Cours-TD

Institut Galil´ee
Sciences et technologies
Licence 1re ann´ee
Math´ematiques pour les sciences A
Premier semestre
D´epartement de Math´ematiques
www.math.univ-paris13.fr/depart
c
⃝INSTITUT GALILEE, 99 avenue Jean-Baptiste-Cl´ement 93430 VILLETANEUSE 2015/2016

Table des mati`eres
1 Nombres Complexes 5
1 Introduction.................................... 5
1.1 Principe du raisonnement par r´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Les coefficients du binˆome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Un peu de trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Les nombres r´eels ne suffisent pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 L’´equation du second degr´e `a coefficients r´eels . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Unpeud’histoire............................. 9
3 Forme cart´esienne d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1 D´efinitions ................................ 10
3.2 Notations................................. 10
3.3 Repr´esentation dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Op´erations .................................... 11
4.1 Sommeetproduit ............................ 11
4.2 Inverseetquotient ............................ 13
4.3 Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4 Conjugaison, module et op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Forme polaire d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.1 D´efinition................................. 16
5.2 Propri´et´es ................................ 16
5.3 ´ Ecriture exponentielle de la forme polaire . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.4 Formules d’Euler et lin´earisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.5 Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.6 Formule de De Moivre et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Racines ni`emes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.1 Casg´en´eral ................................ 20
6.2 Racines ni`emes del’unit´e......................... 21
6.3 Racines carr´ees d’un nombre complexe, sous forme cart´esienne . . . 22
7´ Equation du second degr´e `a coefficients complexes . . . . . . . . . . . . . . 23
8 Exercices sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 G´en´eralit´es sur les fonctions num´eriques 27
1 Concepts de base sur les fonctions num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.1 Notions d’Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 G´en´eralit´es sur les fonctions num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3 Continuit´e et th´eor`eme des valeurs interm´edaires . . . . . . . . . . . 37
2 D´eriv´eed’unefonction.............................. 40
3

2.1 D´erivabilit´e ................................ 40
2.2 D´erivabilit´e et op´erations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Fonctiond´eriv´ee ............................. 44
2.4 Th´eor`eme des Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Utilisation de la d´eriv´ee `a l’´etude des fonctions . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Convexit´e et d´eriv´ee seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Exercices ..................................... 50
3 Les premi`eres fonctions de r´ef´erence 55
1 Les fonctions trigonom´etriques d’une variable r´eelle . . . . . . . . . . . . . . 55
1.1 D´efinitions des fonctions sinus, cosinus et tangente . . . . . . . . . . 55
1.2 Propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.3 Propri´et´es des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2 Les fonctions Logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.1 Logarithme n´ep´erien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2 Logarithme `a base a........................... 63
3 Les fonctions Exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Fonction exponentielle `a base a(fonction y=ax)........... 65
4 Courbes planes d’´equation y=f(x) ...................... 66
4.1 Branche infinie, comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Points d’inflexion et la convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Plan d’´etude d’une courbe donn´ee par une ´equation y=f(x) . . . . 68
5 Exercices ..................................... 68
4 Les fonctions r´eciproques de r´ef´erence 71
1 G´en´eralit´es sur les fonctions r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.1 Injection, surjection et bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.2 Fonction r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.3 Sens de variation d’une fonction r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . 73
1.4 Continuit´e et d´erivabilit´e d’une fonction r´eciproque . . . . . . . . . . 74
2 Fonctionspuissance................................ 74
2.1 Racine n-i`eme .............................. 74
2.2 Exposant rationnel quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3 Puissances `a exposant r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4 Fonctions y=xr(r∈R)......................... 76
3 Fonctions circulaires r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1 FonctionArcsinus............................ 77
3.2 Fonction Arc cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 Fonction Arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 D´eriv´ees des fonctions circulaires r´eciproques . . . . . . . . . . . . . 79
4 Exercices ..................................... 79
5 Int´egration 83
1 Int´egrale des fonctions continues sur un intervalle ferm´e born´e . . . . . . . . 83
1.1 D´efinition g´eom´etrique de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.2 Propri´et´es de l’int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2 Primitives..................................... 85

2.1 D´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2 Primitivesusuelles ............................ 86
3 Relation entre int´egrale et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1 Th´eor`eme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 Calcul int´egral et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4 M´ethodes de calcul int´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1 Int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2 Formule de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Int´egration d’expressions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . 92
5 Calcul num´erique des int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1 Casg´en´eral ................................ 93
5.2 Cas des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 Exemple de calcul num´erique d’une int´egrale . . . . . . . . . . . . . 94
6 Formule de Taylor avec reste int´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.1 Formule de Taylor `a l’ordre 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2 Formule de Taylor `a l’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3 G´en´eralisation .............................. 95
7 Application aux ´equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre un . . . . . . . . 96
7.1 D´efinitions ................................ 96
7.2 ´ Equation lin´eaire homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.3 Casg´en´eral ................................ 97
7.4 M´ethode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8 Exercices ..................................... 99