1. FONCTION NUMÉRIQUE
Exemple : Les fonction fet gsuivantes sont-elles égales ?
f(x) = rx−1
x+3et g(x) = √x−1
√x+3
Déterminons leur ensemble de définition :
Pour f, on doit avoir : x−1
x+3>0, soit Df=] −∞;−3[∪[1 ; +∞[
Pour g, on doit avoir : x−1>0 et x+3>0, soit Dg= [1 ; +∞[
On a donc : Df6=Dg. Les fonctions ne sont donc pas égales.
Remarque : Cependant sur [1 ; +∞[, on a f(x) = g(x)
Définition 4 : Soient fet gdeux fonctions définies sur un intervalle I.
On dit que, sur I :
•fest inférieure à g, noté f<gsi, et seulement si : ∀x∈I, f(x)6g(x).
•fest positive, noté f>0 si, et seulement si : ∀x∈I, f(x)>0.
•fadmet un maximum xMsi, et seulement si : ∀x∈I, f(x)6f(xM).
•fadmet un minimum xm, si, et seulement si : ∀x∈I, f(x)>f(xm).
•fadmet un extremum ssi, fadmet un minimum ou un maximum.
Remarque : Deux fonctions ne sont pas toujours comparables (contrairement
aux nombres réels). On dit que la relation d’ordre n’est pas totale. Par exemple :
Les fonctions fet gdéfinies respectivement sur Rpar : f(x) = xet g(x) = x2.
•Si 0 <x<1, x>x2, soit f>g(0, 5 >0, 52)
•Si x>1, x<x2, soit f<g(2 <22)
Exemple : La fonction fdéfinie sur Rpar : f(x) = (x−2)2+1
La fonction fa pour tableau de varia-
tion :
x
f(x)
−∞2+∞
+∞+∞
11
+∞+∞
La fonction fest donc positive f>1 et
admet en 2 un minimum de 1 sur R.
PAUL MILAN 3PREMIÈRE S