Mathématiques B30: Probabilité

Mathématiques B30
Probabilité
Notes pour l’enseignant ou l’enseignante
2002
Mathématiques B30
Probabilité
Notes pour l’enseignant ou l’enseignante
Bureau de la minorité de langue officielle
2002
2. Définition classique de la probabilité
À toi de jouer! (1)
Tableau des événements et les probabilités qui les accompagnent.
a) iii
b) v
c) i
d) ii
e) x
f) iv
g) vii
h) vi
i) viii
j) ix
À toi de jouer! (2)
a) Puisque 2 résultats sont favorables et que 5 sont non favorables, il y a donc
7 résultats au total. Alors P ( E ) =
( )
b) P E =
2
7
5
7
3. Définition fréquentiste ou expérimentale de la probabilité
Une épreuve est répétée N fois. À chaque essai, on note le résultat de l'épreuve.
Soit n( E ) le nombre d'apparitions de l'événement E, alors la valeur limite de la
fréquence relative
n( E )
, lorsque N tend vers l'infini, est la probabilité que
N
l'événement E se réalise :
n(E)
= P(E)
N
Remarque : plus N est grand, plus P (E ) devient une meilleure approximation.
lim
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4. Principes du dénombrement et calcul des probabilités d’un événement
Il est fortement recommandé aux enseignantes et enseignants de réviser les
principes du dénombrement étudiés dans le cours de Mathématiques A30. Certains
problèmes qui demandent d’obtenir les probabilités exigent, entre autres, la
connaissance du calcul des combinaisons et des permutations.
À toi de jouer! (3)
a) La probabilité de choisir deux garçons et quatre filles est
P( E ) =
8
20
C2 ´ 6 C4
=
143
14 C6
b) La probabilité qu’au moins une fille fasse partie de l’équipe qui participera au
tournoi de badminton peut être déterminée en commençant par calculer la
probabilité que l’équipe soit entièrement composée de garçons et en
soustrayant de celle-ci la probabilité qu’elle ne soit pas entièrement
composée de garçons. Ainsi, la probabilité que l’équipe soit entièrement
composée de garçons est P (G ) =
4
C6
. Si l’équipe n’est pas
=
429
14 C6
8
composée uniquement de garçons, on peut dire qu’elle comprend au moins
une fille. La probabilité de cet événement
( )
est P G = 1 - P( G ) = 1 -
4
425
.
=
429 429
P. 2 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - Notes pour l’enseignant ou l’enseignante
5. Diagramme de Venn
5.1 L’appartenance et l’inclusion
À toi de jouer! (4)
a)
S
B
V
19
3
3
7
7
C
b) élèves ne veulent que le badminton
c) 39 élèves veulent participer aux activités sportives de l’école
6. Probabilités d’événements compatibles et d’événements incompatibles.
6.2 Probabilités d’événements incompatibles
À toi de jouer! (5)
a) Il s’agit d’événements incompatibles (qui s’excluent mutuellement)
b) P ( 2ou 3 ) =
4
4
8
2
+
=
=
52 52 52 13
7. Probabilités d’événements indépendants et dépendants
7.1 Probabilités d’événements indépendants
À toi de jouer! (6)
La probabilité que le joueur obtienne exactement deux coups sûrs est
de 0,2646.
Mathématiques B30 - Unité de la Probabilité - Notes pour l’enseignant ou l’enseignante - P. 3
À toi de jouer! (7)
a) La probabilité d’obtenir 10 mauvaises réponses est de 0,05631.
b) La probabilité d’obtenir au moins une bonne réponse est de 0,94369.
7.2 Probabilités d’événements dépendants
À toi de jouer! (8)
P ( 3Cet 6 P ) =
8.
1 1
1
´ =
52 51 2652
Le théorème du binôme
8.1 Le triangle de Pascal
À toi de jouer! (9)
Les coefficients de ( a + b )
10
sont, dans l’ordre, 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210,
120, 45, 10 et 1.
8.2 Théorème du binôme
Il est possible pour les élèves de visualiser tous les coefficients de
l’expansion du binôme ( a + b ) en utilisant la calculatrice à affichage
n
graphique. Par exemple, pour obtenir les coefficients de l’expansion de
(a + b)
10
, on commence par appuyer sur ( et on entre la fonction 10 Cx à la
première ligne.
Voici ce que vous devriez voir :
P. 4 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - Notes pour l’enseignant ou l’enseignante
Ensuite, vous devez vérifier que les paramètres suivants apparaissent au menu
lorsque vous appuyez 2 ) :
Pour visualiser les
appuyer sur 2 , :
coefficients, vous n’avez qu’à
À toi de jouer! (10)
( a + b)
10
= 10 C0 a10 + 10 C1a 9b + 10 C2 a 8b 2 + 10 C3 a 7 b 3 + 10 C4 a 6b 4
+ 10 C5 a 5b 5 + 10 C6 a 4b 6 + 10 C7 a 3b 7 + 10 C8 a 2b8 + 10 C9 ab9 + 10 C10b10
= 1a10 + 10a 9b + 45a 8b 2 + 120a 7 b3 + 210a 6b 4
+ 252a 5b 5 + 210a 4b 6 + 120a 3b 7 + 45a 2b8 + 10ab9 + 1b10
À toi de jouer! (11)
11
æ 5 1 ö
13
Le 7e terme de l’expansion de ç x + 2 ÷ est 462x .
x ø
è
Mathématiques B30 - Unité de la Probabilité - Notes pour l’enseignant ou l’enseignante - P. 5
À toi de jouer! (12)
Le terme central du développement de ( 3 x - 2 ) correspond au 5ième terme de
9
l’expansion de ce binôme. Puisque le terme est ordonné dans un rang impair,
alors le terme sera positif : 489888x5.
À toi de jouer! (13)
La probabilité d’obtenir 5 faces et 1 pile est de
3
.
32
P. 6 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - Notes pour l’enseignant ou l’enseignante