arithmetique

ARITHMET IQUE
303DP6
Leçon 1
I. DIVISEURS COMMUNS A DEUX ENTIERS
a. Diviseurs
Rappels : Un nombre entier est divisible :
- par 2, si son chiffre des unités est pair, (par exemple …
- par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5, (par exemple …
- par 10, si son chiffre des unités est 0, (par exemple …
- par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3, (par exemple …
- par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9. (par exemple …
Définition : Un nombre a est divisible par un nombre b lorsque
Exemple : 18 = 6 x 3
a
est un nombre entier.
b
On dit que 6 et 3 sont …
Et que 18 est un …
Citer 2 nombres qui ne sont pas des diviseurs de 18 :
b. Diviseurs communs
Compléter 18 = 1 x
=2x
=3x
En déduire par ordre croissant la liste de tous les diviseurs de 18 :
Puis celle de tous les diviseurs de 12 :
Définition : Un diviseur commun à deux nombres a et b est un nombre entier qui divise à la fois a et b.
En déduire par ordre croissant la liste de tous les diviseurs communs à 12 et à 18 :
Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à deux nombres a et b.
c. PGCD
Propriété : Parmi les diviseurs communs à a et b, l'un d'eux est plus grand que les autres.
On l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur (en abrégé PGCD) et on le note PGCD (a ; b).
Ainsi PGCD(12 ; 18) =
Ex 1 : Trouver le PGCD (56 ; 72)
Ex 2 : Trouver le PGCD (15 ; 16)
Diviseurs de 56 :
Diviseurs de 72 :
Diviseurs de 15 :
Diviseurs de 16 :
Diviseurs communs à 56 et à 72 :
Diviseurs communs à 15 et à 16 :
Donc PGCD (56 ; 72) =
Donc PGCD (15 ; 16) =
Définition : Lorsque PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.
Exemples : 15 et 16 sont donc premiers entre eux car PGCD (15 ; 16) = 1
par contre 5 et 15 ne sont pas premiers entre eux car PGCD (5 ; 15) = 5
Ex 3 : Déterminer PGCD (45 ; 38) et préciser si 45 et 38 sont premiers entre eux
Ex 4 : Déterminer PGCD (85 ; 119) et préciser si 85 et 119 sont premiers entre eux
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Leçon 2
II. RECHERCHE DU PGCD
b : diviseur
a. Division euclidienne
a : dividende
8 6 3
6
2 8
2 6
2 4
On appelle division euclidienne la
division dans laquelle le dividende,
le diviseur, le quotient et le reste
sont des nombres entiers.
q : quotient
r : reste
2
Cette division se résume à l’égalité suivante : 86 = 3 28 + 2
« Dans 86, il y a 3 fois le nombre 28 et il reste 2 »
Avec votre calculatrice :
On calcule le quotient : 785 : 13 60,3846… Donc le quotient q = 60.
On calcule le reste : 785 – 13 60 = 5. Donc le reste r = 5.
De la même manière, retrouver (à la machine) le quotient et le reste de ces divisions euclidiennes :
453 : 43
q=
1053 : 325
263 : 17
r=
q=
453 = 43 X … + …
r=
263 = 17 X … + …
q=
r=
1 053 = 325 X … + …
b. Algorithme d’Euclide
Propriété : Si r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec b<a) ,
alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r).
Exemple : Calculer PGCD (294 ; 70)
a
b
r
294
70
14
On divise 294 par 70 (294 = 70 x 4 + 14)
70
14
0
On divise 70 par 14. (70 = 14 x 5 +0)
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé, donc PGCD (294 ; 70) = 14
Applications : Déterminer PGCD (631 ; 203) et PGCD (741 ;198)
PGCD (631 ; 203)
a
b
PGCD (741 ; 198)
r
631 = 203 x … +…
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66 : 18
q=
r=
66 = 18 X … + …
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Leçon 3
III. FRACTIONS IRREDUCTIBLES
Définition : Une fraction
Exemple : la fraction
a
est dite irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux.
b
7
est irréductible car PGCD (7 ; 11) = 1
11
Propriété : Pour rendre irréductible une fraction
a
en une seule simplification, on calcule
b
le PGCD (a ; b) puis on divise numérateur et dénominateur par ce PGCD.
Exercice : Rendre irréductible
a
b
r
561
357
204
357
319
et
avec l’algorithme d’Euclide et vérifier avec votre calculatrice.
561
407
PGCD (561 ; 357) = ……, on simplifie la fraction par de PGCD :
357 51 ...... ...
=
=
561 51 ...... ...
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