Cinmatique curviligne - Jean

Cinématique curviligne
I56. Mouvement en coordonnées polaires.
Soit r0 , α, ω trois constantes positives. La trajectoire d’un mobile ponctuel a pour équation en coordonnées polaires
r = r0 exp ( −αθ ) ; le mobile s’y trouve à l’instant t au point de coordonnée θ = ωt .
1) Dessiner la trajectoire entre l’instant 0 et l’instant infini.
2) Exprimer les coordonnées polaires vr , vθ de la vitesse en fonction de α, ω,r .
3) Dessiner qualitativement la vitesse en un point pour lequel 0 < θ < π / 2 en même temps que la trajectoire.
G G
4) En interprétant le rapport vθ / vr , trouver une relation entre α et l’angle ϕ = ( ur , v ) que fait la vitesse avec la
radiale
5) Exprimer les coordonnées polaires ar , a θ de l’accélération en fonction de α, ω,r .
6) Dessiner qualitativement l’accélération en un point pour lequel 0 < θ < π / 2 en même temps que la trajectoire
pour α < 1 .
G G
7) Trouver une relation entre α et l’angle ψ = ( ur , a ) que fait l’accélération avec la radiale.
II27. Route d'un navire à cap constant.
Un navire se déplace à la surface du globe terrestre supposé parfaitement
sphérique, de rayon R = 6370 km et de centre O.
Sa position est précisée à chaque instant t par ses coordonnées sphériques
G G G
(r, θ, φ ) auxquelles on associe la base sphérique BS, ( er , eθ , eφ ) : OM = r
JJJJG
G
= R ; ( ez 0 , OM ) = θ ; φ est l'angle dièdre orienté des plans Ox0z0 et OMz0
(figure ci-contre).
On recherche la trajectoire, pour laquelle la vitesse du navire est
G
constante en norme V (M / R0 ) = V0 = 30 km/h et telle que 1' angle
entre la tangente à la trajectoire et le méridien terrestre du lieu reste
G
constant : soit eu le vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans
G G
le sens du mouvement : α = (eu , eθ ) = cte (figure ci-dessous). On
considère un cap compris entre le sud et l’ouest, ( α > 0 ).
dφ dθ
, θ=
, V0, R, α et θ.
1) En déduire les relations entre φ =
dt
dt
2) Établir l'équation, paramétrée par l'angle α, de la trajectoire (appelée
loxodromie) du navire sous la forme φ(θ) et la loi horaire θ(t) du
mouvement du navire sur sa trajectoire. On suppose que à t = 0, θ = θ0 et
dx
x
φ = φ0. On donne ∫
= ln tan .
sin x
2
3) Application : déterminer le cap α que doit prendre le navire pour
effectuer une navigation loxodromique de Los Angeles (34° de latitude
NORD, 118° de longitude OUEST) à l'île de Nuku Hiva dans l'archipel des
Marquises (10° de latitude SUD, 139° de longitude OUEST), ainsi que la
durée en heure de son voyage. La latitude est l’angle entre OM et le plan
de l’équateur, comptée positivement dans l’hémisphère nord et
négativement dans l’hémisphère sud et la longitude est l’angle entre le plan méridien du lieu et le plan méridien de
l’observatoire de Greenwich.
III3. Jour sidéral et jour solaire.
Dans cet exercice, on appelle demi plan méridien le demi plan limité par l’horizon et qui contient la verticale
ascendante et l’axe des Pôles ; il contient aussi la direction du Soleil à midi, d’où son nom. Le jour sidéral est
l’intervalle de temps séparant deux passages successifs d’une étoile dans le demi plan méridien. Le jour solaire
J = 86400 s est l’intervalle de temps séparant deux passages successifs du Soleil dans le demi plan méridien.
En simplifiant le problème, on considère que, dans le référentiel lié au centre du Soleil S et aux étoiles (référentiel
héliocentrique), le centre T de la Terre décrit un mouvement circulaire de centre S , de vitesse angulaire constante ω1
et de période l’année T1 égale à 365, 25J , tandis que la Terre tourne sur elle-même avec une vitesse angulaire
constante ω2 et une période T2 égale au jour sidéral. Ces deux mouvements ont lieu dans le même sens, qui est le sens
contraire à celui des aiguilles d’une montre pour un observateur situé au Pôle Nord. Pour simplifier, on considère que
l’axe des Pôles est perpendiculaire au plan de l’écliptique, plan du mouvement de T autour de S .
1) Soit M un point de la Terre tel que T , M , S et une étoile E soient alignés dans cet ordre à l’instant 0. On note
M 0 et T0 les positions de M et T à cet instant 0 et M et T leurs positions à un instant quelconque t . Exprimer les
angles θ1 = ( ST0 , ST ) et θ2 = (TM 0 ,TM ) à l’instant t . En déduire la durée du jour sidéral en secondes.
2) Ce résultat reste-t-il valable si l’on objecte qu’en réalité ω1 varie au cours des saisons à cause de l’excentricité de
l’orbite terrestre ?
Réponses
I. 2) vr = −αωr
ψ = π + arctan
vθ = ωr ; 4) ϕ = π − arctan
1
; 5) ar = ( α 2 − 1 ) ω2r
α
2α
.
1 − α2
II. 1) Rθ = V0 cos α
R sin θϕ = −V0 sin α ; 2) θ = θ0 +
(V0 cos α ) t
R
ϕ − ϕ0
R ( θ − θ0 )
= 24, 4° t =
= 85 h .
θ0
V0 cos α
tan
2
ln
θ
tan
2
1
III. 1) T2 =
= 86164 s ; 2) oui.
1
1
+
T T1
α = arctan
Cinématique curviligne, page 2
a θ = −2a ω2r ; 7)
θ
2 ; 3)
; ϕ = ϕ0 − tan α ln
θ0
tan
2
tan
Corrigés
I.
G
v
vθ
ϕ
ψ
ar
vr
G
a
1) Voir ci-dessus.
2) vr = r = −αωr
aθ
vθ = r θ = ωr .
3) Voir ci-dessus.
v
1
1
4) tan ϕ = θ = −
ϕ = π − arctan .
vr
α
α
2
2
2
5) ar = r − r θ = ( α − 1 ) ω r a θ = r θ + 2r θ = −2a ω2 r .
6) Voir ci-dessus.
a
2α ψ
2α
ψ = π + arctan
7) tan ψ = θ =
.
2
ar
1−α
1 − α2
II.
G
G
G
G
G
r + r θuθ + r sin θϕ uϕ = V0 cos αuθ − V0 sin αuϕ . D’où :
1) En coordonnées sphériques, la vitesse est ru
Rθ = V0 cos α
R sin θϕ = −V0 sin α .
2) En intégrant la première équation, on obtient θ = θ0 +
(V0 cos α ) t
.
R
On élimine le temps en prenant le rapport membre à membre des deux équations :
θ dθ
tan ( θ / 2 )
ϕ
dϕ
tan α
=
=−
⇒ ϕ = ϕ0 − tan α ∫
= ϕ0 − tan α ln
.
θ
θ0 sin θ
dθ
sin θ
tan ( θ0 / 2 )
( 139 − 118 )
π
ϕ − ϕ0
180
3) α = arctan
= arctan
= 24, 4° ;
tan ( θ0 / 2 )
tan ( ( 90 − 34 ) / 2 )
ln
ln
tan ( θ / 2 )
tan ( ( 90 + 10 ) / 2 )
( 139 − 118 )
6370
π
R ( θ − θ0 )
180
t =
=
= 85 h .
V0 cos α
30 cos(24, 4°)
III.
1) θ1 = ω1t
θ2 = ω2t ; l’année est T1 = 2π / ω1 et le jour sidéral T2 = 2π / ω2 . Le Soleil a tourné par rapport à
la Terre de l’angle θS = θ2 − θ1 = ( ω2 − ω1 )t ; le jour solaire est T = 2π / ( ω2 − ω1 ) . D’où
1
86400
T2 =
=
= 86164 s .
àt =0
1
1
1
+
+1
S
365, 25
T T1
2) Ce qu’il y a de changé, c’est que le jour solaire a une durée qui
varie un peu au cours de l’année, entraînant un décalage entre l’heure
solaire réelle et l’heure officielle basée sur le jour solaire moyen.
M
Le raisonnement reste valable, le Soleil considéré étant un Soleil
fictif dont le mouvement serait uniforme et donne l’heure solaire
moyenne, qui est l’heure officielle, et non l’heure solaire vraie, qu’on
θ1
lirait sur un cadran solaire.
plus tard
S
Cinématique curviligne, page 3
T0 M0
E
θ2
T
T0 M0
E