Concentration de la mesure et inégalité de Sobolev logarithmique.

Concentration de la mesure et inégalité de Sobolev
logarithmique.
Stage de M1 encadré par Christophe Dupont.
Céline Abraham, septembre 2010.
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Introduction.
On s’intéresse au rapport entre les mesures satisfaisant une inégalité de Sobolev logarithmique
d’une part, et la concentration de la mesure d’autre part.
Dans une première partie, on définit l’entropie et l’énergie puis les inégalités de Poincaré et de
Sobolev logarithmique. On expose aussi des propriétés de tensorisation de la variance et de
l’entropie. Ces inégalités sont cruciales, elles permettent de montrer, à l’aide du théorème
central limite, que la loi gaussienne vérifie les inégalités de Poincaré et de Sobolev
logarithmique.
Dans un second temps, on présente l’argument de Herbst qui fait le lien entre l’inégalité de
Sobolev logarithmique et une inégalité de concentration gaussienne pour les fonctions
lipschitziennes. La preuve consiste à étudier la transformée de Laplace λ7→ E(eλF )de la
fonction lipschitzienne Fconsidérée.
Dans une dernière section, on fait le lien entre concentration gaussienne pour les fonctions
lipschitziennes et concentration gaussienne pour les mesures. Nous verrons qu’une mesure
satisfaisant l’inégalité de Sobolev logarithmique vérifie une propriété de concentration
gaussienne.
Les résultats présentés ont été empruntés à l’ouvrage collectif [ A ] et aux articles [ C ] et [ L ] . On
trouvera dans ces travaux une bibliographie plus étendue.
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Table des matières
1 Inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmique. 4
1.1 Définitions de l’entropie et de l’énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Définitions des inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmique. . . . . . . . . 5
1.3 Tensorisation de la variance et de l’entropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmique pour la mesure gaussienne. . 9
2 Concentration et inégalité de Sobolev logarithmique. 14
2.1 ArgumentdeHerbst.................................. 14
2.2 Concentration pour les moyennes empiriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Concentration de la mesure. 21
3.1 Inégalité de concentration gaussienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Fonction de concentration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Concentration et fonctions lipschitziennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
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1 Inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmique.
Soit (E, F, µ)un espace de probabilités.
Pour f:E→µ-intégrable l’espérance de fsous µest
Eµ(f) = ZE fdµ.
La variance de fest
V arµ(f) = Eµ((f−Eµ(f))2) = Eµ(f2)−Eµ(f)2.
1.1 Définitions de l’entropie et de l’énergie.
Définition : on définit l’entropie de f:E→+par
Entµ(f) = Eµ(flog(f)) −Eµ(f) log(Eµ(f)).
Propriétés de l’entropie : * Pour toute f:E→+,Entµ(f)>0.
*On a Entµ(f) = sup{g mesurable}{Eµ(fg), Eµ(eg)=1}.
Cette propriété sera utile pour démontrer la propriété de tensorisation de l’entropie.
Preuve : - La fonction
ϕ:∗
+→
x7→ xlog(x)
est convexe car ϕ00(x) = 1
x>0.
On applique l’inégalité de Jensen :
Eµ(ϕ(f)) >ϕ(Eµ(f)).
soit
Eµ(flog(f)) >Eµ(f) log(Eµ(f)).
- On montre d’abord : pour u>0et v∈, on a :
uv 6ulog(u)−u+ev.
Soit pour vfixé :
φv(u) = uv −ulog(u) + u−ev.
On a :
φ0
v(u) = v−log(u).
Donc φvatteint son maximum en evet φv(ev)=0. Donc on a bien :
uv 6ulog(u)−u+ev.
Pour Eµ(f) = 1, on applique cette inégalité à fet g, on obtient :
fg 6flog(f)−f+eg.
Alors :
Eµ(fg)6Eµ(flog(f)) = Entµ(f).
De plus, si on pose g= log(f), alors Eµ(eg) = Eµ(f) = 1.
Donc le sup est atteint.
Si Eµ(f)>0, on considère f
Eµ(f)et on obtient le résultat souhaité par linéarité de l’espérance.
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Définition : pour E=net fde classe C1dont le gradient ∇fest dans L2(n, µ), on
définit l’énergie de fpar :
εµ(f) = Eµ(|∇f|2).
Pour E = {0,1} , µ la loi de Bernoulli de paramètre p∈ ]0 , 1[ et f : E→ , on définit l’énergie
de fpar :
εµ(f) = p(1 −p)|f(0) −f(1)|2.
Propriétés de l’énergie : *εµ(f)est toujours positive comme espérance d’une fonction
positive.
*εµest invariante par translation et homogène d’ordre 2.
*Pour µ mesure gaussienne sur
n
, ou µ mesure de Bernoulli sur {0,1} , une fonction d’énergie
nulle est constante.
Preuve : -Pour µmesure de Bernoulli sur {0,1}, de paramètre p, et f:{0,1} → , si
εµ(f)=0, alors
p(1 −p)|f(0) −f(1)|2= 0.
donc
f(0) = f(1).
Donc fest constante.
-Pour µmesure gaussienne sur net f:n→, on a
εµ(f) = 1
2πnZn
 ∂f
∂x1!2
+... + ∂f
∂xn!2
e−(x2
1+...+x2
n)
2dx1...dxn= 0.
Donc :
n
X
i=1 
Zn  ∂f
∂xi!2
e−(x2
1+...+x2
n)
2dx1...dxn
= 0.
Donc ∀i∈ {1, ..., n}, on a
Zn
 ∂f
∂xi!2
e−(x2
1+...+x2
n)
2dx1...dxn= 0.
Donc ∀i∈ {1, ..., n}, ∂f
∂xi!2
= 0.
Donc fest constante.
1.2 Définitions des inégalités de Poincaré et de Sobolev
logarithmique.
Définition : on dit que µsatisfait à une inégalité de Poincaré sur une classe de fonctions
CP(E, µ)s’il existe c > 0telle que ∀f∈CP(E, µ),on a :
V arµ(f)6c εµ(f).
La constante de Poincaré optimale, notée cP(µ), est définie par :
cP(µ) = inf (εµ(f)
V arµ(f), f ∈CP(E, µ), f non µ −ps constante)!−1
.
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