devoir 1 (hiver 2014) Alg`ebre moderne appliquée Le devoir est `a

devoir 1 (hiver 2014)
Algèbre moderne appliquée
Le devoir est à remettre au plus tard le 24 février. Vous pouvez faire le devoir en équipe
de 4 ou moins.
Exercice 1 Considérons une portion de la planète Terre de 100 km2 que l’on considèrera
(pour simplifier) comme un plan ayant deux dimensions. Dans ce carré on a plaçé 3 sismographes (non-colinéaires). Ces sismographes peuvent enregistrer les temps de vibration
d’une onde terrestre passant par leur position. On suppose que les sismographes ont des
horloges complètement synchronisées. Supposons qu’une météorite frappe le sol au temps
t et que l’onde de choc se déplace à vitesse constante v m/s dans toutes les directions du
plan. Donner une manière de calculer l’endroit exact où la météorite est tombée. (Vous
devez justifier votre réponse)
Exercice 2 (exercices 15 et 16 à la p. 39) On a vu en classe comment-est-ce qu’à l’aide
d’un GPS il est possible de déterminer sa position terrestre. Le but de cet exercice est de
vous montrez qu’il est possible d’utiliser la position du Soleil dans le ciel à midi (à certains
moments précis dans l’année) afin d’obtenir de l’information sur sa position terrestre. Pour
tout cet exercice, on utilise les coordonnées sphériques telles que discutés en classe.
L’axe de la Terre fait un angle de 23.5 degrés (à chaque instant) avec la normale au
plan de l’écliptique (le plan sur lequel gravite la Terre autour du Soleil)
(1) Le cercle polaire est situé à 66.5 degrés de latitude nord. Si vous êtes au cerlce polaire,
avec quel angle voyez-vous le Soleil au moment de l’équinoxe? Au solstice d’été? Au
solstice d’hiver? L’angle ici, correspond à l’angle fait entre le zénith (la direction
au-dessus de la tête) et le Soleil.
(2) Si le Soleil fait un angle θ au-dessus de l’horizon à midi au solstice d’été, calculez
votre latitude?
Exercice 3 (exercice 11, p. 38) Montrer que, si une suite {an }n∈Z est périodique de
période N, alors sa période minimale M, à savoir le plus petit entier M tel que an+M = an
pour tout n, est nécessairement un diviseur de N.
Exercice 4 (exercice 13, p. 38)
(1) Montrer que le polynôme g(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 ∈ F2 [x] est irréductible, mais
n’est pas primitif.
(2) Calculer la suite générée par le régistre à décalage si on prend (q0 , q1 , q2 , q3 ) =
(1, 1, 1, 1) et les conditions initiales
(a0 , a1 , a2 , a3 ) = (T (β), T (xβ), T (x2 β), T (x3 β)),
pour β = 1 ∈ Fg(x) , où Fg(x) est le corps fini de cardinalité 24 et T est la fonction
trace telle que définie dans le livre (voir p. 24).
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(3) Calculer la période minimale de la suite générée en (2).
Exercice 5 On considère la sphère de rayon 1 et centrée en (0, 0, 0) dans R3 . Donner
un formule explicite pour l’aire de la sphère comprise entre les valeurs de z, a ≤ z ≤ b pour
des valeurs de a et b comprisent −1 ≤ a ≤ b ≤ 1.
Exercice 6 (exercice p. 40) Sur une carte obtenue par projection de Mercator, calculer
l’équation de l’orthodromie joingant le point de longitude 0 et latitude 0 avec le point de
longitude 90 degrés ouest et de la latitude 60 degrés nord.
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