Variables aléatoires

Lycée Jean Perrin
Classe de TSI2
Exercices série 14
Variables aléatoires
Exercice 1
Les vaches laitières sont atteintes par une maladie M avec la probabilité p = 0, 15. Pour dépister la maladie M dans une
étable de n vaches, on fait procéder à une analyse de lait. Deux méthodes sont possibles :
Première méthode : On fait une analyse sur un échantillon de lait de chaque vache.
Deuxième méthode : On eectue d'abord une analyse sur un échantillon du lait provenant du mélange de celui
des n vaches. Si le résultat est positif, on eectue une nouvelle analyse, cette fois pour chaque vache.
On voudrait connaître la méthode la plus économique (celle qui nécessite en moyenne le moins d'analyse). Pour cela,
on note Xn la variable aléatoire du nombre d'analyses réalisées dans la deuxième méthode. On pose Yn =
1. Déterminer la loi de Yn , et montrer que son espérance vaut 1 +
Xn
.
n
1
− (0, 85)n .
n
2. Étudier la fonction f (x) = ax + ln x, pour a = ln(0, 85). Donner la liste des entiers n tels que f (n) > 0.
3. Montrer que f (n) > 0 équivaut à E(Yn ) < 1. En déduire la réponse (en fonction de n) à la question posée.
[va001]
Exercice 2
On suppose qu'à la naissance, la probabilité qu'un nouveau-né soit un garçon est égale à 1/2. On suppose que tous les
couples ont des enfants jusqu'à obtenir un garçon. On souhaite évaluer la proportion de garçons dans une génération
de cette population. On note X le nombre d'enfants d'un couple et P la proportion de garçons.
1. Exprimer P en fonction de X .
2. Donner la loi de la variable aléatoire X .
3. Que vaut E(P ) ? Qu'en pensez-vous ?
[va002]
Exercice 3
On joue à pile ou face avec une pièce non équilibrée. À chaque lancer, la probabilité d'obtenir pile est 2/3, et donc celle
d'obtenir face est 1/3. Les lancers sont supposés indépendants, et on note X la variable aléatoire réelle égale au nombre
de lancers nécessaires pour obtenir, pour la première fois, deux piles consécutifs. Pour n > 1, on note pn la probabilité
P (X = n).
1. Expliciter les évènements (X = 2), (X = 3), (X = 4), et déterminer la valeur de p2 , p3 , p4 .
2
9
1
3
2. Montrer que l'on a pn = pn−2 + pn−1 pour n > 4.
3. En déduire l'expression de pn pour tout n.
4. Rappeler, pour q ∈] − 1, 1[, l'expression de
+∞
X
nq n , et calculer alors E(X).
n=0
[va003]
Exercice 4
1. Soit n ∈ N∗ xé. Donner le développement en série entière de la variable q de :
f (q) = (1 − q)−n , q ∈ [0, 1[
Dans la suite, on note p = 1 − q .
2. En déduire qu'en posant :
∀k ∈ N,
n+k−1 n k
P (X = k) =
p q ,
k
on dénit une loi de probabilité sur N. Cette loi s'appelle loi binomiale négative de paramètres n et p.
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3. On considère une urne contenant n1 boules vertes et n2 boules rouges. On note p =
n1
.
n1 + n2
On eectue des tirages avec remise d'une boule dans l'urne jusqu'à l'obtention de la n-ième boule verte. Soit Y la
variable aléatoire égale au nombre de boules rouges ainsi tirées. Quelle est la loi de Y ?
[va004]
Exercice 5
Le nombre de trues trouvées par le cochon Sherlock durant une période de temps T (en heures) suit une loi de Poisson
de paramètre λ(T ). On sait que λ(1) = 1, 7.
1. Calculer la probabilité que Sherlock ne trouve aucune true en une heure.
2. Calculer la probabilité que Sherlock trouve au moins deux trues en une heure.
On note maintenant X1 le nombre de trues trouvées par Sherlock un jour donné entre 6h et 7h et X2 le nombre
de trues trouvées par Sherlock le même jour entre 7h et 8h.
3. Quelle est l'espérance de X1 + X2 ?
4. En déduire λ(2).
5. Les évènements {X1 = 0} et {X2 = 0} sont-ils indépendants ?
[va005]
Exercice 6
Soit X une variable aléatoire de Poisson de paramètre λ > 0. On dénit la variable aléatoire Y de la manière suivante :
1. Si X prend une valeur nulle ou impaire alors Y prend la valeur 0.
2. Si X prend une valeur paire alors Y prend la valeur X/2.
Trouver la loi de Y .
[va006]
Exercice 7
On suppose que le nombre N d'oeufs pondus par un insecte suit une loi de Poisson de paramètre α :
P (N = k) = e−α
αk
,
k!
k ∈ N.
On suppose également que la probabilité de développement d'un oeuf est p et que les oeufs sont mutuellement indépendants. Montrer que S suit une loi de Poisson de paramètre pα.
[va007]
Exercice 8
Une urne contient initialement deux boules rouges et une boule bleue indiscernables au toucher. On appelle épreuve la
séquence suivante :
On tire une boule de l'urne, puis :
Si la boule tirée est bleue, on la remet dans l'urne.
Si la boule tirée est rouge, on ne la remet pas dans l'urne mais on remet une boule bleue dans l'urne à sa place.
L'expérience aléatoire consiste à eectuer une succession illimitée d'épreuves. Pour tout n ∈ N∗ , on note Yn la variable
aléatoire discrète égale au nombre de boules rouges présentes dans l'urne à l'issue de la n-ième épreuve.
On notera pour chaque entier naturel k non nul les évènements suivants :
1.
2.
3.
4.
Rk
: Lors de la k-ième épreuve, on a extrait une boule rouge de l'urne. Bk
: Lors de la k-ième épreuve, on a extrait une boule bleue de l'urne. Donner la loi de probabilité de Y1 .
Quelles sont les valeurs possibles de Yn dans le cas où n est supérieur ou égal à 2 ?
Calculer pour tout entier naturel non nul n, P (Yn = 2).
On pose, pour tout entier naturel non nul n, un = P (Yn = 1).
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Lycée Jean Perrin
Classe de TSI2
Exercices série 14
2
3
(a) Rappeler la valeur de u1 , et montrer que u2 = .
(b) En utilisant un système complet d'évènements lié à la variable Yn , montrer que pour tout entier n > 2,
2
2
un + n+1 . Cette relation reste-t-elle valable lorsque n = 1 ?
3
3
2
(c) On pose pour tout entier naturel n non nul, vn = un + n .
3
Montrer que la suite (vn )n∈N∗ est géométrique. En déduire vn en fonction de n et de v1 , puis :
n
2
2
− n.
∀n ∈ N∗ , un = 2
3
3
un+1 =
(d) Déduire des résultats précédents P (Yn ) = 0 pour tout n ∈ N∗ .
5. Calculer l'espérance de Yn .
6. On note Z la variable aléatoire égale au numéro de l'épreuve amenant la dernière boule rouge.
(a) Donner Z(Ω).
(b) Soit un entier k > 2. Exprimer l'évènement (Z = k) en fonction des variables Yk et Yk−1 .
(c) En déduire la loi de Z .
[va048]
Exercice 9
Soit n un entier naturel non nul et X une variable aléatoire réelle discrète dont l'univers image X(Ω) est inclus dans
l'ensemble {0, 1, . . . , n}. On rappelle que l'espérance mathématique de X est donnée par :
E(X) =
n
X
kP (X = k)
k=1
L'objectif de l'exercice est de prouver et d'utiliser l'égalité E(X) =
n
X
P (X > k) notée (R).
k=1
1. Étude d'un exemple. Soit X qui suit une loi binomiale de paramètres 2 et 34 .
(a) Calculer P (X > 1) + P (X > 2).
(b) Donner la valeur de l'espérance E(X). Vérier l'égalité (R).
2. On revient au cas général : X est telle que X(Ω) est inclus dans l'ensemble {0, 1, . . . , n}.
(a) Donner, pour k ∈ {1, . . . , n − 1}, P (X = k) en fonction de P (X > k) et P (X > k + 1)
(b) En substituant la relation trouvée dans le calcul de l'espérance, en déduire l'égalité (R).
3. Application sur un exemple : Un jeu vidéo est constitué de n niveaux successifs.
Lorsque le joueur commence un niveau, ce qui suppose qu'il ait réussi tous les niveaux précédents, la probabilité
qu'il le réussisse est 32 . Le jeu s'arrête dès que le joueur échoue à un niveau. On note X la variable aléatoire égale
au nombre de niveaux réussis par le joueur.
(a) Donner X(Ω).
(b) On note Nj l'évènement : Le joueur a réussi le niveau j .
Exprimer pour tout entier naturel k de [[1, n]] l'évènement (X > k) à l'aide des évènements N1 , N2 , . . . , Nk .
En déduire P (X > k).
(c) En utilisant la formule (R), calculer l'espérance E(X).
[va049]
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Exercice 10
Un mobile se déplace sur les points à coordonnées entières d'un axe d'origine O. Au départ, le mobile est à l'origine
(point d'abscisse 0). Le mobile se déplace selon la règle suivante : s'il est sur le point d'abscisse k à l'instant n, alors,
à l'instant (n + 1) il sera sur le point d'abscisse (k + 1) avec la probabilité k+1
k+2 ou sur le point d'abscisse 0 avec la
1
probabilité k+2
.
Pour tout n de N, on note Xn l'abscisse de ce point à l'instant n et l'on a donc X0 = 0.
On admet que, pour tout n de N, Xn est une variable aléatoire dénie sur un espace probabilisé (Ω, P ) et on pose
un = P (Xn = 0).
Étude de la variable
Xn .
1. Vérier que X1 (Ω) = {0, 1} puis donner la loi de X1 .
2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Xn (Ω) = {0, 1, .., n}.
k
3. (a) Montrer que : ∀n ∈ N∗ , ∀k ∈ {1, .., n}, P (Xn = k) = k+1
P (Xn−1 = k − 1).
(b) En déduire que : ∀n ∈ N, ∀k ∈ {0, 1, .., n},
(c) En remarquant que
n
X
P (Xn = k) =
1
k+1 un−k .
n
X
P (Xn = k) = 1, montrer que : ∀n ∈ N,
j=0
k=0
uj
=1
n−j+1
(d) Retrouver ainsi les valeurs de u0 et u1 puis déterminer u2 et u3 .
4. (a) En remarquant que la relation obtenue à la question 3.a peut s'écrire sous la forme
(k + 1)P (Xn = k) = kP (Xn = k − 1)
montrer que : ∀n ∈ N∗ , E(Xn ) − E(Xn−1 ) = un .
(b) En déduire, pour tout entier naturel n non nul, E(Xn ) sous forme de somme mettant en jeu certains termes
de la suite (un ).
(c) Pour tout entier naturel n non nul, donner la valeur de
n−1
X
j=0
un +
n−1
X
j=0
Déduire de ces deux résultats que : un =
n−1
X
j=0
(d) Montrer que, pour tout n de N∗ , un >
1
n+1 .
uj
et vérier que :
n−j
uj
=1
n−j+1
uj
.
(n − j)(n − j + 1)
Déterminer ensuite lim E(Xn ).
n→+∞
Etude du premier retour à l'origine.
On note T l'instant auquel le mobile se trouve pour la première fois à l'origine (sans compter son positionnement
au départ) et on admet que T est une variable aléatoire dénie, elle aussi, sur (Ω, P ).
On convient que T prend la valeur 0 si le mobile ne revient jamais en O.
Par exemple, si les abscisses successives du mobile après son départ sont 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, alors on a T = 1. Si les abscisses
successives sont : 1, 2, 3, 0, 0, 1, alors on a T = 4.
1. (a) Pour tout k de N∗ , exprimer l'événement (T = k) en fonction d'événements mettant en jeu certaines des
variables Xi .
(b) Montrer que : ∀k ∈ N∗ ,
P (T = k) =
1
.
k(k + 1)
(c) Déterminer les constantes a et b telles que : ∀k ∈ N× ,
1
a
b
= +
.
k(k + 1)
k k+1
En déduire que P (T = 0) = 0, puis interpréter ce dernier résultat.
2. La variable T a-t-elle une espérance ?
[va050]
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