Chapitre 2 - UTC

MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications
Chapitre 2 : Analyse vectorielle
ÉQUIPE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES
UTC-UTT
5

Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
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2
Chapitre 2
Analyse vectorielle
2.1 Rappels ........................................ 3
2.2 Vecteur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Vecteur rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Divergence d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Laplacien d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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Concepts
Exemples
Exercices
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3
2.1 Rappels
2.1.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.5 Coordonnées polaires, cylindriques et sphériques . . . . . . . . . . . . 11

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Concepts
Exemples
Exercices
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4ÏÏ
2.1.1 Produit scalaire
Exercices :
Exercice A.1.1
Exercice A.1.2
Exercice A.1.3
Sauf mention contraire on se place dans IR3muni d’un repère orthonormé (O,~ ı,~ ,~ k) Soient ~ U,
~
U1et ~ U2des vecteurs de IR3,
~
U1=
a1
b1
c1
,~
U2=
a2
b2
c2
~
U=
a
b
c
.
Le produit scalaire de ~ U1par ~ U2est le réel défini par :
~
U1·~ U2=a1a2+b1b2+c1c2.
La norme (euclidienne) de ~ Uest définie par :
°
°~
U°
°=q~
U.~ U=pa2+b2+c2.
On a la relation qui lie le produit scalaire et les normes :
~
U1·~ U2=°
°~
U1°
°° °~
U2°
°cosθ,

Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
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ÎÎ 5
Produit scalaire
où θest l’angle des vecteurs ~ U1et ~ U2.
Propriétés du produit scalaire
~
U1·~ U2=~ U2·~ U1, (α~ U1)·~ U2=α(~ U1·~ U2)
~
U1·(~ U2+~ U3)=~ U1·~ U2+~ U1·~ U3, (~ U1·~ U2)2≤(~ U1·~ U1)(~ U2·~ U2)
Proposition 2.1.1. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.