polycopié d`exercices

L3 Math´ematiques Universit´e Joseph Fourier
2016-2017
Exercices de Topologie
Contents
1 R´eels 1
2 Suites 5
3 Espaces m´etriques 8
4 Approfondissement 1 12
5 Approfondissement 2 15
6 Connexit´e 19
7 Compl´etude 21
8 Compacit´e 24
1 R´eels
Exercice 1 On travaille dans cet exercice sur R. L’expression “pour tout t > 0” signifiera donc
“pour tout r´eel t > 0”. D´eterminer les ensembles suivants.
1. A={x∈R:∀t > 0,|x| ≤ t}
2. B={x∈R:∀t≥0,|x| ≤ t}
3. C={x∈R:∀t > 0,|x|< t}
4. D={x∈R:∀t≥0,|x|< t}
Exercice 2 D´eterminer toutes les implications vraies entre deux propri´et´es parmi les propri´et´es
suivantes des suites r´eelles :
1. croissante
2. croissante `a partir d’un certain rang
3. strictement croissante
4. strictement croissante `a partir d’un certain rang
5. major´ee
6. major´ee `a partir d’un certain rang
7. minor´ee
8. p´eriodique `a partir d’un certain rang
9. convergente
1

Donner une suite r´eelle qui ne poss`ede aucune des propri´et´es ci-dessus.
Exercice 3 Soient Aet Bdeux parties non vides de R. D´emontrer les r´esultats suivants :
1. Si A⊂B, alors inf A≥inf Bet sup A≤sup B.
2. sup(A∪B) = max(sup A, sup B).
3. Si Aet Bsont deux parties de Rtelles que pour tout (a, b)∈A×B,a≤b, alors
sup A≤inf B.
4. sup(A+B) = sup A+ sup B, en notant A+B={a+b; (a, b)∈A×B}.
Exercice 4 Soient fet gdeux applications d’un ensemble Enon vide dans R. On note
sup
E
f= sup
x∈E
f(x) = sup{f(x), x ∈E}.
1. Montrer que sup
E
(f+g)≤sup
E
f+ sup
E
g.
2. Si gest minor´ee, montrer que sup
E
(f+g)≥sup
E
f+ inf
Eg.
3. Montrer que si pour tout x∈E,f(x)≤g(x), alors sup
E
f≤sup
E
g
Exercice 5 Soient Eet Fdeux ensembles non vides et fune application de A×Bdans R.
Montrer que
sup
(x,y)∈A×B
f(x, y) = sup
x∈Asup y∈B
f(x, y)= sup
y∈Bsup x∈A
f(x, y),
sup
x∈Ainf
y∈Bf(x, y)≤inf y∈Bsup
x∈A
f(x, y)
et que l’in´egalit´e peut ˆetre stricte.
Exercice 6 (Sous groupes de R)
Soit Gun sous-groupe de Rnon r´eduit `a {0}. On note P=G∩R∗
+et ω= inf P.
1. Montrer que Pest non vide. Qu’en d´eduit-on pour ω?
2. On suppose que ω > 0. Montrer que G=ωZ={nω, n ∈Z}.
3. On suppose ω= 0. Montrer que pour tout a<b, il existe g∈Gtel que a<g<b. (On
dit que G est dense dans R).
4. Retrouver ainsi le fait que Qest dense dans R.
5. Soit α∈Q∗
+. D´eterminer Z+αZ.
6. Soit α∈R∗
+\Q∗ +. Montrer les r´esultats suivants.
Z+αZest dense dans R.
Pour tout ε > 0, il existe n∈N,m∈Ztels que 0 < n +mα < ε.
N+αZest dense dans R.
Pour tout 0 ≤a<b≤1, il existe n∈Ntel que a < cos n<b.
Pour tout 0 ≤a<b≤1, il existe n∈Ntel que a < sin n<b.
2

Exercice 7 Montrer que les parties convexes de Rsont les intervalles.
Exercice 8 (Exemples)
1. D´eterminer le sup et l’inf de x1/x pour xparcourant R∗
+,Q∗ +, et N∗.
2. Soit fune fonction continue de Rdans R. Montrer que supQf= supRf.
3. Soit fune fonction d´erivable de Rdans R. Montrer que
sup
R
f0= sup
x6=y
f(y)−f(x)
y−x.
Exercice 9 1. Soit fune fonction de Rdans Rmajor´ee sur un intervalle ouvert non vide I.
En utilisant la borne sup´erieure Mde l’ensemble f(I), montrer que pour tout ε > 0, il
existe a∈Iet η > 0 tels que
|h|< η ⇒f(a+h)−f(a)< ε
Que peut-on dire si fest minor´ee sur un intervalle ouvert non vide ?
2. Soit fune fonction de Rdans Rayant la propri´et´e d’addivit´e
∀(x, y)∈R2, f(x+y) = f(x) + f(y)
Montrer que s’il existe un intervalle ouvert sur lequel fest born´ee alors fest continue sur
R. De quelle forme est alors f?
Remarque : Avec l’axiome du choix on peut construire des fonctions additives discontinues.
Exercice 10 D´eveloppement en base B
On fixe un entier B≥2. On note El’ensemble des suites d’entiers `a valeurs dans {0, . . . , B −
1}, index´ees par N∗. On note Fle sous-ensemble obtenu `a partir de Een retirant les suites qui
valent B−1 `a partir d’un certain rang.
Si a= (an)n≥1et b= (bn)n≥1sont deux suites de E, on dit que a<bsi les suites aet b
diff`erent en au moins un indice et si pour l’entier m= min{n≥1 : an6=bn}, on a am< bm. On
dit que a≤bsi a<bou a=b.
1. Montrer que la relation ≤ainsi d´efinie est une relation d’ordre total sur E. Cet ordre
s’appelle ordre lexicographique.
2. Soit a= (an)n≥1∈E. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral an/Bnconverge et que sa
somme, not´ee S(a) est dans [0,1].
3. Montrer que l’application Sainsi d´efinie de Edans [0,1] est croissante, lorsqu’on munit
Ede l’ordre lexicographique. Est-elle strictement croissante ?
4. Montrer que la restriction de S`a Fest strictement croissante.
5. Soit x∈[0,1[. Montrer que la suite a= (an)n≥1d´efinie par an= [Bnx]−B[Bn−1x] est
dans Fet qu’elle v´erifie S(a) = x. L’´ecriture
x=
+∞
X
n=1
an
Bn
s’appelle d´eveloppement en base Bdu r´eel x.
3

6. En d´eduire que Sinduit une bijection de Fvers [0,1[.
Exercice 11 (Exemples)
1. Calculer le d´eveloppement d´ecimal de 13/7.
2. Calculer 0,454545 ··· + 0,565656 ···.
Exercice 12 Soit (qn)n∈Nune suite strictement croissante de N∗. Si 0, a1a2··· est le d´eveloppement
d´ecimal d’un nombre x∈[0,1[, on note f(x) le r´eel dont un d´eveloppement d´ecimal est
0, aq1aq2···.´ Etudier la continuit´e `a gauche et `a droite de f
Exercice 13 Montrer que tout rationnel rde l’intervalle [0,1[ s’´ecrit d’une mani`ere unique
r=
+∞
X
n=2
an
n!,
o`u (an)n≥2est une suite d’entiers v´erifiant 0 ≤an≤n−1 pour tout n≥2 et an= 0 `a partir
d’un certain rang.
Mettre sous cette forme le rationnel 5/7.
Exercice 14 Soit Sl’ensemble des suites croissantes d’´el´ements de N\ {0,1}.
1. Soit (qn)n∈N∈S. Montrer que la suite (xn)n∈Nd´efinie par
xn=1
q0
+1
q0q1
+··· +1
q0···qn
est convergente et que sa limite appartient `a ]0,1].
2. Montrer que l’application de Sdans ]0,1] qui `a (qn)n∈N∈Sassocie lim xnest une bijection.
3. Montrer que lim xnest rationnel si et seulement si il existe k∈Ntel que
∀n≥k qn=qk
Exercice 15 (Irrationalit´e de π)On montre l’irrationalit´e de π2, donc de π, par contradiction:
supposons que π2=a/b avec aet bentiers strictement positifs, on pose
Nn=πanZ1
0
Pn(x) sin(πx)dx, o`u Pn(x) = xn(1 −x)n/n!.
1. Montrer que (Nn)n∈Nest une suite de r´eels strictement positifs qui tend vers 0.
2. En utilisant des int´egrations par parties, montrer que Nn∈Net conclure.
4

2 Suites
´
Equipotence et d´enombrabilit´e
Exercice 16 Soient Eet Fdeux ensembles. Montrer que l’existence d’une injection de Edans F
´equivaut `a l’existence d’une surjection de Fdans E. Remarque : la preuve d’une des implications
utilise l’axiome du choix.
Exercice 17 Soit Xest un ensemble quelconque, et P(X) l’ensemble de ses parties. Montrer
qu’il n’existe pas de bijection f:X→ P(X). (Indication : raisonner pas l’absurde, et consid´erer
le sous-ensemble E={x∈X:x /∈f(x)}.)
Exercice 18 Montrer que l’ensemble {0,1}Xdes applications de Xdans {0,1}est ´equipotent `a
P(X).
Exercice 19 *
1) Montrer que {0,1}N,Ret les intervalles [0,1] et ]0,1[ sont ´equipotents. On admettra le
th´eor`eme de Cantor - Bernstein.
2) Montrer que RNet Rsont ´equipotents. Indication : utiliser d’abord le fait que Rest
´equipotent `a {0,1}N.
3) Soit n≥1 un entier. En d´eduire que C([0,1]; R), Rnet Rsont ´equipotents. Indication :
toute fonction de C([0,1]; R) est d´etermin´ee par sa valeur aux points rationnels.
Exercice 20 Montrer que l’application f:N×N→Nd´efinie par f(n, m) = 2n(2m+ 1) −1 est
une bijection. En d´eduire que Qest d´enombrable.
Exercice 21 *Montrer que si An’est pas d´enombrable et B⊂Aest d´enombrable, alors Aet
A\Bsont ´equipotents. En d´eduire que les nombres r´eels et les irrationnels sont en bijection.
Exercice 22 Soit fune application croissante de Rdans R.
1) Montrer que pour tout r´eel x,fposs`ede une limite `a gauche et une limite `a droite en x,
et que ces limites v´erifient f(x−)≤f(x+). Que se passe-t-il si f(x−) = f(x+) ?
2) Montrer que l’ensemble des points o`u fest discontinue est (au plus) d´enombrable.
Indication : montrer que pour tous r´eels a<bet ε > 0, l’ensemble des x∈[a, b] tels que
f(x+) −f(x−)≥εest fini, de cardinal major´e par (f(b+) −f(a−))/ε.
Suites et valeurs d’adh´erence
Exercice 23 On consid`ere les suites (an)n≥1et (bn)n≥1de rationnels d´efinies par
an=
n
X
k=0
1
k!et bn=an+1 n·n!
1) Montrer que (an)n≥1et (bn)n≥1sont adjacentes et convergent vers e.
2) En utilisant l’encadrement an< e < bn, qui est v´erifi´e pour tout n, d´eduire que e /∈Q.
Exercice 24 Soit l∈Ret (un) une suite r´eelle ne tendant pas vers l. Montrer qu’il existe ε > 0
et une sous-suite (uϕ(n)) de la suite (un) tels que, pour tout n, on ait 
uϕ(n)−l > ε.
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