1 Ensembles et applications 2 Logique, récurrence et relations

1 Ensembles et applications
Questions de cours
1. Si f◦gest injective, que dire de g? (idem surjective). Montrer qu’on ne peut rien dire sur f(resp.
idem).
2. Montrer que f−1(A∪B) = f−1(A)∪f−1(B) et idem pour ∩. Montrer que ce n’est pas vrai pour
l’image directe (pour ∩).
3. Montrer qu’il n’y a pas forc´ement unicit´e de l’inverse (`a gauche ou `a droite) si ce n’est pas inversible.
Exercice : donner un exemple o`u il y a une infinit´e d’inverses diff´erents.
4. Est-ce que A∪B−B=A?
Exercices
1. D´efinition de l’´equipotence. C’est une relation d’ “´equivalence”. Si X∼
=Yalors P(X)∼ =P(Y). On
d´efinit X+Ypar X+Y=X× {0} ∪ Y× {1}, montrer que P(X+Y)∼
=P(X)×P(Y). Montrer
que P(X×Y)∼
=P(X)Y(Ageron)
2. Soit Eun ensemble non vide, et A,Bdeux parties de E.` A quelle CNS l’application P(E)−→
(P(E))2:X7→ (X∪A, X ∪B) est-elle injective ? Peut-elle ˆetre surjective (non, on ne peut pas avoir
∅×∅et E×E) ? (Marc Sage).
Correction : supposons que x∈A∩B. Alors A− {x}et Aont la mˆeme image par la fl`eche. Donc
A∩B=∅. R´eciproquement, sous cette condition, si X∪A=X0∪Aet X∪B=X0∪B, alors
X=X0. (Marc Sage)
2 Logique, r´ecurrence et relations binaires
Questions de cours
1. Nier l’uniforme continuit´e d’une fonction sur un segment. Donner l’exemple d’un ordre partiel.
2. Montrer la caract´erisation de la borne sup´erieure pour les ordres totaux.
3. Si Rest une relation binaire sur A2, on note R−1la relation binaire “sym´etrique” xRy ⇐⇒ yR−1x.
Sym´etrique par rapport `a quoi ? Que dire de R−1 si Rest une relation d’´equivalence ? D’ordre ? Si
Rn’est pas une relation d’ordre, peut-on avoir R−1relation d’ordre ? Si l’ordre est total, que dire
R−1? Si Rest une relation d’´equivalence, comparer les classes d’´equivalences de Ret de R−1. Que
peut-on en d´eduire sur Ret R−1?
4. Soit E,Fdeux ensembles totalement ordonn´es. Soit f:E−→ Fstrictement croissante. Montrer
que fest injective, que l’on peut consid´erer f:E−→ f(E) comme une bijection et que f−1est
(strictement) croissante.
5. (RF) Soit fune fonction d´efinie sur I⊂R`a valeurs r´eelles. Exprimer “en langage formalis´e” que f
garde un signe constant sur I, puis donner la n´egation. ´ Ecrire “en langage formalis´e” ce que signifie
fmonotone, et donner la n´egation.
6. (RF) Formule du binˆome : si met nsont deux entiers (m≥n), montrer que mr−nr≥(m−n)×r,
et qu’il n’y a ´egalit´e que si r= 1 et m=n+ 1.
7. (RF) D´efinissons sur F(R,R) une relation f≤gsi f(x)≤g(x) quelque soit x∈R. Montrer que
c’est un ordre. Est-il total ? Une partie major´ee et non vide de F(R,R) poss`ede-t-elle une borne
sup´erieure ? R´ep : oui prendre la borne sup point par point.
Exercices
1. Un bon ordre v´erifie : toute partie non vide admet un plus petit ´el´ement. Exemple d’un ordre qui
n’est pas un bon ordre (tous les ordres partiels : montrer. Mais donner un contre-exemple total :
celui sur R). Montrer que dans un ensemble bien ordonn´e, toute partie major´ee admet une borne
sup´erieure (c’est la d´efinition d’une borne sup´erieure : plus petit des majorants). Si ≥est un bon
ordre, est-ce que ≤est un bon ordre (non, cf. N) ? Donner un exemple d’ordre tel que ≥et ≤soient
des bons ordres (on peut prendre un ensemble fini, ou bien Zavec deux points au bout).
2. Soit Eun ensemble et <une relation d’ordre sur E. On dit que xest un ´el´ement maximal s’il n’admet
pas de majorant. Montrer que si l’ordre est total, tout ´el´ement maximal est un plus grand ´el´ement
(et r´eciproquement). Donner un exemple o`u il y a une infinit´e d’´el´ements maximaux distincts (on
1

peut en construire facilement : prendre Nsans ordre. De fa¸con plus raisonnable : N−{1}avec l’ordre
partiel de divisibilit´e invers´e). Donner un exemple o`u l’ordre est partiel mais o`u il y a un unique
´el´ement maximal (reprendre les exemples pr´ec´edents, rajouter 1).
3. Si Rest une relation binaire sur A×B, on d´efinit Rsur A×Bpar xRy ⇐⇒ Non(xRy). Que dire
de Rsi Rest une relation d’´equivalence ? (rien, elle est simplement irr´eflexive). On dit que Rest
une relation d’ordre strict si Rest irr´efl´exive et transitive. Montrer qu’une relation d’ordre strict est
antisym´etrique. Si Rest une relation d’ordre strict total, montrer que Rest une relation d’ordre.
L’ordre est-il total ?
4. Montrer qu’il existe deux irrationnels aet btels que abest rationnel (Ageron). Correction : montrer
que √2 est irrationnel. Puis consid´erer √2√2...
5. (RF) Montrer que Pn−1
0k!≤n!. Preuve : par r´ecurrence sur non se ram`ene `a ´etablir que (n+ 1)! ≥
2(n!).
6. (RF) Soient a, a0, b, b0des rationnels positifs v´erifiant a+√b=a0+√b0. Montrer que si √best
irrationnel, alors a=a0et b=b0. (Donner un contre-exemple sinon..)
7. (Ageron) Soit (X, ≤) un ensemble ordonn´e. On appelle “segment initial” de Xtoute partie Ade X
tel que x0≤x∈A=⇒x0∈A. Montrer que seg(a) = x∈X, x < a est un segment initial. C’est le
segment initial “principal” d´efini par a. Montrer que dans un ensemble bien ordonn´e, tout segment
initial est principal ou est Xtout entier (si ce n’est pas Xtout entier, on peut consid´erer le plus
petit ´el´ement qui n’est pas dedans). Si Xet Ysont bien ordonn´es, on dit que Xest subordonn´e
`a Ys’il est isomorphe `a un segment initial de Y(isomorphe i.e. respecte l’ordre (et dans les deux
sens, mais la croissance de fentraˆıne celle de f−1pour des ordres totaux, donc a fortiori pour
des bons ordres)). Montrer que la stricte subordination (i.e. isomorphe `a un segment initial strict)
est antir´eflexive. Montrer que c’est un ordre (strict) total, et que tout ensemble d’ensembles bien
ordonn´es (vus `a automorphisme pr`es) muni de cet ordre est bien ordonn´e (difficile).
Correction : L’anti-r´eflexivit´e d´ecoule de la“rigidit´e”des bons ordres : tout automorphisme est trivial.
On remarquera que f(x)≥xquelque soit x(consid´erer le plus petit ´el´ement parmi ceux qui nieraient
cette in´egalit´e). La transitivit´e OK. Pour montrer que l’ordre est total : si En’est pas plus grand
strictement que E0, on consid`ere le plus petit ´el´ement a`a partir duquel on ne peut pas d´efinir un
isomorphisme de seg(a) vers une partie de E0, c’est forc´ement tout le monde, etc.
Soit Mun ensemble d’ensembles bien ordonn´es, muni de cet ordre total. Soit Aune partie non vide
de M, soit a∈A. Si c’est le plus petit, on a termin´e. Sinon, on consid`ere ceux qui sont plus petits,
et on consid`ere l’ensemble des ´el´ements de acorrespondant aux segments initiaux donn´es par la
d´efinition de la relation d’ordre. C’est non vide, on prend le plus petit, termin´e.
3 Nombres complexes, trigonom´etrie
Questions de cours
1. Montrer l’in´egalit´e triangulaire dans les deux sens : ||z| − |z0|| ≤ |z−z0|et |z+z0| ≤ |z|+|z0|.
Condition d’´egalit´e ? faire un dessin..
2. Si zest un complexe, montrer que |<(z)|+|=(z)| ≤ √2|z|.
3. Montrer qu’il n’y a pas de relation d’ordre total sur Ccompatible avec les op´erations (comparer iet
0). Citer un ordre total sur C.
Exercices
1. Calculer P8
k=0 cos (2k+1)π
19 =−1 2. (X 2007)
2. Calculer (5+i)4
(239+i)(1+i)= 2. En d´eduire une identit´e v´erifi´ee par π. (X 2007)
3. Soient A, B, C, D quatre points du plan euclidien. Montrer que AC.BD ≤AB.CD +AD.BC (In-
´egalit´e de Ptol´em´ee - X2007)
4. D´eterminer les nombres complexes ztels que zet ses racines cubiques forment un parall´elogramme.
(X 2007) On trouve ±2√2i.
5. Calculer 2 cos(2π/5). (´ Ecrire que Peiπ/5= 0, remarquer que la partie imaginaire est triviale, utiliser
une relation trigo pour obtenir X2+X+ 2 = 0.)
6. Soit α, β, γ tels que eiα +eiβ +eiγ = 0. Montrer qu’il en est de mˆeme pour les angles doubles
(factoriser consid´erer la partie imaginaire, ´elever au carr´e).
2

7. (RF) Exprimer cos(θ/2) en fonction de cos(θ) pour θdans le premier quadrant (R´ep : 2 cos(θ/2) =
√2 + 2 cos θ. En d´eduire une expression de p2 + √2 + . . . = 2 cos(π/2n+1) (nradicaux).
8. Si xj, j ∈Jest une famille finie de r´eels, montrer que l’on peut en extraire une famille Itelle que
|Pi∈Ixi| ≥ 1
2Pj∈J|xj|. Comment adapter au cas complexe ?
R´eponse : on s´epare entre les positifs et les n´egatifs, et on se rappelle que max |a|,|b| ≥ 1
2|a+b|(sinon
IT..). Pour les complexes on distingue selon les positions dans le plan : il y a quatre quadrants. On
obtient 1
√24 .
9. Soit Hle demi-plan de Poincar´e (partie imaginaire >0). Montrer que Aθ:z7→ zcos θ−sin θ
zsin θ+cos θest
une bijection de Hdans H. Montrer que cela conserve la norme |z|2+1
Imz.`
A quelle condition a-t-on
Aθ=Aθ0(r´ep : θ−θ0∈πZ).
10. D´eterminer les parties finies de C, non vides, stables par les fonctions z7→ z2+z+1 et z7→ z2−z+1.
R´eponse : on cherche les points fixes : il y a ±ipour la premi`ere application et 1 pour la seconde. Mais
1 s’´echappe pour le premier, tandis la seconde ´echange iet {−i}, ainsi la famille {i, −i}convient.
Montrons que c’est la seule. On peut ´etudier la partie imaginaire des images, qui vaut (2x±1)y.
Ainsi on peut remarquer que si x6= 0, l’orbite diverge (car le cas x > 0 ou x < 0 est sym´etrique selon
les deux applications. La partie r´eelle montre alors qu’il faut avoir y2= 1, ce qui donne le r´esultat.
4 Fonctions usuelles
Questions de cours
1. Donner le domaine de d´efinition, de d´erivabilit´e et la d´eriv´ee de arccos, arcsin et arctan.
2. Expression ´equivalente de Argch(x) = ln(x+√x2−1).
3. Comment lire sur un dessin le coefficient adans x7→ eax ? Dans x7→ C(1 −e−ax) ?
4. (RF) Combien y a-t-il de points d’intersections entre les courbes x√xet √xx(r´eponse, un seul, au
point d’abscisse (4,4)). Comparer (= situer) ces courbes (ainsi que celle de x7→ x) `a l’infini et en
z´ero. Montrer que ln(x)
xtend vers 0 en 0 (utiliser l’expression int´egrale).
Exercices
1. Soit w1, . . . , wndes r´eels et a1, . . . , andes complexes. On suppose que la fonction F:t7→ Pn
i=1 aiexp(wit)
de Cdans Cest non nulle, montrer que les parties r´eelles des z´eros de Fest born´ee (sortir les plus
hautes et plus basses fr´equences) (Cassini - X).
5´ Equations diff´erentielles lin´eaires
Questions de cours
1. Quelles sont les fonctions d´erivables sur Rtelles que f(t+u) = f(t)f(u) quels que soient tet u
r´eels ?
2. Comment montre-t-on que l’espace des solutions d’une EDL d’ordre iest un espace affine de dimen-
sion i?
Exercices
1. Soit f: [1,+∞[−→ Rune fonction positive, et a, b deux r´eels positifs. On suppose que :
f(x)≤Zx
1
f(t)
t2dt +b
Majorer f. (Source ?)
2. R´esoudre l’´equation diff´erentielle suivante sur I=]0,+∞[ :
(1 + x2)y0(x)+2xy(x) = 1
x
On trouve x7→ ln(x)
1+x2=K 1+x2avec Kr´eel. Si on demande `a ce que ¸ca vaille λet 1 on obtient K= 2λ.
D´eterminer la tangente en x= 1 de la solution fλ, donn´ee par : (y−λ) = ( 1
2−λ)(x−1). Montrer
que ces tangentes sont concourantes quand λvarie (en le point (2,1
2)). (DS commun)
3

3. On consid`ere l’´equation d’inconnue u un+1 =a(n)un+f(n) pour u,a,fdes suites r´eelles. Montrer
que l’espace des solutions est un sous-espace affine de dimension 1. Il faudra d’abord ´etablir l’existence
d’une solution (facile par r´ecurrence). R´esoudre l’´equation en faisant varier la constante. (Perso)
4. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel :
Zx
0
f(t)dt =x−1 + g(x)
Zx
0
g(t)dt =x−1 + f(x)
On trouve f=g= 1. (Quercia)
5. Trouver les fonctions gcontinues de R+dans R+v´erifiant :
1
2Zx
0
g2(t)dt =1
xZx
0
g(t)dt2
On trouve λx1+√2. (Quercia)
6. Trouver (des) solutions `a l’´equation f00(x) + f(−x) = xcos x. D´eriver deux fois. On trouve :
sin x−xcos x
2+λshx+µcos x
(Quercia)
7. Soit El’espace vectoriel des fonctions C∞dont toutes les d´eriv´ees sont born´ees. On consid`ere
f7→ f+f0. Montrer que cette application est bien d´efinie, et dire si elle est injective (OUI) et
surjective (OUI). (Quercia)
8. Soit fde classe C2v´erifiant f00 +f≥0. Montrer que f(x) + f(x+π)≥0. R´esoudre, faire varier la
constante. (Quercia)
6 G´eom´etrie plane
Question de cours
1. Distance d’un point `a un plan, `a une droite.
2. Formule d’Al-Kashi.
3. Vecteur normal `a un plan, `a une droite.
Exercices
1. Soit un polygone convexe z1, zn. Montrer que son aire vaut 1
4iPk¯zkzk+1 −zk¯zk+1.
2. Montrer que les bissectrices sont concourantes. On pourra v´erifier que le barycentre de (A, a)(B, b)(C, c)
est un point d’intersection : c’est le centre du cercle inscrit.
3. On choisit un polygone P1,...Pnet on d´efinit un nouveau polygone o`u P0
iest l’isobarycentre des Pj
(pour jdiff´erent de i). Montrer que le polygone converge vers un point `a d´eterminer. (C’est le centre
de gravit´e, comme on peut le voir sur un triangle). ´ Ecrire que GAk
i=−1
k−1GAk−1
i. (Quercia)
4. Soit Aune partie de R2d’aire strictement sup´erieure `a 1. Montrer qu’il existe u,vdans Atels que
v−u∈Z2(sinon par translation on remplit plus que le carr´e). Soit Cune partie convexe de R2,
sym´etrique par rapport `a 0, d’aire sup´erieure `a 4, montrer que Ccontient un point de Z2en plus de
l’origine (consid´erer une homoth´etie et appliquer le r´esultat pr´ec´edent).
5. On dispose de npoints dans le plan, montrer qu’il y a une droite passant par 0 qui n’en rencontre
aucun.
6. Quel est l’intersection de l’hypersph`ere avec un hyperplan quelconque ? (R´ep : une sph`ere..) Quelle
est l’intersection de l’hypercube avec un hyperplan orthogonal `a une grande diagonale ? Calculer le
volume...
7. On colorie le plan avec deux couleurs, montrer qu’il existe un triangle rectangle isoc`ele dont les trois
sommets sont de la mˆeme couleur (prendre un carr´e et le milieu, si ¸ca ne marche pas on prend un
deuxi`eme carr´e coll´e). (Dupont)
8. Pourquoi une sph`ere n’est-elle pas une union finie (d´enombrable) de cercles ? Pourquoi le plan n’est-il
pas une r´eunion d´enombrable de polygones ? (prendre une droite qui n’est pas dans les pentes des
cˆot´es).
4

7 G´eom´etrie de l’espace
Questions de cours
1. Distance d’un point `a un plan.
2. Distance d’un point `a une droite.
3. Vecteur normal `a un plan, `a une droite.
Exercices
1. Soit S⊂R3dont l’intersection avec chaque plan est soit un point, soit un cercle, soit vide. Montrer
que Sest soit vide, soit un point, soit une sph`ere.
Si Scontient au moins deux points, elle en contient au moins trois, et dans le plan qu’ils d´efinissent
Sest un cercle. On peut construire successivement, d’abord la sph`ere recherch´ee puis montrer par
intersections successives que c’est la bonne. L’id´ee est que une fois que l’on connaˆıt la sph`ere `a
obtenir, d`es que l’on a trois points de cette sph`ere dans S, on a aussi le cercle qui passent par eux,
mais c’est aussi un cercle de la sph`ere.
2. Soit ABCD un t´etra`edre. Montrer que les droites joignant les milieux de deux cˆot´es oppos´es ainsi
que les droite joignant un sommet au centre de gravit´e de la face oppos´ee, sont concourantes. (Il y
en a 7, et elles se retrouvent en l’isobarycentre de ABCD).
3. Quelle est la distance entre les cˆot´es non coplanaires d’un t´etra`edre r´egulier ? a
√2.
4. Dans R3, minorer le rayon d’une boule contenant npoints espac´es d’au moins C. Pour C= 2 et
dans le cas d’un espace euclidien, on trouve q2(n−1)
n. Expliquer.
5. Volume du t´etra`edre r´egulier ? √2/12a3.
8 Courbes param´etr´ees
1. On dit qu’une partie Sde Rnest connexe par arcs... Montrer que R2priv´e d’un nombre d´enombrable
de points est connexe par arcs. Est-ce que c’est vrai si on remplace R2par R3et points par plans ?
Non.. Quel est le bon ´enonc´e alors ? Supposons qu’un capitaine dessine sur le globe les routes qu’il a
emprunt´ees. ` A quelle condition le globe priv´e des routes reste-t-il connexe par arcs ? (il faut qu’il ne
soit pas repass´e sur son chemin). On supposera qu’il navigue de fa¸con affine par morceaux. Existe-t-il
toujours un plus court chemin ? Non, prendre R2priv´e de l’origine.
2. (Peigne de Dirac) On consid`ere la partie Sde R2suivante : Q×R+S(R−Q)×R∗
−. Montrer que
ce n’est pas connexe par arcs, i.e. qu’il existe deux points et pas de chemin continu qui les joignent
dans S.
3. Montrer qu’il n’existe pas de surjection C1de [0,1] dans le carr´e. On montre que l’aire de l’image
est <1 en d´ecoupant en petits intervalles et appliquant l’IAF. Existe-t-il une surjection C1de R
dans le carr´e ? Si la d´eriv´ee est born´ee, clairement pas. Sinon, soit Mnune borne sur [−n, n], on voit
qu’on peut choisir un d´ecoupage tel que l’aire soit inf´erieure `a 1/n3quitte `a prendre un d´ecoupage
tr`es fin. (En fait l’aire est nulle `a chaque fois).
4. Montrer qu’il existe des courbes C1de longueur infinie.
5. Reconnaˆıtre la courbe t7→ (sin t, sin t+ cos t) (c’est une ellipse).
9 Coniques
1. Soit Eun ensemble infini de points qui sont tous deux `a deux `a distance enti`ere. Montrer qu’ils sont
tous align´es. Consid´erer les hyperboles (ou les ellipses ?) qui passent par trois points non align´es de
E, il y en a un nombre fini.. Comment construire N+ 1 points deux `a deux `a distance enti`ere mais
pas tous align´es ? On peut essayer d’en aligner Navec des abscisses xk(k= 0 . . . N −1) et de mettre
un point `a (0, yN) o`u yNdoit v´erifier : Lk:= py2
N+x2
k∈Nquelque soit k. En particulier, cela
nous donne Nentiers Lket xk(k= 0 . . . N −1) tels que L2
k−x2 k=y2
N=L2
k0−x2 k0quels que soient
ket k0. L’entier y2
Ns’´ecrit donc de Nmani`eres diff´erentes comme la diff´erence de deux carr´es. C’est
jouable...
5