Étude asymptotique des processus de branchement sur

´
Etude asymptotique des processus de branchement
sur-critiques en environnement al´eatoire.
Eric Miqueu
To cite this version:
Eric Miqueu. ´ Etude asymptotique des processus de branchement sur-critiques en environ-
nement al´eatoire.. Probabilit´es [math.PR]. Universit´e de Bretagne Sud (Lorient Vannes), 2016.
Fran¸cais.
HAL Id: tel-01444952
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Submitted on 24 Jan 2017
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THESE / UNIVERSITE DE BRETAGNE
-
SUD
sous le sceau de l’Université Bretagne Loire
pour obtenir le titre de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE BRETAGNE-SUD
Mention : Mathématiques
Ecole doctorale: Santé, Information, Communication,
Mathématiques, Matière
Présentée par Eric Miqueu
Préparée à l’unité mixte de recherche : UMR CNRS 6205
Etablissement de rattachement : Université de Bretagne Sud
Nom développé de l’unité : Laboratoire de Mathématiques de
Bretagne Atlantique
Etude asymptotique des
processus de
branchement sur-
critiques en
environnement aléatoire
Thèse soutenue à Vannes le 9 décembre 2016
devant le jury composé de :
Vincent BANSAYE
Professeur chargé de cours à l’Ecole Polytechnique / Examinateur
Julien BERESTYCKI
Professeur à l’Université d’Oxford / Rapporteur
Loic CHAUMONT
Professeur à l’Université d’Angers / Examinateur
Brigitte CHAUVIN
Professeur à l’Université Paris-Saclay / Examinatrice
Elena DYAKONOVA
Directeur de recherche à l’Institut Mathématique Steklov / Rapporteur
Ion GRAMA
Professeur à l’Université de Bretagne Sud / Directeur de thèse
Yves GUIVARC’H
Professeur à l’Université de Rennes 1 / Examinateur
Quansheng LIU
Professeur à l’Université de Bretagne Sud / Directeur de thèse

ii

Résumé
L’objet de cette thèse concerne l’étude des processus de branchement en environ-
nement aléatoire, notés (Zn), qui sont une généralisation du processus de Galton-
Watson, avec une loi de reproduction choisie aléatoirement et de manière indépen-
dante et identiquement distribuée suivant les générations. Nous considérons le cas
d’un processus sur-critique, avec la condition que chaque individu donne naissance
à au moins un enfant.
Le premier chapitre est consacré à l’étude de l’écart relatif et absolu entre le proces-
sus log Znnormalisé et la loi normale. Nous établissons un résultat de type Berry-
Esseen ainsi qu’un développement pour des déviations de type Cramér, généralisant
ainsi le théorème central limite et le principe des déviations modérées pour log Zn
établis précédemment dans la littérature.
Le second chapitre étudie l’asymptotique de la distribution du processus Znainsi
que le moment harmonique critique de la limite Wde la population normalisée
Wn=Zn/EξZn. Nous établissons un équivalent de l’asymptotique de la distribu-
tion du processus Znet donnons une caractérisation des constantes via une équation
fonctionnelle similaire au cas du processus de Galton-Watson. Dans le cas des proces-
sus de branchement en environnement aléatoire, les résultats améliorent l’équivalent
asymptotique de la distribution de Znétabli dans des travaux antérieurs sous nor-
malisation logarithmique, sous la condition que chaque individu donne naissance à
au moins un individu. Nous déterminons aussi la valeur critique pour l’existence du
moment harmonique de Wsous des conditions simples d’existence de moments, qui
sont bien plus faibles que les hypothèses imposées dans la littérature, et généralisons
le résultat à Z0=kindividus initiaux.
Le troisième chapitre est consacré à l’étude de l’asymptotique des moments harmo-
niques d’ordre r > 0de Zn. Nous établissons un équivalent et donnons une expression
des constantes. Le résultat met en évidence un phénomène de transition de phase,
relié aux transitions de phase des grandes déviations inférieures du processus (Zn).
En application de ce résultat, nous établissons un résultat de grandes déviations
inférieures pour le processus (Zn)sous des hypotèses plus faibles que celles imposées
dans des travaux précédents. Nous améliorons également la vitesse de convergence
dans un théorème central limite vérifié par Wn−W, et déterminons l’asymptotique
de la probabilité de grandes déviations pour le ratio Zn+1/Zn.
iii

iv RESUME