Cinmatique curviligne - Jean

Cinématique curviligne
I56. Mouvement en coordonnées polaires.
Soit trois constantes positives. La trajectoire d’un mobile ponctuel a pour équation en coordonnées polaires
; le mobile s’y trouve à l’instant t au point de coordonnée .
0,,rαω
(
0exprr=−αθ
)
2 en mêm
)
tθ=ω
1) Dessiner la trajectoire entre l’instant 0 et l’instant infini.
2) Exprimer les coordonnées polaires de la vitesse en fonction de . ,
r
vv
θ,,rαω
3) Dessiner qualitativement la vitesse en un point pour lequel e temps que la trajectoire. 0/<θ<π
4) En interprétant le rapport , trouver une relation entre α et l’angle /r
vv
θ
(
,
r
uvϕ=
G
G
que fait la vitesse avec la
radiale
5) Exprimer les coordonnées polaires a de l’accélération en fonction de αω . ,
ra θ
/2
<
)
,,r
6) Dessiner qualitativement l’accélération en un point pour lequel en même temps que la trajectoire
pour α.
0<θ<π
1
7) Trouver une relation entre α et l’angle
(
,
r
uaψ=
G
G que fait l’accélération avec la radiale.
II27. Route d'un navire à cap constant.
Un navire se déplace à la surface du globe terrestre supposé parfaitement
sphérique, de rayon et de centre O. 6370 kmR=
Sa position est précisée à chaque instant t par ses coordonnées sphériques
(r, θ, φ ) auxquelles on associe la base sphérique BS, (er
G
, eθ
G
, eφ
G
) : OM = r
= R ; (e0z
G
, OM
J
JJJG) = θ ; φ est l'angle dièdre orienté des plans Ox0z0 et OMz0
(figure ci-contre).
On recherche la trajectoire, pour laquelle la vitesse du navire est
constante en norme 00
(/ ) 30km/hVM R V==
G
et telle que 1' angle
entre la tangente à la trajectoire et le méridien terrestre du lieu reste
constant : soit eu
G
le vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans
le sens du mouvement : (,)
u
ee cte
θ
α==
G
G (figure ci-dessous). On
considère un cap compris entre le sud et l’ouest, ( ). 0α>
1) En déduire les relations entre d
dt
φ
φ, =
d
dt
θ
θ, V =
0, R, α et θ.
2) Établir l'équation, paramétrée par l'angle α, de la trajectoire (appelée
loxodromie) du navire sous la forme et la loi horaire θ(t) du
mouvement du navire sur sa trajectoire. On suppose que à t = 0, θ = θ
()φθ
0 et
φ = φ0. On donne ln tan
sin 2
dx x
x=
∫.
3) Application : déterminer le cap α que doit prendre le navire pour
effectuer une navigation loxodromique de Los Angeles (34° de latitude
NORD, 118° de longitude OUEST) à l'île de Nuku Hiva dans l'archipel d
Marquises (10° de latitude SUD, 139° de longitude OUEST), ainsi que la
durée en heure de son voyage. La latitude est l’angle entre OM et le pla
de l’équateur, comptée positivement dans l’hémisphère nord et
négativement dans l’hémisphère sud et la longitude est l’angle entre le pl
l’observatoire de Greenwich.
es
n
an méridien du lieu et le plan méridien de
III3. Jour sidéral et jour solaire.
Dans cet exercice, on appelle demi plan méridien le demi plan limité par l’horizon et qui contient la verticale
ascendante et l’axe des Pôles ; il contient aussi la direction du Soleil à midi, d’où son nom. Le jour sidéral est
l’intervalle de temps séparant deux passages successifs d’une étoile dans le demi plan méridien. Le jour solaire
est l’intervalle de temps séparant deux passages successifs du Soleil dans le demi plan méridien. 86400 sJ=
En simplifiant le problème, on considère que, dans le référentiel lié au centre du Soleil S et aux étoiles (référentiel
héliocentrique), le centre T de la Terre décrit un mouvement circulaire de centre S, de vitesse angulaire constante
et de période l’année T égale à , tandis que la Terre tourne sur elle-même avec une vitesse angulaire
constante et une période T égale au jour sidéral. Ces deux mouvements ont lieu dans le même sens, qui est le sens
contraire à celui des aiguilles d’une montre pour un observateur situé au Pôle Nord. Pour simplifier, on considère que
l’axe des Pôles est perpendiculaire au plan de l’écliptique, plan du mouvement de T autour de S.
1
ω
1365,25J
2
ω2

Cinématique curviligne, page 2
)
,TM=
r;
1) Soit un point de la Terre tel que T, , et une étoile soient alignés dans cet ordre à l’instant 0. On note
et les positions de M et T à cet instant 0 et et T leurs positions à un instant quelconque t. Exprimer les
angles et à l’instant t. En déduire la durée du jour sidéral en secondes.
M M S E
0
M0 T M
()
10
,ST STθ=
(
20
TMθ
2) Ce résultat reste-t-il valable si l’on objecte qu’en réalité varie au cours des saisons à cause de l’excentricité de
l’orbite terrestre ? 1
ω
Réponses
I. 2) 4)
r
vrv
θ
=−αω =ω 1
arctanϕ ; 5) ar ; 7) =π− α2
aar
θ
=α− ω =−ω
()
22
12
r
2
2
arctan 1
α
ψ=π+−α .
II. 1) ; 2)
00
cos sin sinRV R Vθαθϕ==−
α
()
0
0
cosVt
R
α
θθ=+ ; 00
tan 2
tan ln
tan 2
=−
θ
ϕϕ ; 3) αθ
()
00
00
arctan 24, 4 85 h
cos
tan 2
ln
tan 2
R
tV
−−
==°=
ϕϕ θθ
αθα
θ
=
.
III. 1) 2
1
186164 s
11
T ; 2) oui.
TT
==
+

Corrigés
I.
a
G
ψ
r
a
aθ
ϕ
r
v
vθ
v
G
1) Voir ci-dessus.
Cinématique curviligne, page 3
r
2) .
r
vr rvr
θ
==−αω =θ=ω
3) Voir ci-dessus.
4) 11
tan . arctan
r
v
v
θ
ϕ==−ϕ=π−
αα
2
2r rar r ar
θ
=−θ=α− ω =θ+θ=−ω
5) ar .
()
22 2
12
r
6) Voir ci-dessus.
7) 22
22
tan . arctan
11
r
a
a
θαα
ψ== ψ=π+
−α −α
r u r u V u V u
θϕ θϕ
θθϕ α α++ = −
ψ
II. 1) En coordonnées sphériques, la vitesse est ru 00
sin cos sin
r
G
GG GG
α
. D’où :
.
00
cos sin sinRV R Vθαθϕ==−
2) En intégrant la première équation, on obtient
()
0
0
cosVt
R
α
θθ
=+ .
On élimine le temps en prenant le rapport membre à membre des deux équations :
()
()
0
00
0
tan /2
tan tan tan ln
sin sin tan /2
dd
d
==−⇒=−=−
∫
θ
θ
θ
ϕϕ α θ
ϕϕ α ϕ α
θθ θ θ
θ.
3)
()
(
)
()
()
()
()
(
)
0
0
139 118
180
arctan arctan 24, 4
tan / 2 tan 90 34 /2
ln ln
tan /2 tan 90 10 /2
−
−
==
−
+
π
ϕϕ =°
θ
θ
α ;
()
()
0
0
139 118
6370 180 85 h
cos 30 cos(24, 4 )
R
tV
−
−
== =
°
π
θθ
α.
III.
1) θ ; l’année est T et le jour sidéral T . Le Soleil a tourné par rapport à
la Terre de l’angle ; le jour solaire est T. D’où
1122
tt=ωθ=ω1 =πω 2 =πω
)
=πω−ω
1
2/ 2 2/
(
21 2 1Stθ=θ−θ=ω−ω
()
21
2/
2
1
1 86400 86164 s
11 1 1
365,25
T
TT
== =
++
. T0 E
M0
S
à t 0=
2) Ce qu’il y a de changé, c’est que le jour solaire a une durée qui
varie un peu au cours de l’année, entraînant un décalage entre l’heure
solaire réelle et l’heure officielle basée sur le jour solaire moyen.
S
plus tard
E
T
M
1
θ
2
θ
M0
Le raisonnement reste valable, le Soleil considéré étant un Soleil
fictif dont le mouvement serait uniforme et donne l’heure solaire
moyenne, qui est l’heure officielle, et non l’heure solaire vraie, qu’on
lirait sur un cadran solaire.
T0