arithmetique

303DP6
ARITHMETIQUE
Leçon 1
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I. DIVISEURS COMMUNS A DEUX ENTIERS
a. Diviseurs
Rappels : Un nombre entier est divisible :
- par 2, si son chiffre des unités est pair, (par exemple …
- par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5, (par exemple …
- par 10, si son chiffre des unités est 0, (par exemple …
- par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3, (par exemple …
- par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9. (par exemple …
Définition : Un nombre a est divisible par un nombre b lorsque
a
b
est un nombre entier.
Exemple : 18 = 6 x 3 On dit que 6 et 3 sont …
Et que 18 est un …
Citer 2 nombres qui ne sont pas des diviseurs de 18 :
b. Diviseurs communs
Compléter 18 = 1 x = 2 x = 3 x
En déduire par ordre croissant la liste de tous les diviseurs de 18 :
Puis celle de tous les diviseurs de 12 :
Définition : Un diviseur commun à deux nombres a et b est un nombre entier qui divise à la fois a et b.
En déduire par ordre croissant la liste de tous les diviseurs communs à 12 et à 18 :
Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à deux nombres a et b.
c. PGCD
Propriété : Parmi les diviseurs communs à a et b, l'un d'eux est plus grand que les autres.
On l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur (en abrégé PGCD) et on le note PGCD (a ; b).
Ainsi PGCD(12 ; 18) =
Ex 1 : Trouver le PGCD (56 ; 72) Ex 2 : Trouver le PGCD (15 ; 16)
Diviseurs de 56 : Diviseurs de 15 :
Diviseurs de 72 : Diviseurs de 16 :
Diviseurs communs à 56 et à 72 : Diviseurs communs à 15 et à 16 :
Donc PGCD (56 ; 72) = Donc PGCD (15 ; 16) =
Définition : Lorsque PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.
Exemples : 15 et 16 sont donc premiers entre eux car PGCD (15 ; 16) = 1
par contre 5 et 15 ne sont pas premiers entre eux car PGCD (5 ; 15) = 5
Ex 3 : Déterminer PGCD (45 ; 38) et préciser si 45 et 38 sont premiers entre eux
Ex 4 : Déterminer PGCD (85 ; 119) et préciser si 85 et 119 sont premiers entre eux

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ARITHMETIQUE
Leçon 2
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II. RECHERCHE DU PGCD
a. Division euclidienne
On appelle division euclidienne la
division dans laquelle le dividende,
le diviseur, le quotient et le reste
sont des nombres entiers.
Cette division se résume à l’égalité suivante : 86 = 3  28 + 2
« Dans 86, il y a 3 fois le nombre 28 et il reste 2 »
Avec votre calculatrice :
 On calcule le quotient : 785 : 13  60,3846… Donc le quotient q = 60.
 On calcule le reste : 785 – 13  60 = 5. Donc le reste r = 5.
De la même manière, retrouver (à la machine) le quotient et le reste de ces divisions euclidiennes :
453 : 43
q = r =
453 = 43 X … + …
263 : 17
q = r =
263 = 17 X … + …
1053 : 325
q = r =
1 053 = 325 X … + …
66 : 18
q = r =
66 = 18 X … + …
b. Algorithme d’Euclide
Propriété : Si r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec b<a) ,
alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r).
 Exemple : Calculer PGCD (294 ; 70)
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé, donc PGCD (294 ; 70) = 14
 Applications : Déterminer PGCD (631 ; 203) et PGCD (741 ;198)
PGCD (631 ; 203) PGCD (741 ; 198)
a b r
294 70 14  On divise 294 par 70 (294 = 70 x 4 + 14)
70 14 0  On divise 70 par 14. (70 = 14 x 5 +0)
a b r
 631 = 203 x … +…
3
6
8
6
2 6 2 8
2 4
2
q : quotient
b : diviseur
a : dividende
r : reste

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ARITHMETIQUE
Leçon 3
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III. FRACTIONS IRREDUCTIBLES
Définition : Une fraction
a
b
est dite irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux.
Exemple : la fraction
7
11
est irréductible car PGCD (7 ; 11) = 1
Propriété : Pour rendre irréductible une fraction
a
b
en une seule simplification, on calcule
le PGCD (a ; b) puis on divise numérateur et dénominateur par ce PGCD.
Exercice :  Rendre irréductible
357
561
et
319
407
avec l’algorithme d’Euclide et vérifier avec votre calculatrice.
PGCD (561 ; 357) = ……, on simplifie la fraction par de PGCD :
357
561 =51......
51...... =... ...
a b r
561 357 204