e a2 2 =e ( a )2 2 . Remarque : L'aire du domaine « illimité » compris entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à 1 puisque f est une + 1 2x densité de probabilité. On note cette aire e dx. – 2 2 4.2 Exemples Les calculatrices donnent directement p({a X b}) (voir page 225). Ainsi par exemple pour a = 1 et b = 2, on a p({1 X 2}) 0,14. Ce nombre est égal à l'aire du domaine colorié ci-contre. 4.3 Probabilité de l'événement {X [–1,96 ; 1,96]} On peut lire sur la calculatrice que p({–1,96 X 1,96}) 0,95. Donc p({ X [–1,96 ; 1,96}) = 1 – p({–1,96 X 1,96}) 0,05. 1,96 + Ceci signifie que f (x) dx 0,05 ; donc, en dehors de l'intervalle [–1,96 ; 1,96], l'aire sous la f (x) dx + – 1,96 courbe est très petite. On conçoit intuitivement que pour qu'il en soit ainsi, la courbe se rapproche « très vite » de l'axe des abscisses lorsque x devient de plus en plus grand. 5 LOI NORMALE N( ; 2) 5.1 Définition DÉFINITION 5 Une variable aléatoire X suit la loi normale N( ; 2) si H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes) X– suit la loi normale N(0 ; 1). http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr Tle ES - programme 2012 - mathématiques – ch.7 - cours (D’après Nathan – collection Transmath 2012 – ch.8) Page 4 sur 5 Remarques : 1) On peut démontrer que si X suit la loi normale N( ; 2) alors la densité de probabilité de X est la 1 fonction f définie sur IR par f (x) = e 2 1 X μ 2 σ 2 . Cette expression algébrique n'est pas un attendu du programme. 2) La courbe d'équation y = f (x) est symétrique par rapport à la droite d'équation x = . En effet, considérons, pour a > 0, les réels + a et – a symétriques par rapport à . 1 a 2 1 a 2 1 1 f ( + a) = e 2 σ , f ( – a) = e 2 σ . 2 2 Donc f ( + a) = f ( – a). Les points A et B sont donc symétriques par rapport à la droite d'équation x = . 5.2 Espérance et écart-type DÉFINITION 6 X désigne une variable aléatoire de densité f sur I. Notons m = E(X). Alors la variance de X, notée V(X) est le nombre défini par V(X) = E((X – m)2). L'écart-type de X est égal à V(X). THÉORÈME 3 Si X suit la loi N( ; 2) alors : E(X) = µ V(X) = 2. Démonstration : Nous admettons ce théorème. Remarque : Si X suit la loi N(0 ; 1), alors E(X) = 0 et V(X) = 1. 5.3 Interprétation de la variance On peut vérifier à l'aide d'un logiciel que V(X) traduit la dispersion des valeurs de X par rapport à l'espérance . Exemple : Voici ci-dessous deux courbes représentant la densité de la loi normale N(0 ; 2) dans le cas où = 1 et où =2: =2 =1 Plus précisément, lorsque est petit « l'aire sous la courbe » est plus concentrée autour de l'espérance, égale à . La probabilité que X [–2 ; 2], dans le cas = 1, est plus grande que dans le cas = 2. H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes) http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr Tle ES - programme 2012 - mathématiques – ch.7 - cours (D’après Nathan – collection Transmath 2012 – ch.8) Page 5 sur 5 5.4 Probabilité des événements {X [ – ; + ]}, {X [ – 2 ; + 2]} et {X [ – 3 ; + 3]} THÉORÈME 4 X suit la loi normale N( ; 2). Alors : p({X [ – ; + ]}) 0,68 p({X [ – 2 ; + 2]}) 0,95 p({X [ – 3 ; + 3]}) 0,997. Démonstration : Nous admettons ce théorème. Le logiciel GeoGebra permet de justifier ces valeurs : voir travaux dirigés page 251. Remarque : Les trois probabilités précédentes 0,68, 0,95 et 0,997 ne dépendent ni de , ni de . H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes) http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr