Scientifique (cours)

Tle ES - programme 2012 - mathématiques – ch.7 - cours Page 1 sur 5
(D’après Nathan – collection Transmath 2012 – ch.8)
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes) http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr
Ch.8 Lois de probabilité à densité
1 LOI À DENSITÉ SUR UN INTERVALLE I
1.1 Définition
La notion qui suit a été introduite en activité page 217.
DÉFINITION 1
X est une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle I. On dit que X suit la loi à densité f si :
 f est une fonction continue et positive sur I.
 Pour tous réels a et b de I, p({a < X < b}) = 
ab f (x) dx.
La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X.
Remarque :
Dans le cas où I n'est pas borné, on admet que
I f (x) dx est un nombre fini que l'on peut visualiser par
l'aire sous la courbe d'un « domaine infini » ; et que les propriétés usuelles de l'intégrale sont encore vraies
dans ce cas : linéarité, relation de Chasles…
1.2 Propriétés
THÉORÈME 1
X est une variable aléatoire qui suit une loi à densité f sur I. Alors :
1)
I f (x) dx = 1.
2) Pour tout réel a de I, p({X = a}) = 0.
3) Si A et B sont deux intervalles disjoints de I, alors p({X  A  B}) = p({X  A}) + p({X  B}).
4) Pour tout réel a de I, p({X < a}) = p({X  a}).
Démonstration :
1)
I f (x) dx = p({X  I}). Or X prend toutes ses valeurs dans I, donc l'événement {X  I} est
l'événement certain et p({X  I}) = 1.
2) p({X = a}) =
aa f (x) dx = 0.
3) Les événements {X  A} et {X  B} sont disjoints puisque les intervalles A et B sont disjoints.
Donc p({X  A  B}) = p({X  a}) + p({X  B}).
4) L'événement {X  A} est la réunion des deux événements {X < a} et {X = a}. Or ces deux événements
sont disjoints. Donc, d'après la propriété 3, p({X  a}) = p({X < a}) + p({X = a}) et p({X = a}) = 0. D'où
le résultat.
Remarque importante :
Pour qu'une fonction f continue positive sur un intervalle I soit une densité de probabilité, il est nécessaire
que
I f (x) dx = 1.
1.3 Exemple
Reprenons l'exercice présenté en activité p. 217 : on lance au hasard une flèche sur un disque D de rayon 1
mètre. Notons X la variable aléatoire qui associe à chaque point du disque sa distance au centre du disque.
Posons, pour tout x de [0 ; 1], f (x) = 2x. On a vu que X suit la loi de densité f sur [0 ; 1].

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2 LOI UNIFORME SUR [a ; b]
DÉFINITION 2
Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a ; b] si elle admet comme
densité de probabilité la fonction f définie sur [a ; b] par f (x) = 1
b – a .
On peut remarquer que 
ab f (x) dx est égal à 1. En effet,  ab f (x) dx est l'aire « sous la courbe », c'est donc l'aire
du rectangle de côtés b – a et 1
b – a .
3 ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE
3.1 Définition
DÉFINITION 3
X est une variable aléatoire de densité f sur [a ; b]. Alors l'espérance mathématique de X est le nombre noté
E(X) défini par E(X) =
ab f (x) dx.
Remarque : Du cas discret au cas continu
Dans le cas d'une variable aléatoire discrète, c'est-à-dire prenant un nombre fini de valeurs {x1 , x2 , … , xn},
on sait que l'espérance mathématique de X, notée E(X), est définie ainsi :
E(X) = 
i = 1
i = n xi  p({X = xi}).
On peut remarquer l'analogie entre les deux définitions. Quand on passe du cas discret au cas continu, le
symbole 
i = 1
i = n
devient
ab , et « p({X = xi}) » devient « f (x) dx ».
3.2 Espérance d'une loi uniforme
THÉORÈME 2
X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a ; b]. Alors E(X) = a + b
2 .
Démonstration :
La densité de probabilité de X est la fonction f : x  1
b – a . Donc :
E(X)= 
a
b x  1
b – a dx = 1 b – a 
ab x dx = 1
b – a 
x2
2
b
a = 1
2(b – a) (b2 – a2) = 1 2(b – a) (b – a)(b – a) = b + a 2 .
Exemple :
X suit une loi uniforme sur [0 ; 1]. Dans ce cas, a = 0 et b = 1 d'où E(X) = 1
2 .

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4 LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE
Cette notion a été introduite en activité page 216.
4.1 Définition
DÉFINITION 4
Une variable aléatoire de densité f sur IR suit la loi normale centrée
réduite si f (x) = 1
2 e
2
2
x
.
On note cette loi N(0 ; 1).
Sa courbe représentative Cf est donnée ci-contre.
Propriétés de la courbe Cf
Cette courbe peut être obtenue aisément à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel. On peut remarquer que :
 L'ordonnée du point A est égale à 1
2 car f (0) = 1 2 e0 = 1 2 .
 Cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. En effet, deux points quelconques de cette courbe,
d'abscisses opposées a et –a, ont même ordonnée car e
2
2
a
= e
2
()
2
a
.
Remarque :
L'aire du domaine « illimité » compris entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à 1 puisque f est une
densité de probabilité. On note cette aire
–
+ 1
2 e
2
2
x
dx.
4.2 Exemples
Les calculatrices donnent directement p({a  X  b}) (voir page 225). Ainsi par
exemple pour a = 1 et b = 2, on a p({1  X  2})  0,14.
Ce nombre est égal à l'aire du domaine colorié ci-contre.
4.3 Probabilité de l'événement {X [–1,96 ; 1,96]}
On peut lire sur la calculatrice que p({–1,96 X 1,96}) 0,95.
Donc p({ X [–1,96 ; 1,96}) = 1 – p({–1,96 X 1,96}) 0,05.
Ceci signifie que 
–
1,96 f (x) dx + 
1,96
+ f (x) dx
0,05 ; donc, en dehors de l'intervalle [–1,96 ; 1,96], l'aire sous la
courbe est très petite.
On conçoit intuitivement que pour qu'il en soit ainsi, la courbe se rapproche « très vite » de l'axe des abscisses
lorsque x devient de plus en plus grand.
5 LOI NORMALE N( ; 2)
5.1 Définition
DÉFINITION 5
Une variable aléatoire X suit la loi normale N( ; 2) si X – 
 suit la loi normale N(0 ; 1).

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Remarques :
1) On peut démontrer que si X suit la loi normale N( ; 2) alors la densité de probabilité de X est la
fonction f définie sur IR par f (x) = 1
2 e
2
1Xμ
2σ
.
Cette expression algébrique n'est pas un attendu du programme.
2) La courbe d'équation y = f (x) est symétrique par
rapport à la droite d'équation x = .
En effet, considérons, pour a > 0, les réels  + a et
 – a symétriques par rapport à .
f ( + a) = 1
2 e
2
1
2σ
a
, f ( – a) = 1
2 e
2
1
2σ
a
.
Donc f ( + a) = f ( – a).
Les points A et B sont donc symétriques par rapport
à la droite  d'équation x = .
5.2 Espérance et écart-type
DÉFINITION 6
X désigne une variable aléatoire de densité f sur I. Notons m = E(X).
Alors la variance de X, notée V(X) est le nombre défini par V(X) = E( ) (X – m)2.
L'écart-type de X est égal à V(X).
THÉORÈME 3
Si X suit la loi N( ; 2) alors : E(X) = µ V(X) = 2.
Démonstration :
Nous admettons ce théorème.
Remarque :
Si X suit la loi N(0 ; 1), alors E(X) = 0 et V(X) = 1.
5.3 Interprétation de la variance
On peut vérifier à l'aide d'un logiciel que V(X) traduit la dispersion des valeurs de X par rapport à l'espérance .
Exemple :
Voici ci-dessous deux courbes représentant la densité de la loi normale N(0 ; 2) dans le cas où  = 1 et où
 = 2 :
 = 1
 = 2
Plus précisément, lorsque  est petit « l'aire sous la courbe » est plus concentrée autour de l'espérance, égale à
.
La probabilité que X  [–2 ; 2], dans le cas  = 1, est plus grande que dans le cas  = 2.

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5.4 Probabilité des événements {X [ –  ;  + ]}, {X [ – 2 ;  + 2]} et
{X [ – 3 ;  + 3]}
THÉORÈME 4
X suit la loi normale N( ; 2). Alors :
p({X  [ –  ;  + ]})  0,68
p({X  [ – 2 ;  + 2]})  0,95
p({X  [ – 3 ;  + 3]})  0,997.
Démonstration :
Nous admettons ce théorème. Le logiciel GeoGebra permet de justifier ces valeurs : voir travaux dirigés page
251.
Remarque :
Les trois probabilités précédentes 0,68, 0,95 et 0,997 ne dépendent ni de , ni de .