Fonctions cosinus et sinus

FONCTIONS COSINUS ET SINUS
I – Quelques rappels de trigonométrie
source : http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA02/AL7MA02TEPA0113-Sequence-02.pdf
1- Le cercle trigonométrique

2 – Des formules à savoir retrouver graphiquement : 3 – Savoir que ces formules existent… et penser à les utiliser

II – Les fonctions trigonométriques
Un exemple de problème :
Sur un cercle de centre O, on considère deux points A et B tels que le triangle OAB
soit rectangle en O. M est un point de l’arc AB et le point N est le symétrique du point
M par rapport à la droite (OB).
On cherche le point M pour lequel l'aire du triangle OMN est maximale.
Illustration
1 – Les fonctions cosinus et sinus
(O, I, J) est un repère orthonormé direct du plan.
A tout réel x, on associe son point image M sur le cercle trigonométrique.
Si x appartient à [0;], x est la mesure en radians de l'angle
^
IOM
.
a) Définitions :
La fonction cosinus (resp. sinus) est la fonction
définie sur R qui à un nombre réel x associe
l'abscisse (resp. ordonnée) du point M.
exemples :
- le point image sur le cercle trigonométrique du nombre réel -6 est le point I,
on en déduit que
cos(−6×π)=xI=1
et
sin(−6×π)= yI=0
- le point image sur le cercle trigonométrique du nombre réel 2015 /2 est le point J',
on en déduit que
cos (2015×π
2)=xJ'=0
et
sin (2015×π
2)= yJ'=−1
b) Réduction de l'ensemble d'étude de ces fonctions
- pour tout réel x,
cos (x+2π)=cos(x)
et
sin (x+2π)=sin (x)
on dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques, de période 2.
Conséquence graphique : il suffit de construire la courbe représentative de chacune de
ces fonctions sur une période, les courbes complètes pourront alors êtres obtenues par
translations.
- pour tout réel x,
cos(−x)=cos(x)
on dit que la fonction cosinus est paire
conséquence graphique : la courbe représentative de la fonction cosinus est
symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- pour tout réel x,
sin(−x)=−sin (x)
on dit que la fonction sinus est impaire
conséquence graphique : la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique
par rapport à l'origine du repère.
Il résulte des propriétés précédentes, que la connaissance des représentations
graphiques des fonctions sinus et cosinus sur IR permet d'obtenir leurs représentations
graphiques sur R.
2 – Etude des fonctions cosinus et sinus sur l'intervalle [0 ; 2]
a) Sens de variation :
De l'observation du cercle trigonométrique on déduit les variations suivants :
x
0
π
2
π
cos (x)
1
0
–1
x
0
π
2
π
sin (x)
0
1
0

b) Représentations graphiques sur [0 ;] :
3 – Dérivées des fonctions Cosinus et Sinus (admis)
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et
pour tout nombre réel x,
cos '(x)=−sin (x)
sin '(x)=cos (x)
Conséquence :
a) Tangente à la courbe représentative de la fonction sinus au point O
b) Des limites à connaître :
lim
x→0
sin(x)
x=1
lim
x→0
cos(x)−1
x=0
Retour sur le problème :
si on note P le milieu de [MN] alors
Aire=1
2×MN ×OP=MP×OP
soit
x=
^
AOM
, on a
0≤x≤π
2
avec
MP=cos(x)
et
OP=sin (x)
donc
Aire=cos (x)×sin (x)
si on pose
a(x)=cos (x)×sin(x)
...